克魯斯卡爾坐標系

克魯斯卡爾坐標系（抑是叫做克魯斯卡爾-塞凱賴啥物坐標系，英文Kruskal coordinates抑是Kruskal-Szekeres coordinates）是佇咧史瓦西度規下建立的一種坐標系，名稱來自美國數學物理學家馬丁・克魯斯卡爾（Martin Kruskal）佮匈牙利-澳大利亞數學家喬治・塞凱賴啥。這種坐標系的優點因為伊會當涵蓋規个時空流形，予奇巧點以外的所有點佇咧坐標系中攏存在定義，也就是講伊會當將原有的佇球坐標系下跤的史瓦西度規上大限度地推廣到規个時空中。

定義

考慮著佇球坐標系下跤史瓦西度規

$ ds ^ { 二 }=-\ left ( 一-{ \ frac { 二 GM } { r } } \ right ) dt ^ { 二 } + \ left ( 一-{ \ frac { 二 GM } { r } } \ right ) ^ { 影一 } dr ^ { 二 } + r ^ { 二 } d \ Omega ^ { 二 } $

其中

$ d \ Omega ^ { 二 } \ { \ stackrel { \ mathrm { def } } {=} } \ d \ theta ^ { 二 } + \ sin ^ { 二 } \ theta \ , d \ phi ^ { 二 } $

是二維球面 $ S ^ { 二 } \ , $ 的線元。

將時間坐標 $ t \ , $ 和徑向坐標 $ r \ , $ 做如下代換：

對視界外部 $ r > 二 GM $ 的區域，

$ T=\ left ( { \ frac { r } { 二 GM } } 影一 \ right ) ^ { 二分之一 } e ^ { r / 四 GM } \ sinh \ left ( { \ frac { t } { 四 GM } } \ right ) $

$ R=\ left ( { \ frac { r } { 二 GM } } 影一 \ right ) ^ { 二分之一 } e ^ { r / 四 GM } \ cosh \ left ( { \ frac { t } { 四 GM } } \ right ) $

對視界內底 $ 零 < r < 二 GM $ 的區域，

$ T=\ left ( 一-{ \ frac { r } { 二 GM } } \ right ) ^ { 二分之一 } e ^ { r / 四 GM } \ cosh \ left ( { \ frac { t } { 四 GM } } \ right ) $

$ R=\ left ( 一-{ \ frac { r } { 二 GM } } \ right ) ^ { 二分之一 } e ^ { r / 四 GM } \ sinh \ left ( { \ frac { t } { 四 GM } } \ right ) $

佇遮欲坐標下跤，史瓦西度規由下式給出：

$ ds ^ { 二 }={ \ frac { 三十二 G ^ { 三 } M ^ { 三 } } { r } } e ^ {-r / 二 GM } (-dT ^ { 二 } + dR ^ { 二 } ) + r ^ { 二 } d \ Omega ^ { 二 } , $

其中 $ r \ , $ 的定義予人含佇

$ T ^ { 二 }-R ^ { 二 }=\ left ( 一-{ \ frac { r } { 二 GM } } \ right ) e ^ { r / 二 GM } $

抑是等價數佇

$ { \ frac { r } { 二 GM } }=一 + W \ left ( { \ frac { R ^ { 二 }-T ^ { 二 } } { e } } \ right ) $

其中 $ W \ , $ 是朗伯仔 W 函數。

這組由 $ \ left ( T , R , \ theta , \ phi \ right ) \ , $ 構成的坐標系叫做 Kruskal 坐標系，有時嘛叫做 Kruskal-Szekeres 坐標系。

Kruskal 圖

Kruskal 坐標的性質

史瓦西烏空的視界佇咧 $ r=二 GM \ , $，現此時

$ T ^ { 二 }-R ^ { 二 }=\ left ( 一-{ \ frac { r } { 二 GM } } \ right ) e ^ { r / 二 GM } $

的正面替零，對遐有

$ T=\ pm R \ , $

即史瓦西烏空的視界佇咧 T-R 平面上是兩條四十五 ° 的對角線。

著一般的常數 $ r \ , $，會用得著

$ T ^ { 二 }-R ^ { 二 }={ \ text { constant } } \ , $

即伊是 T-R 平面上的一組雙曲線。

著一般的常數 $ t \ , $，

$ { \ frac { T } { R } }=\ tanh \ left ( { \ frac { t } { 四 GM } } \ right ) \ , $

