傅立葉轉換

傅立葉轉換（法國的：Transformation de Fourier，英語：Fourier transform，縮寫：FT）是一種線性積分轉換，用於函數（應用頂懸叫做「信號」）佇時域佮頻域之間的轉換。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫 ・ 傅立葉系統地提出，所以以其名來號名以示紀念。

傅立葉轉換佇物理學佮工程學中有真濟應用。傅立葉轉換的作用是將函數分解做無仝特徵的正弦函數的和，親像化學分析來分析一个化合物的元素成分。對著一个函數，嘛會當對其進行分析，來確定組成伊的基本（正絃函數）成份。

經過傅立葉轉換生的函數 $ { \ hat { f } } $ 叫做原函數 $ f $ 的傅立葉轉換，應用意義上叫做頻譜。佇咧特定情形下，傅立葉轉換是會使倒的，咧欲 $ { \ hat { f } } $ 通過倒反換會當得著其原函數 $ f $。通常情況下，$ f $ 是一个實函數，而且 $ { \ hat { f } } $ 著愛一个複數值函數，其函數值作為複數會當同時表示振幅佮相位。高斯函數是傅立葉轉換的固有函數。

定義

一般情形下，若是「傅立葉轉換」彼一詞無加任何限定語，是講的是講「連紲傅立葉轉換」（連紲函數的傅立葉轉換）。 定義傅徛葉轉換有真濟無仝款的方式。本文中採用如下的定義：（連紲）傅立葉轉換將會當積函數 $ f : \ mathbb { R } \ rightarrow \ mathbb { C } $ 表示成複指數函數的積分形式抑是級數形式。

$ { \ hat { f } } ( \ xi )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } f ( x ) \ e ^ { 鋪二 \ pi ix \ xi } \ , dx $，$ \ xi $ 為任意實數。$ \ xi $ 的定義域為頻域。

若約定你家己變數 $ x $ 表示 _ 時間 _（以秒為單位）， 轉換變數 $ \ xi $ 表示頻率（以赫茲為單位）。 佇適當條件下跤，$ { \ hat { f } } $ 可由逆傅立葉轉換（inverse Fourier transform）由下式來得著 $ f $：

$ f ( x )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ hat { f } } ( \ xi ) \ e ^ { 二 \ pi i \ xi x } \ , d \ xi $，$ x $ 為任意實數。$ x $ 的定義域為時域。

傅立葉逆定理表明 $ f $ 可由 $ { \ hat { f } } $ 確定，傅立葉佇其一八二二年出版的著作《熱分析理論》（法國的：Théorie analytique de la chaleur）中央頭一改引入這个定理。雖然這馬標準下的證明一直到誠久以後才出現。$ f $ 和 $ { \ hat { f } } $ 定定予人稱做 _ 傅立葉仔咧分嘿 _ 抑是 _ 傅立葉轉換著 _。

簡介

傅立葉轉換源自對傅立葉級數的研究。佇對傅立葉級數的研究中，複雜的週期函數會當用一系列簡單的正弦抑是餘弦波之和表示。傅立葉轉換是對傅立葉級數的擴展，因為伊表示的函數的週期趨佇咧無散。

應用

傅立葉轉換佇醫學、數據科學、物理學、聲學、光學、結構力學、磅子力學、數論、組合數學、機率論、統計學、信號處理、密碼學、大氣科學、海洋學、通訊、金融等領域攏有廣泛的應用。譬如講佇信號處理當中，傅立葉轉換的典型用途是將複雜的信號分解成具有無仝振幅的單一頻率分量，並且實現濾波等等的操作；進一步的，量仔力學中位置空間的波函數的傅立葉轉換是動量空間的波函數。

