卡茨-穆迪代數

卡茨-穆迪代數是一个李代數，通常無限制度，其定義自（Victor Kac 咱所講的）廣義根系。卡茨-穆迪代數的應用遍及數學佮理論物理學。

定義

假定以下材料：

$ C=( c _ { ij } ) $—— 一个 _ r _ 階廣義嘉做矩陣 (generalised Cartan matrix) $ C=( c _ { ij } ) $ _ r _ .
$ { \ mathfrak { h } } $———— 一粒兩 _ n _ − _ r _ 維複向量空間 $ { \ mathfrak { h } } $ .
$ { \ mathfrak { h } } ^ { * } $———— $ { \ mathfrak { h } } $ 的嘿尪仔空間
$ \ alpha _ { i } \ $———— $ { \ mathfrak { h } } $ 中 _ n _ 枚相互相獨立的元，這號做 _ 嘿尪仔根 _ (co-root)
$ \ alpha _ { i } ^ { * } $———— $ { \ mathfrak { h } } ^ { * } $ 中 _ n _ 枚線性互相獨立的元，這號做根(root)
頂懸講各元滿足 $ \ alpha _ { i } ^ { * } ( \ alpha _ { j } )=c _ { ij } $ .

卡茨-穆迪代數 $ { \ mathfrak { g } } $ 由符號 $ e _ { i } $ , $ f _ { i } $ ( _ i=一 , . . , n _ ) 佮空間 $ { \ mathfrak { h } } $ 生成：

以上各元滿足以下關係：

$ [e _ { i } , f _ { i }]=\ alpha _ { i } . \ $
$ [e _ { i } , f _ { j }]=零 \ $；其中 $ i \ neq j . $
$ [e _ { i } , x]=\ alpha _ { i } ^ { * } ( x ) e _ { i } $ , 其中 $ x \ in { \ mathfrak { h } } . $
$ [f _ { i } , x]=-\ alpha _ { i } ^ { * } ( x ) f _ { i } $ , 其中 $ x \ in { \ mathfrak { h } } . $
$ [ x , x']=零 \ $；其中 $ x , x'\ in { \ mathfrak { h } } . $
$ [e _ { i } , [ e _ { i } , \ ldots , [ e _ { i } , e _ { j }] ] ]={ \ mathcal { C } } _ { e _ { i } } ^ { 一-c _ { ij } } \ ; e _ { j }=零 $ ; 其中 $ e _ { i } . \ $ 出現 $ 一-c _ { ij } \ $ 次；
$ [f _ { i } , [ f _ { i } , \ ldots , [ f _ { i } , f _ { j }] ] ]={ \ mathcal { C } } _ { f _ { i } } ^ { 一-c _ { ij } } \ ; f _ { j }=零 $ ; 其中 $ f _ { i } . \ $ 出現 $ 一-c _ { ij } \ $ 次；

( 其中 $ { \ mathcal { C } } _ { x } \ ; y=[x , y] $ . )

一个實 ( 維數會當無限 ) 李代數亦可稱為 Kac–Moody 代數，若欲複化是一个 Kac–Moody 代數 .

釋義

$ { \ mathfrak { h } } $ 是這卡茨-穆迪代數的一嘉當子代數。
若是 _ g _ 是 Kac–Moody 代數的一箍，予得

$ \ forall x \ in { \ mathfrak { h } } \ , [g , x]=\ omega ( x ) g $

其中 ω 是 $ { \ mathfrak { h } } ^ { * } $ 的一箍，

則稱 _ g _ 為權 ( weight ) ω 的。阮會當分解一下 Kac–Moody 代數成其冪的空間，是嘉當囝的代數 $ { \ mathfrak { h } } $ 的冪為零，_ e _ i 的冪為 α \ * i，而且 _ f _ i 的冪為 −α \ * i。若二冪特徵向量的李括號非零，則其冪是二冪之和。（若是 $ i \ neq j $ ) 著 $ [e _ { i } , f _ { j }]=零 \ $ 一條件即指 α \ * i 攏是簡單根。

分類

咱會當分解廣義嘉當矩陣 C 成矩陣積 DS , 其中 D 是正對角矩陣，S 是對稱矩陣。然是有三種可能 :

$ { \ mathfrak { g } } $ 有限維單李代數 ( S 正定 )
$ { \ mathfrak { g } } $ 是仿射李代數 ( S 正半定 )
雙曲 ( S 無定著 )

S 無可能負定抑是負半定無可能會對角元攏正 .

參見

外而-卡茨特徵標公式
廣義卡茨-穆迪代數

參考

< < Infinite-Dimensional Lie Algebras > > , Victor Kac , Cambridge University Press
Encyclopaedia of Mathematics , Springer On-line References