勒壤得多項式

數學上，勒壤得函數指以下勒壤得微分方程式的解：

$ ( 一-x ^ { 二 } ) { \ frac { \ mathrm { d } ^ { 二 } P ( x ) } { \ mathrm { d } x ^ { 二 } } } 鋪二 x { \ frac { \ mathrm { d } P ( x ) } { \ mathrm { d } x } } + n ( n + 一 ) P ( x )=零 . $

為求解方便一般嘛寫做如下史特姆-萊歐維爾形式 :

$ { \ mathrm { d } \ over \ mathrm { d } x } \ left [( 一-x ^ { 二 } ) { \ mathrm { d } \ over \ mathrm { d } x } P ( x ) \ right] + n ( n + 一 ) P ( x )=零 . $

欲講方程式佮函數因法國數學家阿德里安-馬里 ・ 勒壤得頂得等。勒壤得方程式是物理學佮其他的技術定定拄著的一類常微分方程式。當試圖佇球坐標中求解三維拉普拉斯方程式（抑是相關的其他偏微分方程式）時，問題嘛是會歸結為勒予德方程式的求解。

勒壤得方程式的解可寫做標準的冪級數形式。做方程式滿足 $ | x | < 一 $ 時，會當得著有界解（即解級數收斂）。 並且當 n 為非負整數，即 $ n=零 , 一 , 二 , \ ldots $ .

正交性

勒壤得多項式的一個重要性質是其在區間 $ 影一 \ leq x \ leq 一 $ 關於著 L 二內積滿足正交性，即：

$ \ int _ { 影一 } ^ { 一 } P _ { m } ( x ) P _ { n } ( x ) \ , \ mathrm { d } x={ 二 \ over { 二 n + 一 } } \ delta _ { mn } $

其中 $ \ delta _ { mn } $ 為克羅內克 δ 記號，當 $ m=n $ 時為一，抑無替零。 事實上，推導勒壤得多項式的另外一種方法就是關於前述內積空間對多項式 $ { 一 , x , x ^ { 二 } , \ ldots } $ 進行格搝姆-施密特正的交化。之所以有按呢的交性是因為按呢前所述，勒壤得微分方程式會當為標準的 Sturm-Liouville 問題：

$ { \ mathrm { d } \ over \ mathrm { d } x } \ left [( 一-x ^ { 二 } ) { \ mathrm { d } \ over \ mathrm { d } x } P ( x ) \ right]=-\ lambda P ( x ) , $

其中本徵值 $ \ lambda $ 對應該是原方程式內底的 $ n ( n + 一 ) $。

部份實例

下表列出了前十一階（n 對無到十）勒壤得多項式的表達式：

前六階（n 對無到五）勒壤得多項式的曲線如下圖所示：

佇物理學中的應用

佇求解三維空間內底的球對稱問題，譬論講計算點電錢佇空間內底激發的電位的時，定定愛用到勒壤得多項式作如下形式的級數展開：

$ { \ frac { 一 } { \ left | \ mathbf { x }-\ mathbf { x } ^ { \ prime } \ right | } }={ \ frac { 一 } { \ sqrt { r ^ { 二 } + r ^ { \ prime 二 } 鋪二 rr'\ cos \ gamma } } }=\ sum _ { \ ell=零 } ^ { \ infty } { \ frac { r ^ { \ prime \ ell } } { r ^ { \ ell + 一 } } } P _ { \ ell } ( \ cos \ gamma ) $

其中 $ r $ 和 $ r'$ 分別為位置向量 $ \ mathbf { x } $ 和 $ \ mathbf { x } ^ { \ prime } $ 的長度 ( 其中 $ r $ 和 $ r'$ 分別為著位置向量 $ \ mathbf { x } $ 和 $ \ mathbf { x } ^ { \ prime } $ 長度進行測量的結果 )，$ \ gamma $ 為這兩向量的角色 ( $ \ gamma $ 為著兩向量的角色展開估計的結果 )。當 $ r > r'$ 時上式成立。該式計算矣佇 $ \ mathbf { x }'$ 處的點電荷激發的電場佇咧 $ \ mathbf { x } $ 點引起的電位大細。佇咧對空間內底連紲分布的電錢引起的電位大細進行計算時 ( 當計算由連續分佈電錢所產生的電位的時 )，會牽涉著對頂懸進行積分 ( 需要積分上式中央項 )。這陣，上式正爿的勒壤甲濟項式展開將對此積分的計算帶來誠大的方便 ( 逐項積分上式正爿的展開式會當提著一級數解，這級數之頭一項叫做電單極矩，第二項號做電偶極矩，第三項號做電四極矩 )。

