以二為底的對數

佇咧數學中，以二為底的對數（log 二 _ n _）， 閣稱二進位對數，是為著得著 _ n _ 著愛共二乘方的指數。

也對任何實數 _ x _，

$ x=\ log _ { 二 } n \ Leftrightarrow 二 ^ { x }=n $

比如講，log 二一=零，log 二二=一，log 二四=二，log 二三十二=五。

掠二為底的對數是以二為底的指數函數的反函數，閣記起來 lb _ n _，ld _ n _ 抑是 lg _ n _

誠濟數學軟體攏有計算以二為底的對數的功能。自 C 九十九起的 C 語言標準數學函數庫佮自 C + + 十做伙的 C + + 語言標準數學函數庫中包含了 ` log 二 `、` log 二 f ` 佮 ` log 二 l ` 函數用來計算以二為底的對數。以二為尻川底的對數的整數部份會當由整數上的上懸位操作抑是查看浮點數頂頭的指數部份完成，分數部份嘛會當高效地計算。

歷史

兩个乘方自古以來就去予人所知：比如講，伊出現佇幾何原本第九卷命題三十二佮命題三十六中。啊若一个二的乘方的以二為底的對數干焦是伊佇兩的乘方的序列內底的位置。

以二為底的對數上早的應用是佇音樂理論內底，由萊昂哈德 ・ 歐拉提出：兩个音樂調的頻率比的以二為底的對數就是𪜶相差的八度的個數。掠準第二坎的著數猶閣會當用來計算一个數在二進位中的長度，抑是講佇信息理論中編碼一个信息所需要的比特個數。佇計算機科學內底，𪜶決定矣二叉搜查佮相關算法的迵天代次數。佇組合學、生物信息學、攝影學以及淘汰制賽事的設計中，攏定定用著以二為底的對數。

定義佮性質

掠二為底的對數會當定義做二為底的指數函數的反函數。掠二為底的指數函數是一个佇正實數頂定義的嚴格遞增函數，因為按呢生有唯一的反函數。嘛會當定義做 ln _ n _ / ln 二，其中 ln 是用任意一種標準方法定義的自然對數。佇這種定義中，若使用複對數，遐爾仔以二為底的對數的定義就擴展到複數。比如講，Microsoft Excel 提供矣 ` IMLOG 二 ` 函數計算以二為底的複對數。

佮其他的對數仝款，以二為底的對數遵循以下等式，會當用來化簡結合以二為底的對數佮乘法、乘方的式子：

$ \ log _ { 二 } xy=\ log _ { 二 } x + \ log _ { 二 } y $

$ \ log _ { 二 } { \ frac { x } { y } }=\ log _ { 二 } x-\ log _ { 二 } y $

$ \ log _ { 二 } x ^ { y }=y \ log _ { 二 } x $

表示法

佇咧數學中，掠二為底的對數通常記為 log 二 _ n _。毋過，有的作者用 lg _ n _ 表示以二為底的對數，這嘛是芝加哥格式手冊內底提出的表示形式。