拉普拉斯轉換

拉普拉斯轉換（英語：Laplace transform）是應用數學閣常用的一種積分轉換，閣名搝氏轉換，其符號做 $ \ displaystyle { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ } $。搝氏變換是一个線性變換，會當將一个有實數變數 $ t ( t \ geq 零 ) $ 的函數轉換做一个變數做複數 $ s $ 的函數：

$ F ( s )=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } f ( t ) e ^ {-st } \ , \ mathrm { d } t . $

拉氏變換佇大部份的應用中攏是對射的，上捷看著的 $ f ( t ) $ 和 $ F ( s ) $ 組合定印製成表，方便查閱。拉普拉斯轉換得名自法國天文學家佮數學家皮埃爾-西蒙・拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），伊佇機率論的研究中首先引入了拉氏變換。

搝氏變換佮傅立葉轉換有關，毋過傅立葉轉換將一个函數抑是信號表示為真濟弦波的疊加，才搝氏變換則是將一个函數表示為真濟矩的疊加。搝氏變換定定用來求解微分方程式佮積分方程式。佇咧物理佮工程上定定用來分析線性非常時變系統，會當用來分析電子電路、諧振子、光學儀器佮機械設備。佇遮的分析內底，拉氏變換會當作時域佮頻域之間的轉換，佇時域中輸入佮輸出攏是時間的函數，佇頻域內底輸入佮輸出則是複變角頻率的函數，單位是弧度逐秒。

對著一个簡單的系統，搝氏變換提供另外一種系統的描述方程式，會當簡單分析系統行為的時間。就親像時域下的線性非時變系統，佇頻域下會轉換做代數方程式，佇咧時域下的捲積會變做誠頻域下的乘法。

正式定義

對所有的實數 $ t \ geq 零 $，函數 $ f ( t ) $ 的拉普拉斯轉換是函數 $ F ( s ) $，定義做：

$ F ( s )=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-st } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t $

其中頻率參數 $ s $ 是一个複數：

$ s=\ sigma + i \ omega , \ , $ $ \ sigma $ 和 $ \ omega $ 為實數。

除了 $ F $，有當時仔咱嘛用 $ \ displaystyle { \ mathcal { L } } f $ 抑是 $ \ displaystyle { \ mathcal { L } } _ { t } \ left \ { f ( t ) \ right \ } $ 來表示拉普拉斯轉換。$ { \ mathcal { L } } $ 是一个運算符號。

這个積分的具體含義取決於被積函數的類型。伊存在的一个必要條件是佇咧 $ f $ 佇咧 $ [ 零 , \ infty ) $ 上局部可積。對這个無窮大處衰減的局部會當積函數抑是指數型函數，這个角度會當予人理解講（恰當）勒貝格積分。毋過，佇足濟應用中，咱有必要愛共看做佇一个 $ \ infty $ 處條件做收斂的反常積分。閣較一般的，這个積分會當佇較弱的意義上理解，踮下跤會去處理。

會當用勒貝格積分定義拉普拉斯轉換為一个有限鮑萊耳測度 $ \ mu $

$ { \ mathcal { L } } \ { \ mu \ } ( s )=\ int _ { [ 零 , \ infty ) } e ^ {-st } \ , \ mathrm { d } \ mu ( t ) . $

以上定義的一个特殊情況是 $ \ mu $ 為機率測度，抑是閣較具體咧講，是狄拉克 δ 函數時。佇運算是微積分中，拉普拉斯轉換的測度定定予人視做由分布函數 $ f $ 帶來的測度。佇這个情形下，為著避免去濫份，一般寫作

$ { \ mathcal { L } } \ { f \ } ( s )=\ int _ { 零 ^ {-} } ^ { \ infty } e ^ {-st } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t , $

其中積分下限 $ 零 ^ {-} $ 是

$ \ lim _ { \ varepsilon \ rightarrow 零 } \ int _ {-\ varepsilon } ^ { \ infty } $

的簡化符號。

這个極限強調所有無佇咧零的質點攏去予拉普拉斯轉換完全掠著。雖然佇咧使用勒貝格積分的時陣，咱無必要取這个極限，毋過伊予咱更加自然佮拉普拉斯–斯蒂爾吉斯轉換建立聯繫。

