勒貝格測度

佇咧測度論當中，勒貝格測度（Lebesgue measure）是歐幾里得空間標準測度。嘿維數為一，二，三的狀況，勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。伊講法應用佇實分析，特別是用佇定義啦貝格咧積分。會當予勒貝格測度的集合稱做勒貝格可測集；勒貝格可測集 _ A _ 的測度記作 _ λ _ ( _ A _ )。一般來講，咱允准一个集合的勒貝格測度為 ∞，但是就是按呢，佇假使選擇公理成立的時陣，Rn 猶閣有勒貝格不可測的子集。袂當測集的「奇特」行為致使巴提赫-塔斯基交論這款的命題，伊是選擇公理的一个結果。

勒貝格測度以法國數學家昂利・勒貝格號名。勒貝格佇一九零一年頭一改提出這一測度，次年又閣共出勒貝格積分的定義，並收錄入去伊的學位論文中。

問題起源

人知影講，區間的長度會當定義做捀點值之差。干焦交區間的並的長度應當是𪜶的長度之佮。所以𪜶希望共長度的概念推廣到比區間閣較複雜的集合。

阮想欲構造一个影射 _ m _，伊會當共實數集的子集 _ E _ 炤著非負實數 _ m _ ( _ E _ )，並講這个數為集合 _ E _ 的測度。上理想的狀況下，_ m _ 應該有下性質：

_ m _ 對伊實數集的所有的子集 _ E _ 攏有定義。
對著一个區間 [_ a _ , _ b _]，_ m _ ( [_ a _ , _ b _] ) 應當等於其長度 _ b _ − _ a _。
_ m _ 有可數可加性。若是 ( _ E _ n ) 是一列無相交的集合，並且 _ m _ 佇其上有定義，遐爾 $ m \ left ( \ bigcup _ { n } E _ { n } \ right )=\ sum _ { n } m ( E _ { n } ) $，其中 ⋃ 表示並集。
_ m _ 具有平移不變性。設集合 _ E _ 佮 _ E _ + _ k _={ _ x _ + _ k _ : _ x _ ∈ _ E _ } （咧欲 _ E _ 的每一个元素各加上仝一个實數 _ k _ 所得著的集合），著 _ m _ ( _ E _ + _ k _ )=_ m _ ( _ E _ )。

遺憾的是，按呢的映射是無存在的。人干焦會當退而求其次，走揣滿足其中的部份條件攏總。勒貝格測度是滿足了後三條性質的例。另外一个例是若做測度，伊只有滿足有限可加性。

定義

區間 $ I=[a , b] $ 的長度定義為 $ | I |=b-a $。著 $ E \ subseteq \ mathbb { R } $，勒貝閣來測度定義為著每一列會當崁 $ E $ 的開區間 $ \ { I _ { k } \ } _ { k \ in \ mathbb { N } } $，作長度佮 $ \ mu=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } { | I _ { k } | } $。所有遮的 $ \ mu $ 組成一个有下界的數集，下確界講是勒貝閣來測度，記做 $ \ lambda ^ { * } ( E ) $。

勒貝格測度定義佇咧勒貝格 σ 代數上。若集合 $ E $ 滿足：

嘿所有 $ A \ subseteq \ mathbb { R } $，皆有 $ \ lambda ^ { * } ( A )=\ lambda ^ { * } ( A \ cap E ) + \ lambda ^ { * } ( A \ cap E ^ { c } ) , $

著 $ E $ 為勒貝格 σ 代數的元素，這號做勒貝格可測集。著勒貝格可測集，其勒貝格測度 $ \ lambda ( E ) $ 就定義為勒貝閣來測度 $ \ lambda ^ { * } ( E ) $。

