巴塔林-維爾可維斯基代數

Batalin-Vilkovisky 代數（Batalin–Vilkovisky formalism，簡稱BV 代數）是 Batalin 和 Vilkovisky 佇咧研究規範場的量子化過程內底發現的一種代數結構。𪜶所提出的量子化方法（這號做 BV formailism 抑是講 BV quantization）， 是一種十分普遍而且有效的量子化方法，當受著愈來愈濟的量子場論學家和弦理論家的重視和應用，而且 BV 代數也那來那受著數學家咱的重視。

定義

設 $ \ ; V \ ; $ 是數域 $ \ ; k \ ; $ 上的一个分次 ( graded ) 線性空間。$ \ ; V \ ; $ 上的一个 BV 代數結構是三箍組 $ \ ; ( V , \ bullet , \ Delta ) \ ; $，滿足以下兩个關係：

一 . $ \ ; ( V , \ bullet ) \ ; $ 是 $ \ ; k \ ; $ 上的分次、交換、結合的代數 ( algebra )； 二 . $ \ ; \ Delta \ ; $ 是關於 $ \ ; \ bullet \ ; $ 的兩階微分算子，即 $ \ ; \ Delta \ ; $ 的度數為一，$ \ ; \ Delta ^ { 二 }=零 \ ; $，而且對任予的 $ \ ; a , b , c \ in V \ ; $ ,

佇頂懸的定義中，若準講會使驗證，$ \ ; ( V , \ bullet , [\ ; , \ ;] ) \ ; $ 形成一个 Gerstenhaber 代數。就按呢會使講，BV 代數是一類特殊的 Gerstenhaber 代數。毋但按呢生，$ \ ; \ Delta \ ; $ 抑是關於著 $ \ ; [\ ; , \ ;] \ ; $ 的導子 ( derivation )，就算甲 $ \ ; ( V , [\ ; , \ ;] , \ Delta ) $ 形成一个微分分次李代數 ( differential graded Lie algebra , DGLA )。

例

到今為止所發現的 BV 代數的例差不多攏佮數學物理有關係。

一 . 設 $ \ ; M \ ; $ 是一个奇的辛流形 ( odd symplectic manifold )，記 $ \ ; C ^ { \ infty } ( M ) \ ; $ 為 $ \ ; M \ ; $ 上光滑函數組成的集合。阮有 $ \ ; C ^ { \ infty } ( M ) \ ; $ 形成一个分次交換結合的代數，記其乘法為 $ \ ; \ bullet \ ; $。設 $ \ ; ( x ^ { 一 } , \ cdots , x ^ { n } ; \ eta ^ { 一 } , \ cdots , \ eta ^ { n } ) \ ; $ 為 $ \ ; M \ ; $ 上的一組 Darboux 坐標，令會使驗證，$ \ ; ( C ^ { \ infty } ( M ) , \ bullet , \ Delta ) \ ; $ 形成一个 BV 代數，參見； 二 . 田剛 ( G . Tian ) 佇咧關於卡拉比-丘流形 ( Calabi-Yau manifold ) 復結構的形變空間是金滑的證明中，實際上證明矣控制復結構形變的微分份次李代數是一个 BV 代數； 三 . B . Lian 和 G . Zuckerman 證明了量子場論的數學背景 ( background，指對量仔場論中抽象出來的代數結構 ) 有一个 BV 代數結構； 四 . E . Getzler 用無仝 Lian 和 Zuckerman 的方法證明，一个二維拓撲共形場論 ( TCFT，此處採用 Segal 的定義 ) 的同調群有一个自然的 BV 代數結構； 五 . M . Chas 和 D . Sullivan 證明，一个流形的自由環路空間 ( free loop space ) 的同調群頂懸有一个 BV 代數結構。

背景

就像頂懸咧講，BV 代數佮量仔場論有密切的聯繫。事實上，對一寡數學物理學家來講，一个量仔場論就講一个 BV 代數以及其中一个元素 $ \ ; S \ ; $，該元素滿足的以下方面：

這號做 Master 四角勢，有當時仔 $ \ ; S \ ; $ 著愛滿足所謂的量子 Master 四角勢，即另外，BV 代數佮弦理論內底的鏡親像對稱 ( Mirror Symmetry ) 嘛有密切的關係。事實上，鏡親像講對稱的 A 模型佮 B 模型攏有一个 BV 代數，毋過𪜶相應的 Master 四界的解空間上攏有一个喔所謂寢羅貝尼烏斯流形的結構。鏡親像講對稱的一種表述就是，這兩个 Frobenius 流形是仝構的。

BV 代數的研究是目前數學特別是數學物理中一个較活跳的領域，關於伊的研究猶閣咧進行內底。