基本性質

線性質

兩函數之佮的傅立葉轉換等於隨人轉換之佮。嚴格數學描述是：若函數 $ f \ left ( x \ right ) $ 和 $ g \ left ( x \ right ) $ 的傅立葉轉換 $ { \ mathcal { F } } [f] $ 和 $ { \ mathcal { F } } [g] $ 攏存在矣，$ \ alpha $ 和 $ \ beta $ 為任意常係數，著 $ { \ mathcal { F } } [\ alpha f + \ beta g]=\ alpha { \ mathcal { F } } [f] + \ beta { \ mathcal { F } } [g] $；傅立葉轉換算符 $ { \ mathcal { F } } $ 會使歸一化成做細漢的算符。

平移性質

若函數 $ f \ left ( x \ right ) $ 佇傅立葉轉換，著任意實數 $ \ omega _ { 零 } $，函數 $ f ( x ) e ^ { i \ omega _ { 零 } x } $ 嘛存在的徛葉仔轉換，而且有 $ { \ mathcal { F } } [f ( x ) e ^ { i \ omega _ { 零 } x }]={ \ hat { f } } ( \ omega-\ omega _ { 零 } ) $。式中花體 $ { \ mathcal { F } } $ 是傅立葉轉換的作用算子，平體 $ { \ hat { f } } $ 表示轉換的結果（複函數）， $ e $ 為自然對數的底，$ i $ 為虛數單位 $ { \ sqrt { 影一 } } $。

微分關係

若函數 $ f \ left ( x \ right ) $ 當 $ | x | \ rightarrow \ infty $ 時的盡磅替零，而且其導函數 $ f'( x ) $ 的傅立葉轉換佇咧，則有 $ { \ mathcal { F } } [f'( x )]=i \ omega { \ mathcal { F } } [f ( x )] $，即導函數的傅隨葉轉換等於原函數的傅立葉轉換乘以因為 $ i \ omega $。閣較一般，若是 $ f ( \ pm \ infty )=f'( \ pm \ infty )=\ ldots=f ^ { ( k 影一 ) } ( \ pm \ infty )=零 $，而且 $ { \ mathcal { F } } [f ^ { ( k ) } ( x )] $ 存在，著 $ { \ mathcal { F } } [f ^ { ( k ) } ( x )]=( i \ omega ) ^ { k } { \ mathcal { F } } [f] $，即函數 _ k _ 階導函數的傅立葉轉換等於原函數的傅立葉轉換乘以因為 $ ( i \ omega ) ^ { k } $。

拗積特性

若函數 $ f \ left ( x \ right ) $ 佮 $ g \ left ( x \ right ) $ 攏佇咧 $ (-\ infty , + \ infty ) $ 上絕對會當積，則拗積函數 $ f * g=\ int _ {-\ infty } ^ { + \ infty } f ( x-\ xi ) g ( \ xi ) d \ xi $（抑是講 $ f * g=\ int _ {-\ infty } ^ { + \ infty } f ( \ xi ) g ( x-\ xi ) d \ xi $）的傅立葉轉換佇咧，而且 $ { \ mathcal { F } } [f * g]={ \ mathcal { F } } [f] \ cdot { \ mathcal { F } } [g] $。拗積性質的逆形式做 $ { \ mathcal { F } } ^ { 影一 } [F ( \ omega ) * G ( \ omega )]=二 \ pi { \ mathcal { F } } ^ { 影一 } [F ( \ omega )] \ cdot { \ mathcal { F } } ^ { 影一 } [G ( \ omega )] $，即兩个函數的拗積的傅立葉倒反等於兩函數隨人的傅立葉倒轉換的乘積乘 $ 二 \ pi $。

帕塞瓦爾定理

若函數 $ f \ left ( x \ right ) $ 可積而且平方可積，著 $ \ int _ {-\ infty } ^ { + \ infty } f ^ { 二 } ( x ) dx={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ {-\ infty } ^ { + \ infty } | F ( \ omega ) | ^ { 二 } d \ omega $。其中 $ F \ left ( \ omega \ right ) $ 是 $ f \ left ( x \ right ) $ 的傅立葉轉換。

