如果當標準型
佇線性代數內底，如果當標準型（英語：Jordan normal form）抑是稱如果當標準式、撨登正則式（英語：Jordan canonical form）是某一个線性映射佇有限維向量的空間頂懸的特別矩陣表達的形式，伊號做若是如果當矩陣 ( Jordan matrix )，這矩陣接近對角矩陣：除了主對角線佮主對角線頂頭元素以外，賰的攏無，而且主對角線頂面的對角線的係數若無為零干焦會當做 $ 一 $，而且這 $ 一 $ 倒爿佮下跤的係數（攏佇咧主對角線頂）有仝款的值。譜定理佮正規矩陣攏是若爾做標準型的特殊情況，因為會當去予對角化 ( diagonalizable )。若爾當矩陣理論講任何一个係數域為 $ \ mathbb { K } $ 的方塊矩陣 $ M $ 若特徵值攏佇咧 $ \ mathbb { K } $ 中，遐必須佮某一个若標準型相𫝛。抑是講，若一个有限維向量空間上的自同態線性映射的特徵值攏佇咧係數域 $ \ mathbb { K } $ 中，按呢伊會當佇某一个基底下表示著若是按呢做標準型。
若做標準型著名佇咧十九世紀尾期的法國數學家卡米爾 ・ 如果當。
簡介
一个 _ n _ × _ n _ 矩陣 $ M $ 是會當對角化的，若是唯一 $ M $ 滿足下列的條件之一：
- $ M $ 有 _ n _ 個線性無關係的特徵向量。抑是講，$ M $ 有一个由特徵向量組的基。（講號做誠大無關係的條件）
- $ M $ 的所有特徵值的幾何重數（也相應特徵子空間的維數）等於是相應的代數重數（也特徵多項式內底 $ ( x-\ lambda ) $ 項的次數）。 抑是講，$ M $ 的所有幾若種重數之佮等於 _ n _。（講號做重數相等條件）
- $ M $ 的極細項式經標準分解了後，每一項攏是一擺項，而且重數攏是一。（講號做互異單根條件）
矩陣的對角化予得研究其性質的變做研究相應的對角矩陣的性質，若尾者顯然簡單著濟。因為毋是所有矩陣攏滿足上述三个條件之一，伊有的矩陣是袂當對角化的，比如講以下的：
- $ M={ \ begin { bmatrix } 五 & 四 & 二 & 一 \ \ 零 & 一 & 影一 & 影一 \ \ 影一 & 影一 & 三 & 零 \ \ 一 & 一 & 影一 & 二 \ end { bmatrix } } $
差不多重數的話，$ M $ 的特徵值做一个 , 二 , 四 , 四。$ M 扳四 I $ 伊的核的維數是一，所以 $ M $ 毋通對角化。猶毋過經過基底變換，$ M $ 佮下底的矩陣相𫝛：
- $ J={ \ begin { bmatrix } 一 & 零 & 零 & 零 \ \ 零 & 二 & 零 & 零 \ \ 零 & 零 & 四 & 一 \ \ 零 & 零 & 零 & 四 \ end { bmatrix } } $
矩陣 $ J $ 近乎對角矩陣，除了第三列第四行係數是一。若準將後兩行佮後兩列的部份作為一塊的話，矩陣 $ J $ 就是一个分箍對角矩陣。若是按呢做標準型的目標就是將閣較濟的矩陣化簡到一類干焦比對角矩陣小可仔複雜的矩陣：如果當標準型。實際上這是一種簡單的分塊對角矩陣。
- $ J={ \ begin { bmatrix } J _ { 一 } & \ ; & \ ; \ \ \ ; & \ ddots & \ ; \ \ \ ; & \ ; & J _ { p } \ end { bmatrix } } $
遮的「簡單」是講每一塊仔矩陣攏有具備一个誠簡單的形：
- $ J _ { i }={ \ begin { bmatrix } \ lambda _ { i } & 一 & \ ; & \ ; \ \ \ ; & \ lambda _ { i } & \ ddots & \ ; \ \ \ ; & \ ; & \ ddots & 一 \ \ \ ; & \ ; & \ ; & \ lambda _ { i } \ end { bmatrix } } $
其中主對角線頂懸攏是仝一个係數，毋過對角線頂懸排全是一。形同以上 $ J _ { i } $ 矩陣號做若是如果當矩陣。啊若矩陣 $ J $ 著每一个按呢的小塊予人叫做如果當塊。
線性代數內底有如下的結果：
對任意係數域為 $ \ mathbb { K } $ 矩陣 $ M $，只要特徵值攏佇咧 $ \ mathbb { K } $ 中，就存在一个佮之相仝的爾當標準型 $ J $：$ M=PJP ^ { 影一 } $，其中 $ P $ 是一个可逆矩陣。並且滿足：
- 矩陣 $ J $ 的特徵值（計入重數）就是主對角線頂面的係數。
- 對於 $ J $ 的一个特徵值 $ \ lambda _ { i } $，伊的幾何重數就是屬於特徵值 $ \ lambda _ { i } $ 的若爾做塊彼个數。
- 所有屬於特徵值 $ \ lambda _ { i } $ 的若爾做塊的維數之佮特徵值 $ \ lambda _ { i } $ 的代數重數。
證明
廣義特徵向量
考慮頭前例中的矩陣 _ M _。_ M _ 的若是按呢做標準型會當寫做 _ P _ − 一 _ MP _=_ J _，即