拉普拉斯倒反換

兩个相異的可積函數，干焦佇其他的勒貝格測度做零時，才會仝款的拉普拉斯轉換。所以轉換的角度來講，有佇咧其反轉換。包括會當積分函數在內，拉普拉斯轉換是單射映射，將一个函數空間映射著其他的函數空間。典型的函數空間包括有界連紲函數、函數空間 L∞ ( 零 , ∞ )、抑是閣較廣義，佇咧 ( 零 , ∞ ) 區間內的慢增廣義函數（函數的就上歹情形是多項式成長）。

拉普拉斯倒轉換有真濟無仝款的名稱，如維奇積分、傅立葉-梅林積分、梅林逆公式，是一个複數積分：

$ f ( t )={ \ mathcal { L } } ^ { 影一 } \ { F \ } ( t )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi i } } \ lim _ { T \ to \ infty } \ int _ { \ gamma-iT } ^ { \ gamma + iT } e ^ { st } F ( s ) \ , \ mathrm { d } s $

其中 $ \ gamma $ 是一種使 $ F ( s ) $ 的積分路草佇收縮域內底的實數。另外一个拉普拉斯倒反換的公式是由 Post 反演公式來。

佇實務上一般會配合查表，將函數的拉普拉斯轉換分換做真濟已知函數的拉普拉斯轉換，再利用觀察的方式產生其拉普拉斯倒換。佇微分方程式內底會用著拉普拉斯倒換，會比用傅利葉轉換的處理方式愛簡單。

性質佮定理

函數 $ f ( t ) $ 和 $ g ( t ) $ 的拉普拉斯轉換分別為 $ F ( s ) $ 和 $ G ( s ) $：

$ { \ begin { aligned } f ( t ) &={ \ mathcal { L } } ^ { 影一 } \ { F ( s ) \ } \ \ g ( t ) &={ \ mathcal { L } } ^ { 影一 } \ { G ( s ) \ } \ end { aligned } } $

下跤的格是一系列單邊拉普拉斯轉換的性質：

初值定理：

$ f ( 零 ^ { + } )=\ lim _ { s \ to \ infty } { sF ( s ) } $，要求 $ { F ( s ) } $ 為真分式，即分子的上懸次小於分母的上懸次，若無用多項式除法共 $ { F ( s ) } $ 分解

終值定理：

$ f ( \ infty )=\ lim _ { s \ to 零 } { sF ( s ) } $，要求 $ sF ( s ) $ 的所有極點攏佇倒半複數平面抑是原點替單極點。

因為總值定理無需要經過部份式分解或者是其他困難的代數就會當予出長期的行為，伊就足有路用的。若是 $ F ( s ) $ 佇正爿邊仔抑是虛數軸有極點，如當 $ f ( t )=e ^ { t } $ 抑是 $ f ( t )=\ sin ( t ) $ 時，這个公式的行為就是未定義的。

佮冪級數的關係

拉普拉斯轉換會當看做是冪級數的一个連續模擬。若是 _ a _ ( _ n _ ) 是正整數 _ n _ 的一个離散函數，按呢佮 _ a _ ( _ n _ ) 相關的冪級數是

$ \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } a ( n ) x ^ { n } $

其中 _ x _ 是實變數（參見 Z 轉換）。將著 _ n _ 的加佮替換做對 _ t _ 的積分，則這冪級數的連續形式做

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } f ( t ) x ^ { t } \ , \ mathrm { d } t $

其中離散型函數 _ a _ ( _ n _ ) 予人替換做連續型的 _ f _ ( _ t _ )。（參見下文梅林轉換。）改變冪的基底 _ x _ 為 _ e _ 得

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } f ( t ) \ left ( e ^ { \ log { x } } \ right ) ^ { t } \ , \ mathrm { d } t $

欲來使這个積分對任何有界函數 _ f _ 攏收斂，就需要滿足 $ \ log { x } < 零 $。使用 − _ s _=log _ x _ 代換就通好得著拉普拉斯轉換：

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } f ( t ) e ^ {-st } \ , \ mathrm { d } t $