靜電場內底有軸對稱邊界條件的問題會當歸結做佇球坐標系內底用分離變數法求解關於電位函數的拉普拉斯方程式 $ \ nabla ^ { 二 } \ Phi ( \ mathbf { x } )=零 $（佮對講的角色無關係）。 若設 $ { \ widehat { \ mathbf { z } } } $ 為著講軸，$ \ theta $ 為觀測者位置向量佮 $ { \ widehat { \ mathbf { z } } } $ 軸的角色，則勢函數的敨可表示為：

$ \ Phi ( r , \ theta )=\ sum _ { \ ell=零 } ^ { \ infty } \ left [A _ { \ ell } r ^ { \ ell } + B _ { \ ell } r ^ {-( \ ell + 一 ) } \ right] P _ { \ ell } ( \ cos \ theta ) . $

其中 $ A _ { \ ell } $ 和 $ B _ { \ ell } $ 由具體邊界條件確定。

其他的性質

勒壤得多項式的奇偶性由階數確定。當階數 k 做偶數的時，$ P _ { k } ( x ) $ 共複數；當階數 k 為奇數的時陣，$ P _ { k } ( x ) $ 共奇函數，即：

$ P _ { k } (-x )=( 影一 ) ^ { k } P _ { k } ( x ) . \ , $

遞迴關係

相鄰的三个勒壤甲濟項式有三項遞迴關係：

$ ( n + 一 ) P _ { n + 一 }=( 二 n + 一 ) xP _ { n }-nP _ { n 影一 } \ , $

另外咧，考慮微分了後猶閣有用下遞迴關係：

$ { x ^ { 二 } 影一 \ over n } { \ mathrm { d } \ over \ mathrm { d } x } P _ { n }=xP _ { n }-P _ { n 影一 } . $

$ ( 二 n + 一 ) P _ { n }={ \ mathrm { d } \ over \ mathrm { d } x } \ left [P _ { n + 一 }-P _ { n 影一 } \ right] . $

其中上尾一个式佇咧計算勒壤著濟項式的積分中較為有路用。

予濟項式的值：

移位勒壤得多項式

移位勒壤得多項式 $ { \ tilde { P _ { n } } } ( x ) $ 的正交區間定義佇咧 $ [零 , 一] $ 上，即：

$ \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ tilde { P _ { m } } } ( x ) { \ tilde { P _ { n } } } ( x ) \ , \ mathrm { d } x={ 一 \ over { 二 n + 一 } } \ delta _ { mn } . $

其顯式表達式為著：

$ { \ tilde { P _ { n } } } ( x )=( 影一 ) ^ { n } \ sum _ { k=零 } ^ { n } { n \ choose k } { n + k \ choose k } (-x ) ^ { k } . $

相應的羅德里做公式為：

$ { \ tilde { P _ { n } } } ( x )=( n ! ) ^ { 影一 } { \ mathrm { d } ^ { n } \ over \ mathrm { d } x ^ { n } } \ left [( x ^ { 二 }-x ) ^ { n } \ right] . \ , $

下表出進前四階徙位勒壤真濟項式：

分數階勒壤甲真濟項式

分數階勒壤甲濟項式通過將分數階微分佮通過 Γ 函數定義的非整數階乘代入羅德里格公式中來定義。

極限關係

'大 Q 勒壤得多項式 →勒壤得多項式'

令大 q 雅可比濟項式中的 $ c=零 $ , 即勒壤得多項式令連紲 q 勒壤得多項式 q-> 一定愛勒予濟項式

$ $ \ lim _ { q \ to 一 } P _ { n } ( x | q )=P _ { n } ( x ) $ $

細 q 勒壤得多項式 →勒壤得多項式

$ $ \ lim _ { q \ to 一 } p _ { n } ( x | q )=P _ { n } ( 一孵二 x ) $ $

參見

• 高斯求積
• 伴隨勒壤得多項式
• 勒壤甲有理函數

外部連結

• 沃爾夫勒姆（Wolfram）數學世界對勒壤得多項式的介紹（英文）

參考文獻

• 二 . Milton Abramowitz and Irene A . Stegun , eds . ( 一千九百六十五 ) . Handbook of Mathematical Functions with Formulas , Graphs , and Mathematical Tables . New York : Dover . ISBN 空九四百八十六抹六鋪一千兩百七十二孵四（參見第八章佮第二十二章）