- $ \ ; MP=PJ $
其中變換矩陣 _ P _ 的四个列向量為著：_ p _ i , _ i _=一 , . . . , 四，所以
- $ M { \ begin { bmatrix } p _ { 一 } & p _ { 二 } & p _ { 三 } & p _ { 四 } \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } p _ { 一 } & p _ { 二 } & p _ { 三 } & p _ { 四 } \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } 一 & 零 & 零 & 零 \ \ 零 & 二 & 零 & 零 \ \ 零 & 零 & 四 & 一 \ \ 零 & 零 & 零 & 四 \ end { bmatrix } }={ \ begin { bmatrix } p _ { 一 } & 二 p _ { 二 } & 四 p _ { 三 } & p _ { 三 } + 四 p _ { 四 } \ end { bmatrix } } $
也就是講：
- $ \ ; ( M 影一 I ) p _ { 一 }=零 , \ ; \ , ( M 鋪二 I ) p _ { 二 }=零 $
- $ \ ; ( M 扳四 I ) p _ { 三 }=零 , \ ; \ , ( M 扳四 I ) p _ { 四 }=p _ { 三 } $
對於 _ i _=一、二、三，$ p _ { i } $ 攏是某一个特徵值所對應的特徵向量：$ p _ { i } \ in \ operatorname { Ker } ( M-\ lambda I ) $。毋過，當 _ i _=四時，$ p _ { 四 } $ 並毋是特徵值四所對應的特徵向量。就算講按呢：
- $ \ ; ( M 扳四 I ) ^ { 二 } p _ { 四 }=( M 扳四 I ) p _ { 三 }=零 $
所以 $ p _ { 四 } \ in \ operatorname { Ker } ( M-\ lambda I ) ^ { 二 } $。像 $ p _ { 四 } $ 按呢的向量予人號做 _ M _ 的廣義特徵向量。
予定一个特徵值 $ \ scriptstyle \ lambda $，伊對應的部份若做塊 $ \ displaystyle J _ { \ lambda , m } $：
- $ { \ begin { bmatrix } \ lambda & 一 & 零 & \ cdots & 零 \ \ 零 & \ lambda & 一 & \ cdots & 零 \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \ \ 零 & 零 & 零 & \ lambda & 一 \ \ 零 & 零 & 零 & 零 & \ lambda \ \ \ end { bmatrix } } $
對應著一个由廣義特徵向量所張成的子空間，因為從應的基底 $ \ displaystyle e _ { \ lambda , 一 } , e _ { \ lambda , 二 } , \ cdots , e _ { \ lambda , m } $ 滿足：
- $ \ ; ( M-\ lambda I ) e _ { \ lambda , 一 }=零 , \ ; ( M-\ lambda I ) e _ { \ lambda , 二 }=e _ { \ lambda , 一 } , \ cdots , ( M-\ lambda I ) e _ { \ lambda , m }=e _ { \ lambda , m 影一 } $
- 也就是講 $ \ ; ( M-\ lambda I ) e _ { \ lambda , 一 }=零 , \ ; ( M-\ lambda I ) ^ { 二 } e _ { \ lambda , 二 }=零 , \ cdots , ( M-\ lambda I ) ^ { m } e _ { \ lambda , m }=零 $
所以，「 所有特徵值佇咧 $ \ mathbb { K } $ 中矩陣攏佮伊相𫝛某一个若準拄好標準型」這个命題等價佇咧一个由這个矩陣的特徵向量佮廣義特徵向量構成的全空間的基底。
冪零矩陣的情況
當矩陣 _ A _ 為冪零矩陣（即存在 _ m _ 予得 $ A ^ { m }=零 $）時，會當證明規个空間總是會當分解做若干个 _ A _-循環子空間的直和。咱所講的 _ A _-循環子空間就是由某一个向量 _ v _ 以及底：$ { \ mathit { B } } _ { v }=\ left \ { v , Av , A ^ { 二 } v , \ cdots \ right \ } $ 線性張成的子空間。顯然，這款的空間是 _ A _-無變子空間。同時，注意著 $ { \ mathit { B } } _ { v } $ 是由 _ A _ 的特徵向量佮廣義特徵向量構成的（$ \ forall j \ geq 零 , A ^ { j } v \ in \ operatorname { Ker } A ^ { m } $）。 因此佇咧這个循環子空間內底，_ A _ 佇咧基底 $ \ displaystyle { \ mathit { B } } _ { v } $ 下面表示如果當塊：
