反正絃
反正絃（arcsine，$ \ arcsin $，$ \ sin ^ { 影一 } $）是一種反三角函數。佇三角學當中，反正絃予定義做正絃值的反函數。佇咧實數域內底，正弦函數毋是一个雙射函數，故佇咧規个定義域上無法度有單值的反函數；但是若限定義域佇咧 $ \ left [-{ \ frac { \ pi } { 二 } } + k \ pi , { \ frac { \ pi } { 二 } } + k \ pi \ right ] $（[一百八十 ° _ k _ 鋪九十 ° , 一百八十 ° _ k _ + 九十 °]）內，則正弦函數有反函數。佇咧實數域內底，通常將反正弦函數的定義域限制佇區間 $ \ left [-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } \ right ] $（[鋪九十 ° , 九十 °]）中；若利用自然對數，則會當將反正弦函數的定義域擴充到規个複數集，但是按呢來反正絃函數嘛將變做多值函數。
號名
反正弦的符號是，嘛定定寫作 $ \ sin ^ { 影一 } $。按呢寫法會當予人接受的理由是，正弦函數的倒算是割落來，有單獨的寫法，所以歹和 $ \ sin ^ { 影一 } $ 透濫。另外佇某寡計算機的按鍵抑是電腦的編程語言內底，反正弦會以 asin 抑是 asn 表示。
定義
原始的定義是將正弦函數限制佇 $ \ left [-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } \ right ] $（[鋪九十 ° , 九十 °]）的反函數，得著如下定義域佮值域：
- $ \ arcsin : \ left [影一 , 一 \ right] \ rightarrow \ left [-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } \ right ] $
- （$ \ arcsin : \ left [影一 , 一 \ right] \ rightarrow \ left [鋪九十 ^ { \ circ } , 九十 ^ { \ circ } \ right] $）
利用自然對數會當將定義推廣到規个複數集：
- $ \ arcsin x=-{ \ mathrm { i } } \ ln \ left ( { \ mathrm { i } } x + { \ sqrt { 一-x ^ { 二 } } } \ right ) \ , $
運算
反正弦函數的導數就是：
- $ { \ frac { d } { dx } } \ arcsin x={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 一-x ^ { 二 } } } } $
- 故實數內底，伊佇咧規个定義域頂懸單調遞增。
- 反正絃函數的泰勒級數是：
- $ \ arcsin x=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } {-{ \ frac { 一 } { 二 } } \ choose k } ( 影一 ) ^ { k } { \ frac { x ^ { 二 k + 一 } } { 二 k + 一 } }=x + { \ frac { 一 } { 六 } } x ^ { 三 } + { \ frac { 三 } { 四十 } } x ^ { 五 } + { \ frac { 五 } { 一百十二 } } x ^ { 七 } + \ cdots $ .
反正弦函數是奇函數，故：
$ $ \ arcsin \ left (-x \ right )=-\ arcsin x $ $
另外咧，反正弦的佮差嘛會當合做一个反正弦來表達：
- $ \ arcsin x _ { 一 } \ pm \ arcsin x _ { 二 }={ \ begin { cases } X & \ pm x _ { 一 } x _ { 二 } \ leq 零 \ lor x _ { 一 } ^ { 二 } + x _ { 二 } ^ { 二 } \ leq 一 \ \ \ pi-X & x _ { 一 } > 零 \ land \ pm x _ { 二 } > 零 \ land x _ { 一 } ^ { 二 } + x _ { 二 } ^ { 二 } > 一 \ \-\ pi-X & x _ { 一 } < 零 \ land \ pm x _ { 二 } < 零 \ land x _ { 一 } ^ { 二 } + x _ { 二 } ^ { 二 } > 一 \ end { cases } } $
其中 $ X=\ arcsin \ left ( x _ { 一 } { \ sqrt { 一-x _ { 二 } ^ { 二 } } } \ pm x _ { 二 } { \ sqrt { 一-x _ { 一 } ^ { 二 } } } \ right ) $。
佮差公式乎：
- $ \ arcsin ( x \ pm y )=\ arcsin \ left ( { \ sqrt { \ frac { 一 + x ^ { 二 }-y ^ { 二 }-{ \ sqrt { 一 + x ^ { 四 } + y ^ { 四 } 鋪二 x ^ { 二 } y ^ { 二 } 鋪二 x ^ { 二 } 鋪二 y ^ { 二 } } } } { 二 } } } \ right ) \ pm \ arcsin \ left ( { \ sqrt { \ frac { 一-x ^ { 二 } + y ^ { 二 }-{ \ sqrt { 一 + x ^ { 四 } + y ^ { 四 } 鋪二 x ^ { 二 } y ^ { 二 } 鋪二 x ^ { 二 } 鋪二 y ^ { 二 } } } } { 二 } } } \ right ) $
倍變數公式：
$ $ \ arcsin ( 二 x )=二 \ arcsin \ left ( { \ sqrt { \ frac { 一-{ \ sqrt { 一孵四 x ^ { 二 } } } } { 二 } } } \ right ) $ $
$ $ \ arcsin \ left ( { \ frac { x } { 二 } } \ right )=二 \ arcsin \ left ( { \ sqrt { \ frac { 一-{ \ sqrt { 一-{ \ frac { x ^ { 二 } } { 四 } } } } } { 二 } } } \ right ) $ $
$ \ arcsin ( kx )=二 \ arcsin \ left ( { \ sqrt { \ frac { 一-{ \ sqrt { 一-k ^ { 二 } x ^ { 二 } } } } { 二 } } } \ right ) $（嘿零 ≤ kx ≤ 一）
- $ \ arcsin ( sinx )={ \ begin { cases }-( X + \ pi ) & x \ in [-\ pi ,-{ \ frac { \ pi } { 二 } } ] \ \ X & x \ in (-{ \ frac { \ pi } { 二 } } , { \ frac { \ pi } { 二 } } ) \ \ \ pi-X & x \ in [{ \ frac { \ pi } { 二 } } , \ pi] \ end { cases } } $
參見
- 正絃