無咧咧勒貝格的 σ 代數中的集合毋是咧貝格可測的，這款的集合有影存在，故勒貝格 σ 代數嚴格包括著 $ \ mathbb { R } $ 的冪集。

例

任何區間攏是勒貝格可測的。閉區間 $ [a , b] $、開區間 $ ( a , b ) $ 的勒貝格測度攏等於區間長度 $ b-a $。
若是 _ A _ 是區間 [_ a _ , _ b _] 和 [_ c _ , _ d _] 的𥰔仔卡爾，則伊是一个長篙形，測度伊的面積 ( _ b _ − _ a _ ) ( _ d _ − _ c _ )。
博雷爾集攏是勒貝格可測的。反途抑無，存在毋是博雷爾集的勒貝格可測集。
會當數集的勒貝格測度做零。特別是，有理數集的勒貝格測度做零，就算講伊有理數集是誠濟的。
康托爾集是一个勒貝格測度做零的不可數集的例。
假使決定性公理成立，則實數集的所有子集攏是勒貝格可測的。假使選擇公理成立，則會當構造出勒貝格袂當測的集合，譬如講維塔利集。決定性公理佮選擇公理是無相容的。
奧斯古德曲線（Osgood curve）是平面簡單曲線，毋過有大於零的勒貝格測度。龍形曲線是另外一个例。

性質

設集合 _ A _ 佮 _ B _ 是佇咧Rn 上的集合。勒貝格測度有如後的性質：

一 . 若是 _ A _ 是一列區間 ( _ In _ ) 的𥰔仔卡爾 $ \ prod _ { n } I _ { n } $，著 _ A _ 是勒貝格可測的，並且 $ \ lambda ( A )=\ prod _ { n } \ left | I _ { n } \ right | $，其中 | _ I _ | 表示區間 _ I _ 的長度。二 . 若是 _ A _ 是有限個抑是可數個兩兩互相交插的勒貝格可測集 ( _ En _ ) 的併集，著 _ A _ 嘛是勒貝格可測的，並且 $ \ lambda \ left ( A \ right )=\ sum _ { n } \ lambda ( E _ { n } ) $。三 . 若是 _ A _ 是勒貝格可測的，若按呢伊的相對 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的補集嘛是會當測的。四 . 對每一个勒貝格會當測集 _ A _，$ \ lambda ( A ) \ geq 零 $。五 . 若是 _ A _ 佮 _ B _ 是勒貝格可測的，而且 _ A _ ⊆ _ B _，著 $ \ lambda ( A ) \ leq \ lambda ( B ) $。六 . 可數濟个勒貝格可測集的交集或者是併集，猶原是勒貝格可測的。七 . $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的博雷爾集（即由開集經可數濟擺交、並、差運算會到的集合）攏是勒貝格可測的。八 . 勒貝格可測集「差不多」是開集，嘛「差不多」是閉集。具體來講，$ E $ 是勒貝格可測集若閣唯若對任意的 $ \ varepsilon > 零 $ 存在開集 $ G $ 佮閉集 $ F $ 予得 $ F \ subset E \ subset G $ 而且 $ \ lambda ( G \ setminus F ) < \ varepsilon $。此性質捌用來定義勒貝格可測性。（見勒貝格測度的正則性定理）九 . 勒貝格測度既是局部有限的，閣是內正則的，所以是搝東測度。十 . 非空開集的勒貝格測度嚴格大過散，所以勒貝格測度的支集是全空間 $ \ mathbb { R } ^ { n } $。十一 . 若是 _ A _ 是勒貝格零測集，即 $ \ lambda ( A )=零 $，著 _ A _ 的任何一个子集嘛是勒貝格零測集。十二 . 若是 _ A _ 是勒貝格可測的，而且 _ B _={ _ x _ + _ k _ : _ x _ ∈ _ A _ } （咧欲 _ A _ 平移 _ k _ 個單位），著 _ B _ 嘛是勒貝格可測的，並且 $ \ lambda ( B )=\ lambda ( A ) $。十三 . 若是 _ A _ 是勒貝格可測的，而且 _ B _={ _ kx _ : _ x _ ∈ _ A _ } （咧欲 _ A _ 縮放 _ k _ 倍，$ k > 零 $），著 _ B _ 嘛是勒貝格可測的，並且 $ \ lambda ( B )=k ^ { n } \ cdot \ lambda ( A ) $。十四 . 閣較一般，設 _ T _ 是一个線性變換，det ( _ T _ ) 為其行列式。若是 _ A _ 是勒貝格可測的，著 _ T _ ( _ A _ ) 嘛是勒貝格可測的，並且 $ \ lambda ( T ( A ) )=| \ det ( T ) | \ lambda ( A ) $。十五 . 設 _ f _ 是一个對 _ A _ 到 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 上的連續單射函數。若是 _ A _ 是勒貝格可測的，著 _ f _ ( _ A _ ) 嘛是勒貝格可測的。