- $ J _ { v }={ \ begin { bmatrix } 零 & 一 & 零 & \ cdots & 零 \ \ 零 & 零 & 一 & \ cdots & 零 \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \ \ 零 & 零 & 零 & 零 & 一 \ \ 零 & 零 & 零 & 零 & 零 \ \ \ end { bmatrix } } $
所以 _ A _ 佇所有按呢的基底下會當表示為由若爾做塊組成的分塊對角矩陣，如果當標準型：
- $ J={ \ begin { bmatrix } J _ { v _ { 一 } } & 零 & 零 & \ cdots & 零 \ \ 零 & J _ { v _ { 二 } } & 零 & \ cdots & 零 \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \ \ 零 & 零 & 零 & J _ { v _ { s 影一 } } & 零 \ \ 零 & 零 & 零 & 零 & J _ { v _ { s } } \ \ \ end { bmatrix } } $
一般狀況
下跤用數學歸納法證明：所有特徵值佇咧 $ \ mathbb { K } $ 中的 _ n _ × _ n _ 的矩陣攏佮伊相𫝛某一个若是標準型。
_ n _=明顯有一个情況。對於 $ n > 一 $ 考慮 _ n _ × _ n _ 矩陣 _ A _。對於 _ A _ 的一个特徵值 λ，設 _ s _ 為 λ 的幾何重數。設線性變換 $ ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 的像空間為 $ \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $，這是關於著 _ A _ 的一个無變子空間。因為乎 λ 是特徵值，$ \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 的空間維數 _ r _ 嚴格細漢的 _ n _。記 $ \ scriptstyle A ^ { \ prime } $ 為 _ A _ 佇空間的限制 $ \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 上的部份。根據歸納假設佇咧一个基底：{ _ p _ 一 , . . . , _ p _ r } 予得 $ \ scriptstyle A ^ { \ prime } $ 佇這个基底上為了當標準型。
紲落來考慮著子空間 $ \ operatorname { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $，只要會當證明規个空間會當分做：
- $ C ^ { n }=\ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } \ oplus \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $
因為 $ \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 是一个 _ A _-無變子空間，佇頂懸 $ A-\ lambda I $ 是冪零矩陣，所以會當寫若準爾當標準型：
- $ J={ \ begin { bmatrix } J _ { v _ { 一 } } & 零 & 零 & \ cdots & 零 \ \ 零 & J _ { v _ { 二 } } & 零 & \ cdots & 零 \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \ \ 零 & 零 & 零 & 零 & J _ { v _ { s } } \ \ \ end { bmatrix } } $
加上講 $ \ displaystyle \ lambda I $ 後還是當標準型。所以，_ A _ 佇咧 $ \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 和 $ \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 上攏會當寫若準爾做標準型，對而且 _ A _ 是欲相𫝛某一个若準。
利用歸納法可知所有的 _ n _ × _ n _ 的矩陣攏佮伊相𫝛某一个若是標準型。
下跤證明：
