指數函數

指數函數（英語：Exponential function）是形式做 $ b ^ { x } $ 的數學函數，其中 $ b $ 是底數（抑是稱基數，base），而且 $ x $ 是指數（index / exponent）。

現今指數函數通常特指以 $ { \ mbox { e } } $ 為底數的指數函數（即 $ { \ mbox { e } } ^ { x } $），為數學中重要的函數，嘛會當寫作 $ \ exp ( x ) $。遮的 $ { \ mbox { e } } $ 是數學常數，也就是自然對數函數的底數，近來親像值為 $ 二嬸七一八二八一八二八 $，閣講號做歐拉數。

做為實數變數 $ x $ 的函數，$ y={ \ mbox { e } } ^ { x } $ 的圖像總是正的（佇咧 $ x $ 軸之上）並遞增（對倒向正爿看），伊無法度振動 $ x $ 軸，就算講伊會當任意程度的倚近伊，即 $ x $ 軸是這个圖像的水平漸近線。一般的講，變數 $ x $ 會當是任何實數抑是複數，甚至是完全無仝種類的數學物件。伊的反函數是定義佇所有正數 $ x $ 自然對數 $ \ ln { x } $。

本文集內底有咧共歐拉數 $ { \ mbox { e } } $ 的指數函數。有時，特別是佇科學中，術語指數函數閣較一般性的用佇咧形如 $ kb ^ { x } $ 的函數，遮的 $ b $ 這號做底數，是無等於 $ 一 $ 的任何正實數。

概欲

上簡單的講，指數函數揤恆定速率翻倍。比如講細菌培養的時細菌總數（近近的）每三點鐘翻倍，佮汽車的價值每年減少百分之十攏會當被表示做一个指數。特別是複利，事實上就是伊致使著雅各布・伯仔拍拚佇一六八三年介入矣這馬叫做 $ e $ 的數：

$ \ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } $

後來約翰・伯仔拍拚佇一六九七年研究了指數函數的微積分。

設一份借貸有 $ x $ 利率，每個月複利話，是逐個月增加當前值的 $ { \ frac { x } { 十二 } } $ 倍，逐月總值攏愛乘以 $ ( 一 + { \ frac { x } { 十二 } } ) $，一年的總值為 $ ( 一 + { \ frac { x } { 十二 } } ) ^ { 十二 } $，每一工複利的話，就是講 $ ( 一 + { \ frac { x } { 三百六十五 } } ) ^ { 三百六十五 } $。設年中時段數可為無限，若有如下上頭仔由歐拉提出的指數函數定義：

$ \ exp ( x )=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { x } { n } } \ right ) ^ { n } $

指數函數有基本的指數恆等式，

$ \ exp ( x + y )=\ exp ( x ) \ cdot \ exp ( y ) $

這是伊寫為 $ e ^ { x } $ 的原因。

佇雅各布・伯仔拍拚進前，約翰・納皮爾佇一六一四年以及 Jost Bürgi 佇咧六冬後，分別發表矣獨立編制的對數表，彼當陣通過對接近一个底數的大量坐冪運算，來揣著指定的範圍佮精度的對數佮所對應的真數，彼當陣猶未出現有理數冪的概念，一直到一七四二年 William Jones 才發表了這馬的冪指數概念。照後生的觀點，Jost Bürgi 的底數一石零空空一一空空空相當接近自然對數的底數 $ e $，而約翰・納皮爾的底數空九九九九九九一空空空空空空空相當接近 $ { \ frac { 一 } { e } } $。實際上攏免做開高次方這種艱難運算，約翰・納皮爾用二空年時間進行比數百萬擺乘法的計算，Henry Briggs 建議納皮爾改用十為底數未果，伊用家己的方法佇一六二四年部份完成矣常用對數表的編制。

形式定義

指數函數 $ e ^ { x } $ 會當用各種等價的方式定義。特別是伊會當定義做冪的級數：

$ e ^ { x }=一 + \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { x ^ { n } \ over n ! }=一 + x + { x ^ { 二 } \ over 二 ! } + { x ^ { 三 } \ over 三 ! } + { x ^ { 四 } \ over 四 ! } + \ cdots $

或者是序列的極限：

$ e ^ { x }=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { x \ over n } \ right ) ^ { n } . $

