國一新生之夢

Freshman's dream（中文可譯「菜鳥仔之夢」）指出來是錯誤方程式「$ ( x + y ) ^ { n } $=$ x ^ { n } + y ^ { n } $」，當中 $ n $ 是一个實數（通常是大於一的正整數）。 初階學生定定無叫是括號外的次方會當直接分配予括號內的項。其實只要假使講 $ n=二 $ 就會當簡單發現方程式並無成立：透過乘法分配律，$ ( x + y ) ^ { 二 }=x ^ { 二 } + 二 xy + y ^ { 二 } $。至於 $ n $ 閣較大的方程式，會當使用兩項式定理計算正確答案。

佇熱帶幾若項世界，加法取代矣乘法，而極值取代了加法。此情形下，「 Freshman's dream」便是正確。

「 Freshman's dream」嘛會當代指另外一項定理，$ ( x + y ) ^ { p }=x ^ { p } + y ^ { p } $，當中 $ p $ 是質數，而且 $ x $ 和 $ y $ 是佇咧有 $ p $ 特徵的交換環上的代數。因為 $ p $ 會當整除頭一項佮尾以外的二項式係數，使中央的所有項攏等於零，所以這「錯誤」實際上會當做甲正確的答案。

歷史佮別名

一九四空年一篇有關模曲線的文章內底，桑德斯 ・ 麥克蘭恩引用史蒂芬 ・ 科爾 ・ 克萊尼指出，體的特徵二「$ ( a + b ) ^ { 二 }=a ^ { 二 } + b ^ { 二 } $」有可能破壞中一新生的代數觀念。言論是會當追溯的上早將「中一新生」佮體的正數特徵，自按呢大部份的代數課本攏講著這慣勢誤解，其中一九七四年湯馬士 ・ 亨嘉福的代數課本好親像是頭一改使用「Freshman's dream」一詞。別名包括一九九八年莊 ・ 法黎課本內底的「Freshman exponentiation」（中文可譯「中一新生之冪」）； 閣鑑於 $ ( x + y ) ^ { n } $ 會當透過二項式定理計算，因為這閣被稱做「囡仔的二項式定理」（Child's binomial theorem）抑是「中學生的二項式定理」（Schoolboy binomial theorem）。

至於「Freshman's dream」一詞是自十九世紀起來已經佇咧非數學範圍使用。

例

• $ ( 一 + 四 ) ^ { 二 }=五 ^ { 二 }=二十五 $，猶毋過 $ 一 ^ { 二 } + 四 ^ { 二 }=十七 $ .
• $ ( x ^ { 二 } + y ^ { 二 } ) ^ { \ frac { 一 } { 二 } } $（即 $ { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } $）佇大多數的情形下攏無等於 $ { \ sqrt { x ^ { 二 } } } + { \ sqrt { y ^ { 二 } } }=| x | + | y | $。比如講：$ { \ sqrt { 三 ^ { 二 } + 四 ^ { 二 } } }={ \ sqrt { 二十五 } }=五 $，而且 $ 三 + 四=七 $。

質數定理

當 $ p $ 是質數，而且 $ x $ 和 $ y $ 是佇咧有 $ p $ 特徵的交換環上的代數，遐爾 $ ( x + y ) ^ { p }=x ^ { p } + y ^ { p } $。按呢理論會當透過研究二項式係數的質數就按呢論證：

第 _ n _ 個二項式係數為 $ { \ binom { p } { n } }={ \ frac { p ! } { n ! ( p-n ) ! } } $。

因為分子是 $ p $ 的階乘，所以會當予 $ p $ 整除。猶毋過彼个 $ 零 < n < p $ 之時，$ n ! $ 和 $ ( p-n ) ! $ 攏少於 $ p $，因為兩个攏袂當予人整理。毋過二項式係數必然是整數，就按呢第 _ n _ 個二項式係數會當被 $ p $ 整除，交換環繼續等於零。自按呢規條方程式賰第零个佮第 _ p _ 個二項式係數，就按呢會當證據 $ ( x + y ) ^ { p }=x ^ { p } + y ^ { p } $。結果嘛證明講 _ p _ 次方製造了自同態，閣號做交換環的被羅貝尼烏斯自同態。

佇這方面內底，$ p $ 著愛是質數才會當成立。有一相類近的定理指出，當 $ p $ 是質數來講，佇咧 $ \ mathbb { Z } _ { p } [x] $ 多項式環中，$ ( x + 一 ) ^ { p } \ equiv x ^ { p } + 一 $。此定理成做現代質數測試當中的關鍵。

參見

• 一年級生
• 素性測試
• 鋪羅貝尼烏斯自同態
• 二年級之夢