- $ C ^ { n }=\ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } \ oplus \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $
設 _ A _ 的上細項的項式為著 $ \ pi _ { A } $，並且共寫做講 $ \ pi _ { A }=( X-\ lambda I ) ^ { s } \ cdot Q $。所以 $ Q $ 和 $ ( X-\ lambda I ) ^ { s } $ 互素。於是根據喬定理，存在多項式：_ a _ 和 _ b _ 予得 $ a ( X-\ lambda I ) ^ { s } + bQ=一 $。每一个向量 _ u _ 攏會當寫做：
- $ \ displaystyle u=a ( A-\ lambda I ) ^ { s } ( u ) + bQ ( A ) ( u ) $
並且 $ \ displaystyle Q ( A ) ( a ( A-\ lambda I ) ^ { s } ( u ) )=( Q ( A-\ lambda I ) ^ { s } ) ( a ( u ) )=\ pi _ { A } ( u )=零 $，仝款所在 $ \ displaystyle ( A-\ lambda I ) ^ { s } ( bQ ( A ) ( u ) )=( ( A-\ lambda I ) ^ { s } Q ) ( b ( u ) )=\ pi _ { A } ( u )=零 $，所以 $ a ( A-\ lambda I ) ^ { s } ( u ) \ in \ mathrm { Ker } ( Q ( A ) ) , \ ; bQ ( A ) ( u ) \ in \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $，也就是講：
- $ \ displaystyle C ^ { n }=\ mathrm { Ker } ( Q ( A ) ) + \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $
另外一方面，任意 $ v \ in \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } \ cap \ mathrm { Ker } ( Q ( A ) ) $，$ \ displaystyle v=a ( A-\ lambda I ) ^ { s } ( v ) + bQ ( A ) ( v )=零 + 零=零 $。也就是講：$ \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } \ cap \ mathrm { Ker } ( Q ( A ) )={ 零 } $。綜合所述，
- $ C ^ { n }=\ mathrm { Ker } ( Q ( A ) ) \ oplus \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $
毋過 $ \ forall u \ in \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $，$ \ displaystyle Q ( A ) ( u )=零 $，對而且 $ \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } \ subset \ mathrm { Ker } ( Q ( A ) ) $。根據秩-零化度定理，$ \ mathrm { Ker } ( Q ( A ) ) $ 和 $ \ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $ 維數相等，所以兩个人完全攏相等。所以
- $ C ^ { n }=\ mathrm { Im } ( A-\ lambda I ) ^ { s } \ oplus \ mathrm { Ker } ( A-\ lambda I ) ^ { s } $
對這个命題得證。
推論
- 若咱這个候的係數域是一个代數閉域，因為特徵足濟項式的根，所以嘛佇咧係數中間。所以只要緊數字是一个代數閉域，所有的矩陣攏佮伊相𫝛當標準型。特別的，所有的復係數矩陣攏會當簡省為著若是按呢做標準型，因為複數域是代數封閉的。
- 所有的若準爾當做標準型攏會當分解做一个對角矩陣 _ D _ 佮一个干焦對角線頂一排為一的矩陣 _ N _ 的佮。注意，這兩个矩陣是不可交換的，因為對角矩陣 _ D _ 無一定是數量矩陣。矩陣 _ N _ 是一个冪零矩陣。所以，逐个相𫝛若爾做標準型的矩陣攏會當寫做會當交換的一个對角矩陣佮一个冪空矩陣的佮。因為佮對角矩陣佮冪空矩陣相𫝛的矩陣猶原是對角矩陣佮冪空矩陣。嘛會使講，只要一个矩陣的特徵值攏佇伊的數字域內底（抑是講伊的上細項幾若項式抑是特徵多項式會當分解做一改項的乘積）， 就會當將這个矩陣分解做一个對角矩陣佮一个冪空矩陣的佮，但是愛注意這兩个矩陣會當交換。做對角矩陣做數量矩陣的時，佇計算矩陣指數的時是足方便（會當用兩項式來展開）。