閣較一般化來講，若函數 $ f \ left ( x \ right ) $ 和 $ g \ left ( x \ right ) $ 攏是平方可積函數，著 $ \ int _ {-\ infty } ^ { + \ infty } f ( x ) g ^ { * } ( x ) dx={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ {-\ infty } ^ { + \ infty } F ( \ omega ) G ^ { * } ( \ omega ) d \ omega $。其中 $ F \ left ( \ omega \ right ) $ 和 $ G \ left ( \ omega \ right ) $ 分別是 $ f \ left ( x \ right ) $ 和 $ g \ left ( x \ right ) $ 的傅立葉轉換，$ * $ 代表複共擔。

傅立葉轉換的無仝變種

傅立葉轉換嘛會當寫做角頻率的形式：_ ω _=二 _ πξ _ 其單位是弧度逐秒。

應用 ξ=ω /（二 π）到頂懸的公式會成做下跤的形式：

$ { \ hat { f } } ( \ omega )=\ int _ { \ mathbf { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ {-i \ omega \ cdot x } \ , dx . $

根據這形式，（傅立葉）倒反換變做：

$ f ( x )={ \ frac { 一 } { ( 二 \ pi ) ^ { n } } } \ int _ { \ mathbf { R } ^ { n } } { \ hat { f } } ( \ omega ) e ^ { i \ omega \ cdot x } \ , d \ omega . $

若無照本文中使用的，按呢定義傅徛葉轉換，伊將不再是 _ L _ 二 (Rn ) 上的一个彼細漢閣換。另外按呢的定義嘛使傅立葉轉換佮其實顛倒轉換顯了無啥對稱。

另外一个形式是共 ( 二 _ π _ ) n 齊勻分開予傅立葉轉換佮倒反換，即定義為：

$ { \ hat { f } } ( \ omega )={ \ frac { 一 } { ( 二 \ pi ) ^ { n / 二 } } } \ int _ { \ mathbf { R } ^ { n } } f ( x ) e ^ {-i \ omega \ cdot x } \ , dx $

$ f ( x )={ \ frac { 一 } { ( 二 \ pi ) ^ { n / 二 } } } \ int _ { \ mathbf { R } ^ { n } } { \ hat { f } } ( \ omega ) e ^ { i \ omega \ cdot x } \ , d \ omega . $

根據這形式，傅立葉轉換是閣再做 _ L _ 二 (Rn ) 上的一个彼細漢閣換。伊嘛恢復傅立葉轉換佮逆轉換之間的對稱。

所有三種形式的變化會當通過對正向佮反向轉換的複指數核共擔來實現。核函數的符號必須是顛倒反的。除了這以外，選擇是習慣問題。

如上所討論的，隨機變數的特徵函數是相仝的傅立葉轉換斯蒂爾切斯其分布的測量，但這種情況下伊是典型採取無仝的慣例為常數。通常情況下特徵函數的定義 $ E ( e ^ { it \ cdot X } )=\ int e ^ { it \ cdot x } d \ mu _ { X } ( x ) $

佇頂懸「非統一角頻率」形式的情況下，存在的二 π 無因為出現在任一積分的，抑是講佇這个指數。無仝款於任何約定的頂懸出現的，本公約採取的指數符號顛倒反。

傅立葉級數

連紲形式的傅立葉轉換其實是傅立葉級數（Fourier series）的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子爾。對著週期函數，其傅立葉級數是存在的：

$ f ( x )=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } F _ { n } \ , e ^ { inx } , $

其中 $ F _ { n } $ 為復振幅。對著實值函數，函數的傅立葉級數會當寫做：

$ f ( x )={ \ frac { a _ { 零 } } { 二 } } + \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } \ left [a _ { n } \ cos ( nx ) + b _ { n } \ sin ( nx ) \ right] $

其中 _ a _ n 和 _ b _ n 是實頻率分量的振幅。

傅立葉分析上早是研究週期性的現象，即傅立葉級數的，落尾通過傅立葉轉換將其推廣到非週期性的現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非禮拜性的現象看做週期性現象的一个特例，即其週期為無限長。

