巴攑赫空間
佇咧數學，尤其是佇咧泛函分析內底，巴攑赫空間（英語：Banach space）是一个完備的範勢向量空間。閣較精確咧講，巴攑赫空間是一个有範的範數並對這个範數完備的向量空間。其完備性體這馬，空間內底任意向量的柯西序列總是覕鬚到一个良定義的位佇空間內底的盡限。
巴攑赫空間有兩種常見的類型：「 實巴攑赫空間」佮「複巴提赫空間」，分別是講將巴攑赫空間的向量空間定義佇原本是由實數抑是複數組成的體之上。誠濟佇數學分析中學著的無限維函數空間攏是巴提赫空間，包括連紲函數（絚緻赫斯多夫空間的連紲函數）組成的空間、由勒貝格會當積函數組成的 Lp 空間佮由全純函數組成的哈代空間。欲起述空間是拓撲向量空間上捷見的類型，遮的空間的拓撲攏開家己其範數。
巴提赫空間是以波蘭數學家斯特凡 ・ 巴提赫的名來號名，伊和漢斯 ・ 哈恩佮愛德華 ・ 赫利佇咧一千九百二十-一九二二年提出此空間。
例
以下令體K為R抑是C其中之一。
常見的歐氏空間Kn（其範數是歐幾里德的範數，_ x _ =( _ x _ 一 ,…, _ x _ n ) 的範數定義做 | | _ x _ | | =( _ x _ 十二 +…+ _ x _ n 二 ) 二分之一）是巴攑赫空間。所以，因為佇每一个有限維K向量空間上的所有範數均等價，所以每一个有任意範的有限維K向量空間攏是巴攑赫空間。
考慮一个因為定義來閉區間 [_ a _ , _ b _] 上的所有連紲函數 _ ƒ _ : [_ a _ , _ b _] →K所組成的空間。這个空間會成做一个巴攑赫空間（標記做講 C [_ a _ , _ b _]）， 若存在一個定義在此空間中的理想 $ \ Vert f \ Vert $。這款的範數會當定義做 $ \ Vert f \ Vert=\ sup _ { x \ in \ left [a , b \ right] } \ left | f ( x ) \ right | $，講的是上小上界的範數。前述範數是真好定義的，因為定義佇咧區間的連紲函數攏是有界的。
若是 _ f _ 為一个定義佇咧區間的連紲函數，則這个函數為有界的，而且伊的定義如上的最小上界會當由極值定理取得，所以會當用上大值來取代上細上界。佇這个例內底，其範數嘛講「上大值範數」。
欲講空間嘛會當推廣到由所有連紲函數 _ X _ →K（其中 _ X _ 為一致意的空間）抑是所有的「有界」連續函數 _ X _ →K（其中 _ X _ 為任意拓撲空間）所組成的空間，標記做講 C ( _ X _ )；抑是講所有的界函數 _ X _ →K（其中 _ X _ 為任意集合）所組成的空間，標記做講 B ( _ X _ )。咧講所有的例內底，甚至會當將函數相乘，乘積閣會佇原空間內底；亦即，寫所有的例實際上攏會是有單位的巴提赫代數。
嘿每一个開集 Ω ⊆C，由所有的界界來解析函數 _ u _ : Ω → C所組成的集合 _ A _ ( Ω ) 會是一个佇上細頂懸的範數下跤的複巴攑赫空間。這會當用解析函數的一致極限嘛會是解析的這个事實來證明。
設 _ p _ ≥ 零為一實數，考慮由K內元素排做的所有的無窮級數 ∑i | _ x _ i | p 為有限的不限列 ( _ x _ 一 , _ x _ 二 , _ x _ 三 ,…) 所組成的空間。這个級數的 p 次方根據定義為此序列的 _ p _-範數。欲來講空間佮範數就會成做一个巴提赫空間，標記做講 ℓ _ p _。
巴攑赫空間 ℓ∞ 是由所有咧K阮內元素佇咧排做所有的界序列所組成的空間；此類序列的範數定義為序列內底每一个數字的絕對值的上細頂頭。
再者，設 _ p _ ≥ 一為一實數，會當考慮對所有的 | _ ƒ _ | p 共勒貝格可積的函數 _ ƒ _ : [_ a _ , _ b _] →K所組成的空間。此函數積分的 _ p _ 次方根即定義為其範數。毋過喝空間佮範數袂當變做一个巴攑赫空間的空間，因為存在一個範數替零的非零函數。會當定義一个等價關係：_ f _ 佮 _ g _ 為等價若而且唯一 _ ƒ _ − _ g _ 的範數替零。如此，其實等等的價數就會當形成一个巴提赫空間，標記做講 _ L _ p ( [_ a _ , _ b _] )。佇遮使用勒貝格積分，毋是黎曼積分有原因的，因為黎曼積分無法度形成一个完備空間。這个空間會當閣予人推廣，詳細可見 Lp 空間。
線性轉換空間
準講 _ V _ 和 _ W _ 是仝一个數體K頂懸的巴提赫空間，所有線性轉換 _ A _ : _ V _ → _ W _ 的集合記做是 L ( _ V _ , _ W _ )。注意：佇無限維空間內底，線性轉換無一定是連紲的。L ( _ V _ , _ W _ ) 本身是一个向量空間。
定義 | | _ A _ | |=sup { | | _ Ax _ | | : | | _ x _ | | ≤ 一 }，會當驗證這是 L ( _ V _ , _ W _ ) 上的一个範數，予得 L ( _ V _ , _ W _ ) 成做一个巴提赫空間。若是閣將映射的複合運算定義做線性轉換的乘法，著 L ( _ V _ )=L ( _ V _ , _ V _ ) 構成一个有單位的元素的巴攑赫代數。
另見
- 空間 ( 數學 )-具有一寡附加結構的數學集合
- 鋪雷歇空間
- 哈代空間
- 希爾伯特空間—— 完備的內積空間；巴攑赫空間的一種，其標準唌導內積遵照平行四邊形原則
- Lp 空間—— 函數組成的範準空間，是有限維 p 範數空間的推廣
- 索仔列夫空間—— 函數組成的巴提赫空間，其範數為函數自身的 Lᵖ 範數，佮頭仔只階導數 Lᵖ 範數的佮
- 巴攑赫代數
- 嘿尪仔空間—— 線性泛函構成的向量空間（抑是包括全體泛函，抑是包含著連紲函）