譜映射定理
用若爾做標準型以及直接的計算會當著愛會當：若是 _ n _ × _ n _ 矩陣 _ A _ 的特徵值為著：λ 一 , . . . , λn，遐爾仔對著濟項式：_ p _，矩陣 _ p _ ( _ A _ ) 的特徵值是：_ p _ ( λ 一 ) , . . . , _ p _ ( λn )。
凱萊-哈密而頓定理
凱萊-哈密爾頓定理斷言任意矩陣 _ A _ 攏是特徵方程的根：若是 _ p _ 是 _ A _ 的特徵多項式，遐爾 _ p _ ( _ A _ )=零。這个定理仝款會當用若是按呢做標準型直接計算會出。
上細項的項式
方塊矩陣 _ A _ 的上細項的項式是會使得 _ m _ ( _ A _ )=零的非常數首一多項式中次數上小者。另外一種定義是：所有的人會用得 _ m _ ( _ A _ )=零的濟項式構成主理想環 _ C _ [_ x _] 的一个理想 _ I _，而且 _ m _ 可能是這个理想的產生。
從有如果當標準型的矩陣 _ A _，其實上細漢多項式以其實徵值做根，並且由若做標準的形會當看出，每一个特徵值的重數是若做標準型中屬於這个特徵值的上大的若爾當塊的維數。
反進已知矩陣 _ A _ 的上細項式並袂當知影其實若是按呢做標準型。欲確定矩陣 _ A _ 的標準型需要用著所謂的初等因為。矩陣 _ A _ 的一个初等因為伊的某一个若爾當塊的特徵多項式（抑是上細漢的項式，而且做塊兩个仝款）。 若所有的初等因為攏是一擺多項，遐爾 _ A _ 會當對角化。
無變子空間的分解
一个 _ n _ × _ n _ 矩陣 _ A _ 的那麼當標準型是分塊對角矩陣，因此予出一个將 _ n _ 維歐幾里著空間的分解做矩陣 _ A _ 的無變子空間的具體方法。逐个若準做塊 _ J _ i 攏對應一个無變子空間：_ X _ i。會當簡記為：
- $ \ mathbb { C } ^ { n }=\ bigoplus _ { i=一 } ^ { k } X _ { i } $
其中的這个每一个 _ X _ i 攏是由若爾做塊 _ J _ i 對應的廣義特徵向量張做的子空間。
注意著遮的 _ k _ 並毋是無仝的特徵值的個數，因為屬於仝一个特徵值的爾爾這塊會當毋但一个。若欲共 $ \ mathbb { C } ^ { n } $ 分解為 _ l _ 個不變子空間，其中 _ l _ 是無仝款特徵值的個數，會當共屬於仝一个特徵值，譬論講 $ \ scriptstyle \ lambda _ { i } $ 的一塊合併：干焦需要使用 _ A _ 的上細項的項式 $ \ pi _ { A } $ 中關於 $ \ scriptstyle \ lambda _ { i } $ 的重根數（代數重數）$ \ scriptstyle \ nu ( \ lambda _ { i } ) $，考慮空間：
- $ \ ; Y _ { i }=\ operatorname { Ker } ( \ lambda _ { i }-A ) ^ { \ nu ( \ lambda _ { i } ) } . $
這就是所有的屬於仝一个特徵值 $ \ scriptstyle \ lambda _ { i } $ 的如果一塊對應的 _ X _ i , _ p _ 所合併後的空間，因為伊包括著所有的攏經過 $ \ scriptstyle \ nu ( \ lambda _ { i } ) $ 次 $ \ scriptstyle \ lambda _ { i }-A $ 操作了後會清零的向量集合。若某一个 _ X _ i 我中向量無去予清零，因為這个向量嘛袂去予其他的特徵值 $ \ scriptstyle \ lambda _ { j }-A $ 清零，伊這將袂去予 $ \ scriptstyle \ pi _ { A } $ 清零，這佮 $ \ pi _ { A } ( A )=零 $ 矛盾。
所以 _ n _ 維歐幾里著空間嘛會當予人分解做
- $ \ mathbb { C } ^ { n }=\ bigoplus _ { i=一 } ^ { l } Y _ { i } $
其中 _ l _ 是矩陣 _ A _ 的無仝款的特徵值的個數。
值得注意的是，遮的指標 ν ( _ λ _ ) 就是特徵的零空間 $ \ operatorname { Ker } ( \ lambda-A ) ^ { m } $「穩定」落來的上細遍數：
- $ \ mathrm { Ker } ( \ lambda-A ) ^ { \ nu ( \ lambda ) }=\ operatorname { Ker } ( \ lambda-A ) ^ { m } , \ ; \ forall m \ geq \ nu ( \ lambda ) $
這也會當做為代數重數的另外一个定義。
參見
- 矩陣分解
- 如果當矩陣