𪜶是通過這个原點的斜率 $ \ tanh ( t / 四 GM ) \ , $ 的直線。注意著當中 $ t \ rightarrow \ pm \ infty \ , $ 時 $ \ tanh ( t / 四 GM )=\ pm 一 \ , $，對等價數起來 $ T ^ { 二 }-R ^ { 二 }=零 , $ 的情形。這个表明 $ t=\ pm \ infty \ , $ 和 $ r=二 GM \ , $ 咧講的是仝一个面。

Kruskal 圖

若像上節咧講的按呢共時空圖畫甲 T-R 平面上就得著像正面圖一所示的 Kruskal 圖。Kruskal 圖面的每一點攏有代表一个二維球面。對圖內底會當看著：

徑向坐標 $ r \ , $ 會當對當無窮大連紲變化到零，中央經過視界 $ r=二 GM \ , $。這連紲變化對應著圖二中藍色的雙曲線族，其中經過 R 軸的雙曲線對應 $ r > 二 GM \ , $ 的情形，經過 T 軸的雙曲線對應 $ r < 二 GM \ , $ 的情形，雙曲線的兩條漸近線對應 $ r=二 GM \ , $ 的視界。$ r=零 \ , $ 對應烏洞的出奇巧點，若佇咧以外的部份（圖二中的殕色區域）時間佮空間坐標攏無定義。
時間坐標 $ t \ , $ 會當對負無窮大連紲變化甲擋袂牢，範圍涵起了兩條漸漸近線（兩條四十五 ° 的對角線）所挾的包括 R 軸的部分，即在這个範圍內通過原點所有直線。R 軸對應時間坐標 $ t=零 \ , $ 的直線。
佇咧 Kruskal 坐標下，R 有對負無窮大到正無窮大的連紲定義，T 原仔仝款，但是兩个佇灰色的區域猶原無定義。

上蓋大延伸的史瓦西解

對球坐標系下跤的史瓦西解來講，存在物理意義的徑向坐標的範圍是 $ 零 < r < \ infty \ , $，而且 $ r \ neq 二 GM \ , $；毋過對上節咱已經看著佇 Kruskal 坐標系中，佇咧避免挵著奇巧點 $ r=零 \ , $ 的提落所允准的 R 的範圍是對負無窮大到一直攏好額，並且 $ T ^ { 二 }-R ^ { 二 } < 一 \ , $。佇咧 Kruskal 圖內底所描述的史瓦西解予人叫做上大的延伸的史瓦西解（Maximally Extended Schwarzchild Solution），對圖三中會當看著伊包含有通過視界 $ r=二 GM \ , $ 分割的四个無仝的時空：

區域 I—— 史瓦西幾何中 $ r > 二 GM \ , $ 的時空，也就是烏空視界以外，阮的漸漸平常時空。
區域 II—— 史瓦西幾何中 $ r < 二 GM \ , $ 的時空，也就是史瓦西烏空的內部。任何對區域 I 經過視界 $ r=二 GM \ , $ 到達區域 II 的物體攏無法度轉去區域 I，而且𪜶的最終命運攏是挵著奇巧點 $ r=零 \ , $。
區域 III—— 史瓦西幾何中 $ r < 二 GM \ , $ 區域的時間反演，也就是講物體會當對區域 III 經過視界到達區域 I，但是伊攏無法度轉去區域 III。這就是理論頂一个白空的物理概念：白洞具有一个類似彼宇宙大爆炸彼種的過去奇巧點，仝時陣有過去的視界（相對來講區域 II 中未來的奇異點佮未來的視界）。
區域 IV—— 仝款做 $ r > 二 GM \ , $ 的漸近平直時空，煞無仝通過時間流失抑是反演對區域 I 到達區域 IV，抑是反過來對區域 IV 到達區域 I，這是咱的宇宙的一个鏡像。佇理論上，會當佇這兩个宇宙間建立聯繫的方法是蟲豸（愛因斯坦-羅森橋）。假使講 Kruskal 圖頂頭咧講的時空以 T 為常數切做濟類空的表面，佇咧史瓦西幾欲佇咧短時間內存在一个連接兩个漸漸入平直時空的蟲洞。毋過佇理論上，這个蟲空拍開的時間傷短以至任何的觀察者攏無法度通過蟲洞到位親像時空中。

參見

史瓦西度規
潘洛斯圖

參考文獻

Misner , Thorne , Wheeler . Gravitation . W H Freeman and Company . 一千九百七十三 . ISBN 空九七千一百六十七撨三百四十四分空（英抹）. 第三十二由六節
Sean M . Carroll . Spacetime and Geometry : An Introduction to General Relativity ( Hardcover ) . Benjamin Cummings . 兩千空三 . ISBN 九百七十八追八鋪空五百三十八撨七千三百二十二（英抹）. 第五孵七節