一-形式

佇線性代數內底，一-形式（one-form）是向量空間上的一種線性泛函。一-形式佇這種向量空間語境內底使用的方式，通常區別於高階的多重線性泛函中的一-形式。細節參見線性泛函。

佇咧微分幾何中，可微流形上的一个-形式是餘切密的一个光滑截面。具體講來，流形 _ M _ 上的一-形式是 _ M _ 的切密密的全空間到R的一个金滑映射，限制佇每一个纖維上是切空間上的線性泛函。用符號表示，

$ \ alpha : TM \ rightarrow { \ mathbf { R } } , \ quad \ alpha _ { x }=\ alpha | _ { T _ { x } M } : T _ { x } M \ rightarrow { \ mathbf { R } } , \ , $

遮 αx 是線性的。

一-形式經常局部地攏咧講，特別是佇一个局部坐標當中。佇一个局部坐標系當中，一-形式是坐標的微分的線性組合：

$ \ alpha _ { x }=f _ { 一 } ( x ) dx ^ { 一 } + f _ { 二 } ( x ) dx ^ { 二 } + \ dots + f _ { n } ( x ) dx ^ { n } . \ , $

遮 _ f _ i 是金滑函數。注意遮使用指標，莫佮冪透濫。對這種觀點來看，一个一-形式對一个坐標系變到另外一个時有共變換法則。對而一个一-形式是秩一共變張量場。

特例

設 $ U \ subseteq \ mathbb { R } $ 為一開集（比如一个區間 $ ( a , b ) $）， 考慮會當微函數 $ f : U \ to \ mathbb { R } $，有導數 _ f'_。_ f _ 的微分 _ df _，較倚咧乎 $ x _ { 零 } \ in U $，定義做變量 _ dx _ 的某一个線性搬射。具體地，$ df ( x _ { 零 } , dx ) : dx \ mapsto f'( x _ { 零 } ) dx $。（對這个符號 _ dx _ 的含義公出來矣：伊猶毋過是 _ df _ 的一个參數，抑是獨立變量。）故映射 $ x \ mapsto df ( x , \ cdot ) $ 共每一个點 _ x _ 送到一个線性泛函 $ df ( x , \ cdot ) $。這是微分（一-） 形式上簡單的例。

用德拉姆復形表示，對零-形式（數量函數）到位囉-形式有一个影射，即 $ f \ mapsto df $。

一个一-形式講號做閉一-形式如果伊是會當微微而且伊的外導數佇任何所在等於零。

另見

• 二-形式
• 倒晶格
• 張量的中央處理