德林斐特量子著

德林斐特量子著（Drinfeld quantum double、Drinfeld double抑是quantum double）是數學家德林斐特於一九八六年柏克萊國際數學家大會上提出的一種的代數結構，由有限維霍普夫代數 $ A $ 以及其對尪仔 $ A ^ { * } $ 製作出新的霍普夫代數，自動閣包含半三角結構。量仔嘿是量仔群理論中極重要的建構。

佇咧向量空間的層次頂懸，量仔對仝構於張量積 $ A \ otimes A ^ { * } $，這个代數結構不止仔複雜。設 $ ( A , S ) $ 為域 $ k $ 上的有限維霍普夫代數，假定 $ S $ 可逆，並設 $ \ phi ( , ) : A \ otimes A ^ { * } \ to k $ 為 $ A $ 佮 $ A ^ { * } $ 的自然配對。下列性質確定矣量仔著上唯一的霍普夫代數結構：

• 自然映射 $ A \ to A \ otimes 一 \ subset A \ otimes A ^ { * } $ 佮 $ A ^ { * } \ to 一 \ otimes A ^ { * } \ subset A \ otimes A ^ { * } $ 是霍普夫代數的同構。
• $ \ forall a \ in A , b \ in A ^ { * } , \ ; ( a \ otimes 一 ) \ cdot ( 一 \ otimes b )=a \ otimes b $
• 承上，$ ( 一 \ otimes b ) \ cdot ( a \ otimes 一 )=\ sum _ { ( a ) , ( b ) } \ phi ( S ^ { 影一 } ( a _ { ( 一 ) } ) , b _ { ( 一 ) } ) \ phi ( a _ { ( 三 ) } , b _ { ( 三 ) } ) a _ { ( 二 ) } \ otimes b _ { ( 二 ) } $

任取一組基 $ a _ { i } \ in A $ 佮其對尪仔基 $ b _ { i } \ in A ^ { * } $。元素

$ R :=\ sum _ { i } ( 一 \ otimes a _ { i } ) \ cdot ( b _ { i } \ otimes 一 ) \ in { \ mathcal { D } } _ { \ phi } ( A , A ^ { * } ) ^ { \ otimes 二 } $

佮基的選取無關，並滿足

• $ R $ 可逆。
• $ R \ cdot \ Delta (-,-)=\ Delta ^ { \ mathrm { op } } (-,-) \ cdot R $
• $ \ Delta \ otimes \ mathrm { id }=R _ { 十三 } R _ { 二十三 } $
• $ \ mathrm { id } \ otimes \ Delta=R _ { 十三 } R _ { 十二 } $

是故 $ R $ 給出了 $ A \ otimes A ^ { * } $ 上的半三角結構。通常將此量子著記為 $ { \ mathcal { D } } _ { \ phi } ( A , A ^ { * } ) $。

參考資料

• C . Kassel , M . Rosso , V . Turaev , _ Quantum groups and knot invariants _ , Panoramas et Syntheses , no . 五 ( 一千九百九十七 ) , Société Mathématique de France , ISBN 二四八陽五千六百二十九石五十五鋪八 .
• Vyjayanthi Chari , Andrew Pressley ( 一千九百九十四 )   : _ A Guide to Quantum Groups _ , ISBN 五鋪兩千一百五十五鋪八千八百四十