簡要的講，$ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的咧貝格可測子集組做一个包含講所有的區間的𥰔仔卡爾積的 σ-代數，而且 _ λ _ 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 $ \ lambda ( [零 , 一] \ times [零 , 一] \ times \ cdots \ times [零 , 一] )=一 $ 的測度。

勒貝格測度是 σ-有限測度。

零測集

$ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的子集 _ A _ 是零測集，若對著任意 $ \ varepsilon > 零 $，_ A _ 攏會當用會數濟觳仔（即 _ n _ 個區間的乘積）來崁，而且伊其實上體積上濟為 $ \ varepsilon $。所有的可數集攏是零測集。

若是 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的子集的豪斯多夫維數小於 $ n $，按呢伊是關於著 _ $ n $ _ 維勒貝格測度的零測集。佇遮，豪斯多夫維數是對 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 最的歐幾里得度量（抑是任何佮其利普希茨等價的渡量）來講。另外一方面，一个集合可能拓撲維數小於 $ n $，但具有正的 $ n $ 維勒貝格測度。一个這款的例是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集，伊的拓撲維數做零，但是一維勒貝格測度為正數。

為著證明某一个集合 _ A _ 是勒貝格可測的，咱通常咧試講欲揣一个「比較好」的集合 _ B _，佮 _ A _ 的對稱差是零測集，然後證明 _ B _ 會當用開集或者是恬恬交集佮併集生成。

勒貝格測度的構造

勒貝格測度的現代構造是外測度，並且應用卡拉西奧多里擴張定理。

固定 $ n \ in \ mathbb { N } . $ $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 中的盒仔嘿形如 $ B=\ prod _ { i=一 } ^ { n } [a _ { i } , b _ { i }] $ 的集合，其中 $ b _ { i } \ geq a _ { i } $，連乘號代表𥰔仔卡爾積。盒仔的體積定義為 $ \ operatorname { vol } ( B )=\ prod _ { i=一 } ^ { n } ( b _ { i }-a _ { i } ) $

對於 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的任何子集 _ A _，會當定義伊的外測度 $ \ lambda ^ { * } ( A ) : $

$ \ lambda ^ { * } ( A )=\ inf { \ Bigl \ { } \ sum _ { B \ in { \ mathcal { C } } } \ operatorname { vol } ( B ) : { \ mathcal { C } } $ 是會當數一个盒仔的集合，𪜶的併集崁起來矣 $ A { \ Bigr \ } } . $

然後定義集合 _ A _ 為勒貝格可測的，若對所有集合 $ S \ subset \ mathbb { R } ^ { n } $，攏有：

$ \ lambda ^ { * } ( S )=\ lambda ^ { * } ( A \ cap S ) + \ lambda ^ { * } ( S \ setminus A ) . $

這勒貝格可測的集合形成做一个 σ 代數。對任何勒貝格可測的集合 _ A , _ 其勒貝格測度定義為 $ \ lambda ( A )=\ lambda ^ { * } ( A ) $

勒貝格袂當測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理，存在實數R的一个勒貝格袂當測的子集。若是 _ A _ 是 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的子集，而且測度為正，遐爾 _ A _ 就有勒貝格不可測的子集。

一九七空年，Robert M . Solovay 證明矣，佇咧無欲選擇公理的策梅洛-枋蘭克爾集合論中，勒貝格袂當測集的存在性是不可證的（見 Solovay 模型）。

佮其他的測度的關係

若是 _ A _ 博雷爾可測，是其博雷爾測度佮勒貝格測度一致；毋過，閣較濟的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的，但是毋是完備的。

哈爾測度會當定義佇任何局部緊群上，是勒貝格測度的一个推廣（帶有加法的 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 是一个局部緊群）。

豪斯多夫測度（參見豪斯多夫維數）是勒貝格測度的一个推廣，對測量來講 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的維數比 _ n _ 低的子集是足有路用的，比如講R³ 上的曲線、曲面，佮分形集合。注意袂使共豪斯多夫測度佮豪斯多夫維數相濫摻。

會當證明，無法度佇散赤維空間頂定義類似的勒貝格測度。

參看

勒貝格密度定理
劉維爾數集的勒貝格測度

參考文獻