佇遮的定義內底，$ n ! $ 表示 $ n $ 的階乘，而且 $ x $ 會當是任何實數、複數、佮巴攑赫代數的元素。

設 $ x \ geq 零 $ 是確定的非負實數。定義

$ t _ { n }=\ left ( 一 + { \ frac { x } { n } } \ right ) ^ { n } , \ s _ { n }=\ sum _ { k=零 } ^ { n } { \ frac { x ^ { k } } { k ! } } . $

根據二項式定理，

$ { \ begin { aligned } t _ { n } &=\ sum _ { k=零 } ^ { n } { n \ choose k } { \ frac { x ^ { k } } { n ^ { k } } }=一 + x + \ sum _ { k=二 } ^ { n } { \ frac { n ( n 影一 ) ( n 鋪二 ) \ cdots [n-( k 影一 )] x ^ { k } } { k ! \ , n ^ { k } } } \ \ [八 pt] &=一 + x + { \ frac { x ^ { 二 } } { 二 ! } } \ left ( 一-{ \ frac { 一 } { n } } \ right ) + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 ! } } \ left ( 一-{ \ frac { 一 } { n } } \ right ) \ left ( 一-{ \ frac { 二 } { n } } \ right ) + \ cdots \ \ [八 pt] & { } \ qquad \ cdots + { \ frac { x ^ { n } } { n ! } } \ left ( 一-{ \ frac { 一 } { n } } \ right ) \ cdots \ left ( 一-{ \ frac { n 影一 } { n } } \ right ) \ leq s _ { n } \ end { aligned } } $

（設 $ x \ geq 零 $ 得著最終的不等式）故此

$ \ limsup _ { n \ to \ infty } t _ { n } \ leq \ limsup _ { n \ to \ infty } s _ { n }=e ^ { x } $

可證明當 $ n $ 較無限大時間來講二定義等價。遮的定義的進一步的解說佮𪜶的等價性的證明，參見文章指數函數的特徵描述。

性質

對指數函數的定義：

$ e ^ { x }=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { x } { n } } \ right ) ^ { n } $

會當出伊有冪運算的「指數定律」：

$ \ ! \ , e ^ { 零 }=一 $

$ \ ! \ , e ^ { 一 }=e $

$ \ ! \ , e ^ { x + y }=e ^ { x } e ^ { y } $

$ \ ! \ , e ^ { xy }=\ left ( e ^ { x } \ right ) ^ { y } $

$ \ ! \ , e ^ {-x }={ 一 \ over e ^ { x } } $

𪜶對所有的實數 _ $ x $ _ 佮 $ y $ 攏是有效的。

因為咧指數函數的定義內底 $ x $ 是實數，會當使用自然的對數，共閣較一般的指數函數，即正實數的實數冪函數定義為

$ \ ! \ , b ^ { x }=( e ^ { \ ln b } ) ^ { x }=e ^ { x \ ln b } . $

定義所有的 $ b > 零 $，佮所有的實數 _ $ x $ _。伊叫做「底數為 $ b $ 的指數函數」。對而且拓展了通過乘方佮方根運算定義的正實數的有理數冪函數：

$ b ^ { \ frac { m } { n } }={ \ sqrt [{ n }] { b ^ { m } } } . $

若方根運算會當過自然對數和指數函數來表示（單位根）

$ { \ sqrt [{ n }] { x } }=x ^ { \ frac { 一 } { n } }=e ^ { \ frac { \ ln x } { n } } . $

介入數 $ e $ 的根本動機，特別是佇咧微積分中，是通過指數函數佮對數來做導數佮積分運算。一般指數函數 $ y=b ^ { x } $ 有極限形式的導數 :

$ { \ frac { d } { dx } } b ^ { x }=\ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { b ^ { x + h }-b ^ { x } } { h } }=\ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { b ^ { x } b ^ { h }-b ^ { x } } { h } }=b ^ { x } \ left ( \ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { b ^ { h } 影一 } { h } } \ right ) . $

上正爿的極限無關於變數 _ $ x $ _：伊依賴佇底數 $ b $ 是常數。根據求導的連鎖法則：

$ { \ frac { d } { dx } } \ left ( 一 + { \ frac { x } { n } } \ right ) ^ { n }=\ left ( 一 + { \ frac { x } { n } } \ right ) ^ { n 影一 } . $

