克魯爾維數

佇交換代數內底，一个環的克魯爾維數定義做素理想鏈的上大長度。此概念依數學家 Wolfgang Krull（一八九九年-一九七一年）號名。

定義

設交換環 $ R $ 中有 $ n + 一 $ 個素理想 $ P _ { 零 } , \ ldots , P _ { n } $，予得

$ P _ { 零 } \ subsetneq P _ { 一 } \ subsetneq \ ldots \ subsetneq P _ { n } $

稱呼做長度做 $ n $ 的素理想鏈，一个無法度插入新的素理想的鏈予人號做真大的。$ R $ 的克魯爾維數定義做素理想鏈的上大可能長度，這是原仔等於講 $ R $ 中素理想的上大有可能懸度。

根據定義，$ R $ 伊的維數佮對素理想的局部化有理解的關係

$ \ dim R=\ sup \ { \ dim R _ { \ mathfrak { p } } : { \ mathfrak { p } } \ in \ mathrm { Spec } R \ } $

其中 $ \ mathrm { Spec } R $ 表 $ R $ 所有的素理想所成集合。咱嘛會當干焦考慮做極大理想的 $ { \ mathfrak { p } } $。當 $ R $ 做鏈環時的時陣，對各極大理想的局部化攏有仝款維數；代數幾項處理的交換環通常攏是鍊環。

例佮性質

譬如講佇環 $ ( \ mathbb { Z } / 八 \ mathbb { Z } ) [X , Y , Z] $ 中會當考慮以下的素理想鏈

$ ( 二 ) \ subsetneq ( 二 , x ) \ subsetneq ( 二 , x , y ) \ subsetneq ( 二 , x , y , z ) $

所以 $ \ dim ( \ mathbb { Z } / 八 \ mathbb { Z } ) [X , Y , Z] \ geq 三 $；事實上可證明其維數確實為三。以下是克魯爾維數的幾个一般性質：

• 零維的整環是域。
• 離散才值環和戴德金整環是一維的。
• 若是 $ \ dim R=k $，著 $ k + 一 \ leq \ dim R [X] \ leq 二 k + 一 $；當 $ R $ 為嗎特環時則 $ \ dim R [X]=k + 一 $。
• 若是 $ k $ 為域，著 $ \ dim k [X _ { 一 } , \ ldots , X _ { n }]=n $。
• 若是 $ B $ 為 $ A $-代數，同時又閣有限生的 $ A $-模，著 $ \ dim B=\ dim A $。

佮幾何的關係

佇咧代數幾何中，一个概形的維數被定義做各局部環的克魯爾維數的頂懸確界；對仿射概形 $ X=\ mathrm { Spec } A $，回歸到 $ \ dim X=\ dim A $。

設 $ k $ 為域，$ R $ 是有限型喔 $ k $-整代數，這是代數幾何中的主要案例。根據嗎特正規化引理，存在非負整數 $ d $ 佮 $ R $ 互相中間這此代數獨立的元素 $ x _ { 一 } , \ ldots , x _ { d } $，予得 $ R $ 是有限生成之 $ k [x _ { 一 } , \ ldots , x _ { d }] $-模，所以 $ \ dim R=d $。對幾若个觀點看，$ \ mathrm { Spec } R $ 現此時是 $ \ mathbb { A } _ { k } ^ { d } $ 的有限分歧崁，因為克魯爾維數確實是欲繼續講幾若種直觀：

一 . $ \ dim \ mathbb { A } _ { k } ^ { d }=d $ 二 . 若是 $ X \ rightarrow Y $ 是分歧崁，著 $ \ dim X=\ dim Y $。

特別是當 $ k=\ mathbb { C } $ 時，代數圍的克魯維數等於複幾何中定義的維數。

文獻

• H . Matsumura , _ Commutative algebra _ ISBN 空九八千空五十三五七千空二十六五九