喬丹–維格納變換

Jordan–Wigner變換通用自旋算符合射著費米的產生佮煙滅算符合。一維晶格模型 Pascual Jordan 佮 Eugene Wigner 提出，當前亦得著二維模型的類似變換。通過共自旋算符變換做費米的產生毀滅算符，繼續佇費米基硬中作對角化，Jordan–Wigner 變換不時用佇精確求解一 D 一个旋鏈，比如講他辛模型和 XY 模型。

但變換證明一維空間至少有一寡情形下，自旋-二分之一粒子佮費米不可區別。

自旋佮費米子類比

紲落來證明按怎對一維自旋-二分之一粒子構成的自旋鏈影射著費米 .

將自旋-二分之一泡利算符作用著一 D 鏈的上的第 j 個晶座，$ \ sigma _ { j } ^ { + } , \ sigma _ { j } ^ {-} , \ sigma _ { j } ^ { z } $ . 選取反對易算符 $ \ sigma _ { j } ^ { + } $ and $ \ sigma _ { j } ^ {-} $ , 會當發現講 $ \ { \ sigma _ { j } ^ { + } , \ sigma _ { j } ^ {-} \ }=一 $ , 遮的會當對米仔產生煙滅算符合著的。阮會使試看覓，

$ \ sigma _ { j } ^ { + }=( \ sigma _ { j } ^ { x } + i \ sigma _ { j } ^ { y } ) / 二=f _ { j } ^ { \ dagger } $

$ \ sigma _ { j } ^ {-}=( \ sigma _ { j } ^ { x }-i \ sigma _ { j } ^ { y } ) / 二=f _ { j } $

$ \ sigma _ { j } ^ { z }=二 f _ { j } ^ { \ dagger } f _ { j } 影一 . $

按呢乎，會當得著仝晶格上費米關係 $ \ { f _ { j } ^ { \ dagger } , f _ { j } \ }=一 $ , 毋過對無仝的晶格，有關係 $ [f _ { j } ^ { \ dagger } , f _ { k }]=零 $ , 其中 $ j \ neq k $ , 遮爾無仝晶格頂懸的自旋的對易關係毋是仝反對易的費米。𪜶著愛彌補這个問題。

Jordan–Wigner 變換

會當恢復對自旋算符合到真正費米對易關係的變換於一千九百二十八由 Jordan 和 Wigner 提出。此為 Klein 變換的特殊情況。考慮費米子鏈，定義一組新算符

$ a _ { j } ^ { \ dagger }=e ^ { + i \ pi \ sum _ { k=一 } ^ { j 影一 } f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k } } f _ { j } ^ { \ dagger } $

$ a _ { j }=e ^ {-i \ pi \ sum _ { k=一 } ^ { j 影一 } f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k } } f _ { j } $

$ a _ { j } ^ { \ dagger } a _ { j }-{ \ frac { 一 } { 二 } }=f _ { j } ^ { \ dagger } f _ { j }-{ \ frac { 一 } { 二 } } . $

佮進前的定義差一个相差 $ e ^ { \ pm i \ pi \ sum _ { k=一 } ^ { j 影一 } f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k } } $。現相佮場模 $ k=一 , \ ldots , j 影一 $ 落占領的費米有關係。若是占有模數做偶，此相等於 $ + 一 $；占有模數為奇，相為 $ 影一 $。表示講

$ e ^ { \ pm i \ pi \ sum _ { k=一 } ^ { j 影一 } f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k } }=\ prod _ { k=一 } ^ { j 影一 } e ^ { \ pm i \ pi f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k } }=\ prod _ { k=一 } ^ { j 影一 } ( 一孵二 f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k } ) . $

上尾仔一个等式通使用 $ f _ { k } ^ { \ dagger } f _ { k }=零 , 一 . $

按呢乎，變換了後的自旋算符具有正確的費米仔對易關係

$ \ { a _ { i } ^ { \ dagger } , a _ { j } \ }=\ delta _ { i , j } , \ { a _ { i } ^ { \ dagger } , a _ { j } ^ { \ dagger } \ }=零 , \ { a _ { i } , a _ { j } \ }=零 . $

逆變換做

$ a _ { j } ^ { \ dagger }=e ^ { + i \ pi \ sum _ { k=一 } ^ { j 影一 } a _ { k } ^ { \ dagger } a _ { k } } \ sigma _ { j } ^ { + } $

$ a _ { j }=e ^ {-i \ pi \ sum _ { k=一 } ^ { j 影一 } a _ { k } ^ { \ dagger } a _ { k } } \ sigma _ { j } ^ {-} $

$ a _ { j } ^ { \ dagger } a _ { j }=\ sigma _ { j } ^ { z } + { \ frac { 一 } { 二 } } . $

另見

• Klein transformation
• S-duality
• Michael Nielsen : Notes on Jordan-Wigner Transformation