做這个底數是 $ e $ 時，這个常數等於一，所以有 :

$ { \ frac { d } { dx } } e ^ { x }=e ^ { x } . $

導數佮微分方程式

指數函數佇數學和科學中的重要性主要源於伊的導數的性質。特別是

$ { d \ over dx } e ^ { x }=e ^ { x } $

就是講乎，$ e ^ { x } $ 是伊家己的導數。這會使用泰勒級數證明：

$ { \ begin { aligned } { \ frac { d } { dx } } e ^ { x } &={ \ frac { d } { dx } } \ left ( 一 + \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { n } } { n ! } } \ right )=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { nx ^ { n 影一 } } { n ! } }=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { n 影一 } } { ( n 影一 ) ! } } \ \ [六 pt] &=\ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { k } } { k ! } } , { \ text { where } } k=n 影一 \ \ [六 pt] &=e ^ { x } \ end { aligned } } $

嘿於常數 $ K $ 彼个形如 $ Ke ^ { x } $ 的函數是唯一有這个性質的函數（這著愛出自皮卡-林德洛夫的定理）。其他等價數有：

函數的圖像的佇任何一點上的趨率是這个函數佇這點頂懸的懸度。
函數佇咧 $ x $ 的增長速率等於佇這个函數佇咧 _ $ x $ _ 上的值。
這个函數是微分方程式 $ y'=y $ 的解。
exp 是泛導數的不動點。

事實上，誠濟無仝的方程式引發指數函數，包括薛丁格的方程式佮拉普拉斯的方程式佮簡單倚波運動的方程式。

對有其他底數的指數函數：

$ { d \ over dx } b ^ { x }=( \ ln b ) b ^ { x } $

所以任何指數函數攏是伊家己導數的常數倍。

若一个變數的增長抑是衰減速率是佮伊的大細成比例的，譬如講無限制情況下的人口增長、複利佮放射性衰變，則這个變數會當寫做常數倍的時間的指數函數。

進一步的，著任何會當微函數 $ f ( x ) $，咱會當通過彼連鎖律揣著：

$ { d \ over dx } e ^ { f ( x ) }=f'( x ) e ^ { f ( x ) } $ .

_ $ e ^ { x } $ _ 的連分數

通過歐拉連分數公式得著 _ $ e ^ { x } $ _ 的連分數：

$ e ^ { x }=一 + { \ cfrac { x } { 一-{ \ cfrac { x } { x + 二-{ \ cfrac { 二 x } { x + 三-{ \ cfrac { 三 x } { x + 四-\ ddots } } } } } } } } $

$ e ^ { z } $ 的廣義連分數收斂閣較緊 :

$ e ^ { z }=一 + { \ cfrac { 二 z } { 二-z + { \ cfrac { z ^ { 二 } } { 六 + { \ cfrac { z ^ { 二 } } { 十 + { \ cfrac { z ^ { 二 } } { 十四 + \ ddots } } } } } } } } $

抑是講，替換 $ z={ \ frac { x } { y } } $ :

$ e ^ { \ frac { x } { y } }=一 + { \ cfrac { 二 x } { 二 y-x + { \ cfrac { x ^ { 二 } } { 六 y + { \ cfrac { x ^ { 二 } } { 十 y + { \ cfrac { x ^ { 二 } } { 十四 y + \ ddots } } } } } } } } $

有特殊情況 $ z=二 $ :

$ e ^ { 二 }=一 + { \ cfrac { 四 } { 零 + { \ cfrac { 二 ^ { 二 } } { 六 + { \ cfrac { 二 ^ { 二 } } { 十 + { \ cfrac { 二 ^ { 二 } } { 十四 + \ ddots \ , } } } } } } } }=七 + { \ cfrac { 二 } { 五 + { \ cfrac { 一 } { 七 + { \ cfrac { 一 } { 九 + { \ cfrac { 一 } { 十一 + \ ddots \, } } } } } } } } $

佇複平面上

親像佇實數的情形下，佇複平面的指數函數會當用多種等價方式定義。比如冪級數形式的 :

