恩格爾展開式

Engel 展開式是一个正整數列 $ \ { a _ { 一 } , a _ { 二 } , a _ { 三 } , . . . \ } $，予閣有一个正實數會當用一種唯一的方式表示講做埃及分數之佮：

$ x={ \ frac { 一 } { a _ { 一 } } } + { \ frac { 一 } { a _ { 一 } a _ { 二 } } } + { \ frac { 一 } { a _ { 一 } a _ { 二 } a _ { 三 } } } + . . . \ ; $

有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展開式會真出名 F . Engel，伊佇一九一三年咧研究矣𪜶。

Engel 展開佮連分數

Kraaikamp 和 Wu ( 二空空四年 ) 發現 Engel 展開會當被看作是連分數的頂懸變體。

$ x={ \ frac { \ displaystyle 一 + { \ frac { \ displaystyle 一 + { \ frac { \ displaystyle 一 + \ cdots } { \ displaystyle a _ { 三 } } } } { \ displaystyle a _ { 二 } } } } { \ displaystyle a _ { 一 } } } . $

算法

$ u _ { 一 }=x $

$ a _ { k }=\ left \ lceil { \ frac { 一 } { u _ { k } } } \ right \ rceil $

$ u _ { k + 一 }=u _ { k } a _ { k } 影一 $

$ \ left \ lceil r \ right \ rceil $ 表示上細的整數大於抑是等於 $ r $。

若是 $ u _ { i }=零 $，愛停止。

例

$ $ { \ frac { 三 } { 七 } }={ \ frac { 一 } { 三 } } + { \ frac { 一 } { 三 \ times 四 } } + { \ frac { 一 } { 三 \ times 四 \ times 七 } } $ $

$ $ \ { 三 , 四 , 七 \ } \ ; $ $

參考

• Engel , F . Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen . Verhandlungen der 五十二 . Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg : 百九–一百九十一 . 一千九百十三 .
• Kraaikamp , Cor ; Wu , Jun . On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients . Monatshefte für Mathematik . 兩千空四 ,一百四十三: 兩百八十五–兩百九十八 . doi : 十五一空空七 / s 六百空五五四抹兩百四十六鼻三 .

外部連結

• Engel 展開式的例