克納斯特-塔斯基定理

佇數學領域序理論佮格理論內底，Knaster–Tarski 定理，著等於 Bronisław Knaster 佮阿爾鴻雷德 ・ 塔斯基，伊的聲稱 :

設 L 是完全格並設 f  : L → L 是次序保持函數。著 f 佇咧 L 中的不動點的集合嘛是完全格。

這个定理的一種逆命題由 Anne C . Davis 證明矣：若是所有次序保持函數 _ f  : L → L _ 有無動點，著 _ L _ 是完全格。

推論

因為完全格袂當是空的，這个定義特別保證 _ f _ 的至少一个不動點的存在，甚至一个「上細漢」( 抑是「上大」) 不動點的存在。佇足濟實際情況內底，這是這个定理上重要的蘊涵。

_ f _ 的上無法度振動是上小元素 _ x _ 予得 _ f _ ( _ x _ )=_ x _，抑是等價數的講，予得 _ f _ ( _ x _ ) ≤ _ x _；上大不動點的對尪仔命題成立，伊是上大的元素 _ x _ 予得 _ f _ ( _ x _ )=_ x _。

若對著 L 伊的元素的升序列所有的 _ x _ n 有 _ f _ ( lim _ x _ n )=lim _ f _ ( _ x _ n )，著 _ f _ 的上無法度振動是 lim _ f _ n ( 零 )，遮的零是 L 的上小元素，就按呢予出這个定理閣較有「建設性」的一个版本。閣較一般的講，若是 _ f _ 是單調函數，著 _ f _ 的上無法度振動是 _ f _ α ( 零 ) 的固定極限，選取 α 佇序數頂懸，遮的 _ f _ α 使用超限歸納法定義 : _ f _ α + 一=_ f _ ( _ f _ α ) 而且 _ f _ γ 對極限序數 γ 是 _ f _ β 對所有的小於 γ 的序序數 β 的上細頂界。上大不動點的著尪仔定理成立。

比如講，佇理論計算機科學當中，單調函數的上細不動點被用來定義程序語義。使用這个定理的一个閣較專門的版本，遮的 _ L _ 予人堅定做是特定集合的所有的子集佇集合包含次序下格。這反映著佇足濟應用中只使用這種格的事實。人定定咧查有是函數 _ f _ 的不動點的這種性質的上細集合。抽象釋義充分利用矣 Knaster–Tarski 定理閣公式予出矣上細佮上大的不動點。

Knaster–Tarski 定理會當用於康托爾-伯恩斯坦-施洛德定理的一个簡單證明。

這个定理 ( 嘿集合的格 ) 的一个特殊情況出現佇 Bronislaw Knaster 的論文中 :

佇咧和到一个集合的佇咧集合包含下遞增的搭所有囝集的家族仔的所有函數攏有至少一个不動點。

引用

• Alfred Tarski . A lattice-theoretical fixpoint theorem and its applications . Pacific Journal of Mathematics . 一千九百五十五 ,五 : 二: 兩百八十五–三百空九 .
• Andrzej Granas and James Dugundji . Fixed Point Theory . Springer-Verlag , New York . 兩千空三 . ISBN 空石三百八十七石一百七十三石五 .
• M . Kolibiar , A . Legéň , T . Šalát and Š . Znám . Algebra a príbuzné disciplíny . Alfa , Bratislava ( in Slovak ) . 一千九百九十二 . ISBN 八十五孵五七百二十一孵三 .
• Anne C . Davis . A characterization of complete lattices . Pacific J . Math . 一千九百五十五 ,五: 三百十一–三百十九 .
• B . Knaster . Un théorème sur les fonctions d'ensembles . Ann . Soc . Polon . Math . 一千九百二十八 ,六: 一百三十三–一百三十四 .
• T . Forster , _ Logic , Induction and Sets _ , ISBN 五鋪兩千一百五十三鋪三千六百十九

外部連結

• J . B . Nation , _ Notes on lattice theory _ .