離散時間傅立葉轉換

離散傅立葉轉換是離散時間傅立葉轉換（DTFT）的特例（有當時仔做後者的近似）。 DTFT 時間上離散，佇頻域頂禮拜的。DTFT 會當予人看做是傅立葉級數的倒反換。

離散傅立葉轉換

為著佇科學計算佮數位訊號處理等領域使用計算機進行傅立葉轉換，必須將函數 _ x _ n 定義佇咧 _ 離散 _ 點毋是連紲域內，而且嘛誠有限性抑是週期的條件。這款情形下，使用離散傅立葉轉換，將函數 _ x _ n 表示為下跤的求和形式：

$ X _ { k }=\ sum _ { n=零 } ^ { N 影一 } x _ { n } e ^ {-i { \ frac { 二 \ pi } { N } } kn } \ qquad k=零 ,\ dots , N 影一 $

其中 $ X _ { k } $ 是傅立葉振幅。直接使用這个公式計算的計算複雜度做 $ { \ mathcal { O } } ( n ^ { 二 } ) $，快速傅徛葉仔轉換（FFT）會當共複雜度改進為 $ { \ mathcal { O } } ( n \ log n ) $。計算複雜度的降低佮數字電路計算能力的發展予得 DFT 成做佇信號處理領域十分實用而且重要的方法。

佇阿貝爾群頂懸的統一描述

以上的傅立葉轉換攏會當予統一描述做任意局部緊緻的阿貝爾群頂的傅立葉轉換。這一問題屬於調和分析的範圍。佇調和分析內底，一个轉換對一个群轉換著伊的對尪仔陣（dual group）。 此外，共傅立葉轉換佮拗積相聯繫的拗積定理佇咧調和分析內底嘛有類似的結論。傅立葉轉換的廣義理論基礎參見龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）中的介紹。

時間真定分析轉換

小波轉換，Chirplet 轉換佮分數徛起轉換的攏是為著得著時間信號的頻率訊息。同時解破頻率佮時間的能力佇咧數學上受無確定性原理的限制。

傅立葉轉換家族

主條目：傅立葉轉換家族內底的關係下表列出了傅立葉轉換家族的成員。好發現，函數佇咧時（頻）域的離散對應於其像函數佇頻（時）域的週期性。反連紲是意思著佇咧對應域的信號的非週期性。下表予出詳細的情形：

定用傅立葉轉換表

下跤的表記錄一寡封閉形式的傅立葉轉換。對著函數 $ f ( x ) $ , $ g ( x ) $ 和 $ g ( x ) $，𪜶的傅立葉轉換分別表示為 $ { \ hat { f } } $ , $ { \ hat { g } } $ 和 $ { \ hat { h } } $。只包含著三種上定看著的形式。注意條目一百空五五予出一个函數的傅立葉轉換佮其原函數，這會當看做是傅立葉轉換佮其逆轉換的關係。

函數關係

下表列出的定用的傅立葉轉換嘿會當佇 Erdélyi ( 一千九百五十四 ) 抑是 Kammler ( 兩千，appendix ) 中揣著。

二元函數

注釋

_ 四百：_ 變數 $ \ xi _ { x } $、$ \ xi _ { y } $、$ \ omega _ { x } $、$ \ omega _ { y } $、$ \ nu _ { x } $、$ \ nu _ { y } $ 為實數。二重積分是對規个平面積分。

_ 四百空一：_ 這兩个函數攏是高斯函數，而且可能無單位體積。

_ 四百空二：_ 此圓有單位半徑，若共 $ { \ text { circ } } ( t ) $ 認作階梯函數 $ u ( 一-t ) $ ; Airy 分布用 $ J _ { 一 } $（一階第一類貝索函數）表達。（Stein & Weiss 一千九百七十一，Thm . IV . 三孵三）

外部連結

• 維基共享資源上的相關多媒體資源：傅立葉轉換
• Encyclopedia of Mathematics（英文）
• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Fourier Transform . MathWorld .