$ e ^ { z }=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } { \ frac { z ^ { n } } { n ! } } $

或者是講序列的極限：

$ e ^ { z }=\ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { z } { n } } \ right ) ^ { n } $

伊帶有虛數週期 $ 二 \ pi i $，伊會當寫為

$ \ ! \ , e ^ { a + bi }=e ^ { a } ( \ cos b + i \ sin b ) $

遮的 $ a $ 和 $ b $ 是實數值。參見歐拉的公式，這个公式共指數函數佮三角函數佮指數函數聯絡起來。

咧考慮定義佇咧複平面上的函數的時陣，指數函數有重要的性質

$ \ ! \ , e ^ { z + w }=e ^ { z } e ^ { w } $
$ \ ! \ , e ^ { 零 }=一 $
$ \ ! \ , e ^ { z } \ neq 零 $
$ \ ! \ , { d \ over dz } e ^ { z }=e ^ { z } $
$ \ , ( e ^ { z } ) ^ { n }=e ^ { nz } , n \ in \ mathbb { Z } $

對所有的 $ z $ 和 $ w $。

伊是週期的全純函數。咱看著除了濟項式的所有初等函數攏用某種方式咧起源於指數函數。

擴展自然對數到復平面上多值函數 $ \ ln z $，咱會當接落去定義閣較一般性的指數函數：

$ \ ! \ , z ^ { w }=e ^ { w \ ln z } $

對所有複數 $ z $ 和 $ w $，這嘛是多值函數，就算講是佇咧 $ z $ 為實數的狀況下。頭前關於正實數狀況下的指數乘積規則佇多值函數狀況下必須改做 :

$ ( e ^ { z } ) ^ { w } \ neq e ^ { zw } $，是啊 $ ( e ^ { z } ) ^ { w }=e ^ { ( z + 二 \ pi in ) w } \ , $ 偌值得整數 _ n _ 之上。

指數函數共佇複平面上任何直線炤著佇複平面中以原點為中心的對數螺線。愛注意兩个特殊情形：當初上早的線平行佇實數軸的時陣，結果的螺線永遠無遮起（close in on）自身；當上早的線平行佇虛數軸的時陣，結果的螺仔線是某一个半徑的圓。

佇咧複平面上指數函數（主支）
* *

矩陣佮巴提赫代數

頂頭提出的指數函數的定義會當用所有的巴提赫代數，特別是對方塊矩陣（佇這種情況函數號做矩陣指數）。佇這个情況下阮有

$ \ e ^ { x + y }=e ^ { x } e ^ { y } { \ mbox { if } } xy=yx $

$ \ e ^ { 零 }=一 $

$ \ e ^ { x } $ 佮 $ \ e ^ {-x } $ 是互倒的

$ \ e ^ { x } $ 在點 $ \ x $ 的導數是對 $ \ u $ 到 $ \ ue ^ { x } $ 的線性放射。

佇非交換巴提赫代數的頂下文中，譬如講陣的代數抑是佇巴攑赫空間抑是希爾伯特空間的一个算子，指數函數不三時被認做實數參數的函數：

$ \ f ( t )=e ^ { tA } $

遮的 _ A _ 是這个代數的固定元素 _ t _ 是任何實數。這个函數有重要的性質

$ \ f ( s + t )=f ( s ) f ( t ) $

$ \ f ( 零 )=一 $

$ \ f'( t )=Af ( t ) $

佇李代數頂懸

對李代數到李群的「指數映射」有寫著伊的性質。事實上因為R是帶有乘法的所有正實數的李群的李代數，實數參數的常規指數函數是李代數下的特殊情況。類似的，因為所有的方塊實數矩陣的李代數 M ( _ n _ ,R) 較屬於所有正可逆方塊矩陣的李群，方塊矩陣指數函數是李代數指數指數映射的特殊情況。

註解佮引用

證明

外部連結

Complex exponential function . PlanetMath .
埃里克・韋斯坦因為 . Exponential Function . MathWorld .
Complex Exponential Function Module by John H . Mathews
Taylor Series Expansions of Exponential Functions at efunda . com
Complex exponential interactive graphic

參見

指數函數的特徵描述
指數增長、指數衰減
對數
冪佮冪定律
迵天代冪次
古德溫-斯塔頓積分