二的自然對數

ln 二（OEIS 數列 A 兩千一百六十二）約為：

$ \ ln 二 \ approx 空九六九三一四七 $

使用對數公式

$ \ log _ { b } 二={ \ frac { \ ln 二 } { \ ln b } } . $

會當求出講 log 二，伊約：（OEIS 數列 A 七千五百二十四）

$ \ log _ { 十 } 二 \ approx 空九三空一空二九九五六六三九八一一 $。

數學家理察 ・ 施羅培爾佇一九七二年證明，無四常數的自然密度等於 $ \ ln 二 $。換言之，若是 $ u ( n ) $ 表示無大於 $ n $ 的自然數內底，有偌濟个數 $ a $ 有大於 $ { \ sqrt { a } } $ 的質因數，則有：

$ \ lim _ { n \ rightarrow \ infty } { \ frac { u ( n ) } { n } }=\ ln ( 二 )=空九六九三一四七 \ dots \ , . $

公式

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n + 一 } } { n } }=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { ( 二 n + 一 ) ( 二 n + 二 ) } }=\ ln 二 . $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } } { ( n + 一 ) ( n + 二 ) } }=二 \ ln 二嬸一 . $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { n ( 四 n ^ { 二 } 影一 ) } }=二 \ ln 二嬸一 . $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } } { n ( 四 n ^ { 二 } 影一 ) } }=\ ln 二嬸一 . $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } } { n ( 九 n ^ { 二 } 影一 ) } }=二 \ ln 二-{ \ frac { 三 } { 二 } } . $

$ \ sum _ { n=二 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { 二 ^ { n } } } [\ zeta ( n ) 影一]=\ ln 二-{ \ frac { 一 } { 二 } } . $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { 二 n + 一 } } [\ zeta ( n ) 影一]=一-\ gamma-{ \ frac { 一 } { 二 } } \ ln 二 . $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { 二 ^ { 二 n } ( 二 n + 一 ) } } \ zeta ( 二 n )={ \ frac { 一 } { 二 } } ( 一-\ ln 二 ) . $

$ \ gamma $ 是歐拉-馬歇羅尼常數，$ \ zeta $ 是黎曼 ζ 函數。

$ \ ln 二=\ sum _ { k \ geq 一 } { \ frac { 一 } { k 二 ^ { k } } } . $

$ \ ln 二=\ sum _ { k \ geq 一 } \ left ( { \ frac { 一 } { 三 ^ { k } } } + { \ frac { 一 } { 四 ^ { k } } } \ right ) { \ frac { 一 } { k } } . $

$ \ ln 二={ \ frac { 二 } { 三 } } + \ sum _ { k \ geq 一 } \ left ( { \ frac { 一 } { 二 k } } + { \ frac { 一 } { 四 k + 一 } } + { \ frac { 一 } { 八 k + 四 } } + { \ frac { 一 } { 十六 k + 十二 } } \ right ) { \ frac { 一 } { 十六 ^ { k } } } . $（貝利－波爾溫－普勞夫公式）

$ \ ln 二={ \ frac { 二 } { 三 } } \ sum _ { k \ geq 零 } { \ frac { 一 } { ( 二 k + 一 ) 九 ^ { k } } } . $（因為反雙曲的函數，可參見計算自然對數的級數。）

積分公式

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { dx } { 一 + x } }=\ ln 二 $

$ \ int _ { 一 } ^ { \ infty } { \ frac { dx } { ( 一 + x ^ { 二 } ) ( 一 + x ) ^ { 二 } } }={ \ frac { 一 } { 四 } } ( 一-\ ln 二 ) $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ frac { dx } { 一 + e ^ { nx } } }={ \ frac { 一 } { n } } \ ln 二 ; \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ frac { dx } { 三 + e ^ { nx } } }={ \ frac { 二 } { 三 n } } \ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { 一 } { e ^ { x } 影一 } }-{ \ frac { 二 } { e ^ { 二 x } 影一 } } \ right )=\ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-x } { \ frac { 一-e ^ {-x } } { x } } dx=\ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } \ ln { \ frac { x ^ { 二 } 影一 } { x \ ln x } } dx=影一 + \ ln 二 + \ gamma $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 三 } } \ tan xdx=二 \ int _ { 零 } ^ { \ frac { \ pi } { 四 } } \ tan xdx=\ ln 二 $

$ \ int _ {-{ \ frac { \ pi } { 四 } } } ^ { \ frac { \ pi } { 四 } } \ ln ( \ sin x + \ cos x ) dx=-{ \ frac { \ pi } { 四 } } \ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } x ^ { 二 } \ ln ( 一 + x ) dx={ \ frac { 二 } { 三 } } \ ln 二-{ \ frac { 五 } { 十八 } } $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } x \ ln ( 一 + x ) \ ln ( 一-x ) dx={ \ frac { 一 } { 四 } }-\ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } x ^ { 三 } \ ln ( 一 + x ) \ ln ( 一-x ) dx={ \ frac { 十三 } { 九十六 } }-{ \ frac { 二 } { 三 } } \ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { \ ln x } { ( 一 + x ) ^ { 二 } } } dx=-\ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { \ ln ( 一 + x )-x } { x ^ { 二 } } } dx=一孵二 \ ln 二 $

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { dx } { x ( 一-\ ln x ) ( 一孵二 \ ln x ) } }=\ ln 二 $

$ \ int _ { 一 } ^ { \ infty } { \ frac { \ ln \ ln x } { x ^ { 三 } } } dx=-{ \ frac { 一 } { 二 } } ( \ gamma + \ ln 二 ) $

$ \ gamma $ 是歐拉-馬歇羅尼常數。

其他的公式

用皮爾斯展開式（A 九九學一千八百四十六）表達 ln 二：

$ \ log 二={ \ frac { 一 } { 一 } }-{ \ frac { 一 } { 一 \ cdot 三 } } + { \ frac { 一 } { 一 \ cdot 三 \ cdot 十二 } }-\ ldots $ .

用恩格爾展開式 A 五鋪九千一百八十表達 ln 二：

$ \ log 二={ \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 二 \ cdot 三 } } + { \ frac { 一 } { 二 \ cdot 三 \ cdot 七 } } + { \ frac { 一 } { 二 \ cdot 三 \ cdot 七 \ cdot 九 } } + \ ldots $ .

用餘切展開式 A 八堵一千七百八十五表達 ln 二：

$ \ log 二=\ cot ( \ operatorname { arccot } 零-\ operatorname { arccot } 一 + \ operatorname { arccot } 五-\ operatorname { arccot } 五十五 + \ operatorname { arccot } 一爿四千一百八十七-\ ldots ) $ .

外部連結

• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Natural logarithm of 二 . MathWorld .
• table of natural logarithms . PlanetMath .
• Gourdon , Xavier ; Sebah , Pascal . The logarithm constant : log 二 . [二千空一十一孵一孵八] .（原始內容存檔佇兩千空二十五二鋪二十三）.

參見

• 對數
• 自然對數
• 常用對數
• 超越數