嘛會使講，拉普拉斯轉換是冪級數的一个連續模擬，只是共離散去參數 _ n _ 換做連紲變數 _ t _，_ x _ 換做矣 _ e _ − _ s _。

佮矩的關係

函數 _ f _ 的 _ 矩 _ 為

$ \ mu _ { n }=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } t ^ { n } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t $

若是 _ f _ 的前 _ n _ 階矩絕對收斂，是通過重複佇積分符號內取微分，就得到 $ ( 影一 ) ^ { n } ( { \ mathcal { L } } f ) ^ { ( n ) } ( 零 )=\ mu _ { n } $。這佇機率論里是有特別重要的意義的，其中隨機變數 _ X _ 的矩是 $ \ mu _ { n }=E [X ^ { n }] $。下跤的關係成立：

$ \ mu _ { n }=( 影一 ) ^ { n } { \ frac { \ mathrm { d } ^ { n } } { \ mathrm { d } s ^ { n } } } E \ left [e ^ {-sX } \ right] . $

證明函數導數的拉普拉斯轉換

真方便用搝普拉斯轉換的微分性質來求函數導數的轉換。對拉普拉斯轉換的基本表達式就會當推導如下：

$ { \ begin { aligned } { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ } &=\ int _ { 零 ^ {-} } ^ { \ infty } e ^ {-st } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t \ \ &=\ left [{ \ frac { f ( t ) e ^ {-st } } {-s } } \ right] _ { 零 ^ {-} } ^ { \ infty }-\ int _ { 零 ^ {-} } ^ { \ infty } { \ frac { e ^ {-st } } {-s } } f'( t ) \ , \ mathrm { d } t \ quad { \ text { ( by parts ) } } \ \ &=\ left [-{ \ frac { f ( 零 ^ {-} ) } {-s } } \ right ] + { \ frac { 一 } { s } } { \ mathcal { L } } \ left \ { f'( t ) \ right \ } , \ end { aligned } } $

導出

$ { \ mathcal { L } } \ left \ { f'( t ) \ right \ }=s \ cdot { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ }-f ( 零 ^ {-} ) , $

抑若佇雙爿的情形下，

$ { \ mathcal { L } } \ left \ { { f'( t ) } \ right \ }=s \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-st } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t=s \ cdot { \ mathcal { L } } \ { f ( t ) \ } . $

一般化的結果是

$ { \ mathcal { L } } \ left \ { f ^ { ( n ) } ( t ) \ right \ }=s ^ { n } \ cdot { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ }-s ^ { n 影一 } f ( 零 ^ {-} )-\ cdots-f ^ { ( n 影一 ) } ( 零 ^ {-} ) , $

其中 _ f _ ( _ n _ ) 表示 _ f _ 的 _ n _ 階導數，會使由歸納假設會出。

計算廣義積分

令 $ { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ }=F ( s ) $，著（參見頂懸的格）

$ { \ mathcal { L } } \ left \ { { \ frac { f ( t ) } { t } } \ right \ }=\ int _ { s } ^ { \ infty } F ( p ) \ , \ mathrm { d } p , $

抑是

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ frac { f ( t ) } { t } } e ^ {-st } \ , \ mathrm { d } t=\ int _ { s } ^ { \ infty } F ( p ) \ , \ mathrm { d } p . $

令 _ s _ → 零，假定會當改變取極限順序，就得著性質

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ frac { f ( t ) } { t } } \ , \ mathrm { d } t=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } F ( p ) \ , \ mathrm { d } p . $

就算在袂使交換，這个計算猶原有暗示性。比如講，形式上按呢計算得著

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ frac { \ cos at-\ cos bt } { t } } \ , \ mathrm { d } t=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { p } { p ^ { 二 }+ a ^ { 二 } } }-{ \ frac { p } { p ^ { 二 } + b ^ { 二 } } } \ right ) \ , \ mathrm { d } p={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left . \ ln { \ frac { p ^ { 二 } + a ^ { 二 } } { p ^ { 二 } + b ^ { 二 } } } \ right | _ { 零 } ^ { \ infty }=\ ln b-\ ln a . $

