克萊恩-戈登方程式

克萊恩-戈登方程式（Klein-Gordon equation）是相對論量子力學佮量子場論中的上基本的方程式，伊是薛丁格方程式的狹義相對的形式，就用描述自旋做零的粒仔。克萊恩-戈登方程式是由瑞典理論物理學家奧斯卡 ・ 克萊恩佮德國人沃爾特 ・ 戈登佇咧二十世紀二三十年代分別獨立推導會出的。

陳泗治

克萊恩-戈登方程式為著

$ { \ frac { 一 } { c ^ { 二 } } } { \ frac { \ partial ^ { 二 } } { \ partial t ^ { 二 } } } \ psi-\ nabla ^ { 二 } \ psi + { \ frac { m ^ { 二 } c ^ { 二 } } { \ hbar ^ { 二 } } } \ psi=零 $。

足濟時陣攏會用自然單位（_ c _=_ ħ _=一）寫做

$-\ partial _ { t } ^ { 二 } \ psi + \ nabla ^ { 二 } \ psi=m ^ { 二 } \ psi $

因為平面波為這个方程式已經知影的一組解，所以方程式形式由伊決定：

$ \ psi=e ^ {-i \ omega t + ik \ cdot x }=e ^ { ik _ { \ mu } x ^ { \ mu } } $

遵對狹義相對論的能量動量關係式

$-p _ { \ mu } p ^ { \ mu }=E ^ { 二 }-P ^ { 二 }=\ omega ^ { 二 }-k ^ { 二 }=-k _ { \ mu } k ^ { \ mu }=m ^ { 二 } \ , $

佮薛丁格的方式無仝款，彼每一个 _ k _ 在此攏對應著兩个 $ \ omega $，干焦通過共頻率的正負部份分開，才會當予方程式來講著規个相對的形式的波函數。若是方程式在時間流失下不變，著其形式為啥物

$ \ left [\ nabla ^ { 二 }-{ \ frac { m ^ { 二 } c ^ { 二 } } { \ hbar ^ { 二 } } } \ right] \ psi ( \ mathbf { r } )=零 $。

相對論量子力學落的形式推導

自由粒子的薛丁格方程式是非相對論量子力學的上基本的方程式：

$ { \ frac { \ mathbf { p } ^ { 二 } } { 二 m } } \ psi=i \ hbar { \ frac { \ partial } { \ partial t } } \ psi $

其中 $ \ mathbf { p }=-i \ hbar \ mathbf { \ nabla } $ 是動量算符仔。

薛丁格方程式並毋是相對論協變的，意味對伊不滿足愛因斯坦敧義相對論。

利用狹義相對論中四維動量的不變性導出的相對論動量能量關係，相對論能量

$ E={ \ sqrt { \ mathbf { p } ^ { 二 } c ^ { 二 } + m ^ { 二 } c ^ { 四 } } } $

替換薛丁格方程式倒爿自由粒仔的動能 $ { \ frac { \ mathbf { p } ^ { 二 } } { 二 m } } $，

閣落尾得著伊的協變形式

$ ( \ Box ^ { 二 } + \ mu ^ { 二 } ) \ psi=零 , $

其中 $ \ mu={ \ frac { mc } { \ hbar } } \ , $

達朗貝爾算符 $ \ Box ^ { 二 }={ \ frac { 一 } { c ^ { 二 } } } { \ frac { \ partial ^ { 二 } } { \ partial t ^ { 二 } } }-\ nabla ^ { 二 } \ , $

對相對論量子力學的觀點來看，達朗貝爾算符會出現意味著克萊恩-戈登方程式是一个量仔力學的波方程式。

量仔場論下的形式推導

場論中，對彼旋做零的場（純量場）， 搝格朗日也予人寫做

$ L={ \ frac { 一 } { 二 } } \ partial _ { \ mu } \ phi \ partial ^ { \ mu } \ phi-{ \ frac { 一 } { 二 } } m ^ { 二 } \ phi ^ { 二 } $

遮依照量子場論的習慣選取著自然單位，將光速 $ c $ 佮普朗克常數 $ \ hbar $ 攏共號做一。

代入歐拉-拉格朗日方程式 $ { \ frac { \ partial L } { \ partial \ phi } }-{ \ frac { \ partial } { \ partial x _ { \ mu } } } { \ frac { \ partial L } { \ partial ( \ partial ^ { \ mu } \ phi ) } }=零 , $ 會當直接得著克萊恩-戈登方程式。

對量仔場論的觀點來看，以上推導過程攏佇古典場論的範圍內，所以克萊恩-戈登方程式只是一个古典場的場方程式。

自由粒子解

相對論量子力學中自由粒子干焦一个理想化的概念，毋過形如克萊恩-戈登方程式這款的波方程式猶閣有形式的平面波解：

$ \ psi ( \ mathbf { r } , t )=e ^ { i ( \ mathbf { k } \ cdot \ mathbf { r }-\ omega t ) } $

其中 $-k ^ { 二 } + { \ frac { \ omega ^ { 二 } } { c ^ { 二 } } }={ \ frac { m ^ { 二 } c ^ { 二 } } { \ hbar ^ { 二 } } } . $

對克萊恩-戈登方程式提出的能量本徵值做

$ E=\ pm { \ sqrt { \ mathbf { p } ^ { 二 } c ^ { 二 } + m ^ { 二 } c ^ { 四 } } } $

因為克萊恩-戈登方程式的敨放包括了負能量。同時，由這个解導出相應的機率密度嘛袂當保證是正值。這兩个問題予得克萊恩-戈登方程式真長的一段時間內予人認為是欠缺物理意義的。英國物理學家保羅 ・ 狄拉克為著確保機率密度有物理意義建立了狄拉克的方式，毋過這个方程式猶原無避免出現負能量。

行波解

克萊恩-戈登方程式有行波解

參見

• 狄拉克方程式
• 量仔場論