這个性質的正確性會當用其他的方法證明。伊是傅汝蘭尼積分（Frullani integral）的一个例。

例猶閣有狄利克雷的積分。

佮其他轉換的聯絡

佮傅立葉轉換關係

連紲傅立葉轉換相當於計算令 $ s=\ imath \ omega $ 抑是 _ $ s=二 \ pi f \ imath $ _ 的雙爿搝普拉斯轉換：

$ { \ begin { aligned } { \ hat { f } } ( \ omega ) &={ \ mathcal { F } } \ left \ { f ( t ) \ right \ } \ \ [一 em] &={ \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ } | _ { s=i \ omega }=F ( s ) | _ { s=i \ omega } \ \ [一 em] &=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } e ^ {-\ imath \ omega t } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t . \ \ \ end { aligned } } $

佮 z 轉換的聯絡

_ z _ 轉換表達式為著：

$ X ( z )=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } x [n] z ^ {-n } $

其中 $ z \ leftarrow e ^ { sT } \ $。較兩个表達式有：

$ X _ { q } ( s )=X ( z ) { \ Big | } _ { z=e ^ { sT } } . $

拉普拉斯轉換簡表

下表提供了真濟捷用單變數函數的拉普拉斯轉換。對定義佮解說，請參見表末的 _ 注釋 _。

因為拉普拉斯轉換是一个線性算子：

佮的拉普拉斯轉換等於各項的拉普拉斯轉換的總和。

: $ { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) + g ( t ) \ right \ }={ \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ } + { \ mathcal { L } } \ left \ { g ( t ) \ right \ } $

一个函數的倍數的拉普拉斯轉換等於該函數的拉普拉斯轉換的倍數。

: $ { \ mathcal { L } } \ left \ { af ( t ) \ right \ }=a { \ mathcal { L } } \ left \ { f ( t ) \ right \ } $

使用這个線性質，以及各種三角、雙曲、佮複數（等）的性質，會使按其他的拉普拉斯轉換會著一寡拉普拉斯轉換，這會比直接通過使用定義較緊。

單爿搝普拉斯轉換取時域為非負實數的函數作為輸入，這就是下表中所有時域函數攏共納以單位階躍函數 u ( _ t _ ) 的原因。表中牽涉著時間延遲 τ 的條目著愛是因果（即 τ > 零）。因果系統是 _ t _=空進前的衝激響應 _ h _ ( _ t _ ) 攏為零的一个系統。佇一般情形下，因果系統的收斂區域佮反因果系統是無仝的。

轉換佮其實性質的應用實例

拉普拉斯轉換佇物理學佮工程內面是捷用的；線性的時陣無變系統的輸出會當通過摺積單位脈衝響應佮輸入信號來計算，啊若佇咧拉氏空間內底執行這算將拗積通過轉換做乘法來計算。後者是閣較容易解決，因為伊的代數形式。

拉普拉斯轉換嘛會使來解決微分方程式，這個廣泛應該於電氣工程。拉普拉斯轉換共線性差分方程式化簡為代數方程式，按呢就會當通過代數規則來解決。原來的微分方程式會當通過加逆拉普拉斯轉換會著其解。英國電氣工程師奧利馮・烏維塞第一改提出一个類似的計畫，雖然無咧使用拉普拉斯轉換；猶閣有由此產生的演算予人呵咾做烏維塞演算。

佇咧工程學上的應用

應用拉普拉斯轉換解常變數齊次微分方程式，會當共微分方程式化做代數方程式，予問題會當解決。佇咧工程學上，拉普拉斯轉換的重大意義佇咧講：共一个信號對時域上，轉換做複頻域（s 域）起來表示講，對分析系統的特性，系統穩定有一个重大意義；佇線性系統，控制自動化上攏有廣泛的應用。

參考書目、資料來源

電機電子類科《工程數學》，ISBN 九百五十七石五百八十四石三百七十七石空，作者陳錫冠、胡曦、周禎暉老師，懸立出版社。
Korn , G . A . ; Korn , T . M . , Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 二 nd , McGraw-Hill Companies , 一千九百六十七 , ISBN 空空七抹三三五千三百七十鋪空 .