指數積分

佇咧數學中，指數積分是函數的一種，伊袂當表示為初等函數。

定義

對著實數 _ x _，指數積分 Ei ( _ x _ ) 會當定義做：

$ { \ mbox { Ei } } ( x )=\ int _ {-\ infty } ^ { x } { \ frac { e ^ { t } } { t } } \ , \ mathrm { d } t . \ , $

其中 $ e ^ { t } $ 共指數函數。以上的定義會當用於正數 _ x _，但是這个囤分著愛用柯西主值的概念來理解。

對自變數是複數的情形，這个定義就變甲兩交含兩可矣。為著避免歧義，咱使用以下的記法：

$ { \ rm { E } } _ { 一 } ( z )=\ int _ { z } ^ { \ infty } { \ frac { e ^ {-t } } { t } } \ , \ mathrm { d } t , \ qquad | { \ rm { Arg } } ( z ) | < \ pi . $

當自變數的實數部份為正時，會當轉換做：

$ { \ rm { E } } _ { 一 } ( z )=\ int _ { 一 } ^ { \ infty } { \ frac { e ^ {-tz } } { t } } \ , \ mathrm { d } t , \ qquad \ Re ( z ) \ geq 零 . $

Ei 佮 E 有以下關係：

$ { \ rm { Ei } } (-x \ pm { \ rm { i } } 零 )=-{ \ rm { E } } _ { 一 } ( x ) \ mp { \ rm { i } } \ pi , \ quad ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( x > 零 ) $

$-{ \ rm { Ei } } ( x )={ \ frac { 一 } { 二 } } { \ rm { E } } _ { 一 } (-x + { \ rm { i } } 零 ) + { \ frac { 一 } { 二 } } { \ rm { E } } _ { 一 } (-x-{ \ rm { i } } 零 ) , \ qquad ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( x > 零 ) ~ . $

性質

收斂級數

指數的積分會當用下的收斂級數來表示：

$ { \ mbox { Ei } } ( x )=\ gamma + \ ln x + \ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { x ^ { k } } { k \ ; k ! } } \ , , ~ ~ ~ ~ ~ x > 零 $

$ E _ { 一 } ( z )=-\ gamma-\ ln z + \ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { k + 一 } z ^ { k } } { k \ ; k ! } } \ , , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \ rm { Re } } ( z ) > 零 $

其中 $ ~ \ gamma \ approx 空九五七七二一五六六四九空一五三二八 . . . ~ $ 是歐拉-馬歇羅尼常數。這个級數佇咧變數為任何複數時陣攏是帶領的，猶毋過 Ei 的定義愛需要 $ ~ x \ ! > \ ! 零 ~ $。

漸近（發散）級數

自變數的值比較大，用以上的像收斂級數來算指數積分是困難的。佇這个情形下，咱會當使用發散（抑是近近仔）級數：

$ E _ { 一 } ( z )={ \ frac { \ exp (-z ) } { z } } \ left [\ sum _ { n=零 } ^ { N 影一 } { \ frac { n ! } { (-z ) ^ { n } } } + { \ mathcal { O } } \ left ( { \ frac { N ! } { z ^ { N } } } \ right ) \ right] $

這節斷和會當用來計算講 $ ~ { \ rm { Re } } ( z ) \ ! \ gg \ ! 一 ~ $ 時函數的值。級數中的項數愈濟，自變數的實數部份就應該愈大。

圖中描述了以上估計的相對誤差。

指數佮對數的表現

$ ~ E _ { 一 } ~ $ 佇咧自變數較大時的表現類似指數函數，自變數較細漢的時類似對數函數。$ ~ E _ { 一 } ~ $ 是以下兩个函數之間的：

$ { \ frac { \ exp (-x ) } { 二 } } \ ! ~ \ ln \ ! \ left ( 一 + { \ frac { 二 } { x } } \ right ) < E _ { 一 } ( x ) < \ exp (-x ) \ ! ~ \ ln \ ! \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { x } } \ right ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ x \ ! > \ ! 零 $

這个無等式的左端佇圖內底用藍色曲線來表示，中央彼个烏的曲線是 $ ~ { \ rm { E } } _ { 一 } ( x ) ~ $，無等式的正爿用紅色曲線來表示。

佮其他的函數的關係

指數的積分佮對數積分 li ( _ x _ ) 有密切的關係：

li ( _ x _ )=Ei ( ln ( _ x _ ) ) 對所有正實的數 _ x _ ≠ 一。

另外一个有密切的關係，有無仝款的積分限：

$ { \ rm { E } } _ { 一 } ( x )=\ int _ { 一 } ^ { \ infty } { \ frac { e ^ {-tx } } { t } } \ , \ mathrm { d } t=\ int _ { x } ^ { \ infty } { \ frac { e ^ {-t } } { t } } \ , \ mathrm { d } t . $

這个函數會當共指數積分延伸到負數：

$ { \ rm { Ei } } (-x )=-{ \ rm { E } } _ { 一 } ( x ) . \ , $

咱會當共兩个函數攏用函數來表示：

$ { \ rm { Ein } } ( x )=\ int _ { 零 } ^ { x } ( 一-e ^ {-t } ) \ , { \ frac { \ mathrm { d } t } { t } }=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { k + 一 } x ^ { k } } { k \ ; k ! } } . $

利用這个函數，咱會當用對數來定義：

$ { \ rm { E } } _ { 一 } ( z ) \ ,=\ ,-\ gamma-\ ln z + { \ rm { Ein } } ( z ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ | { \ rm { Arg } } ( z ) | < \ pi ~ $

以及

$ { \ rm { Ei } } ( x ) \ ,=\ , \ gamma + \ ln x-{ \ rm { Ein } } (-x ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ x > 零 . $

指數積分閣會當推廣為：

$ { \ rm { E } } _ { n } ( x )=\ int _ { 一 } ^ { \ infty } { \ frac { e ^ {-xt } } { t ^ { n } } } \ , \ mathrm { d } t , $

伊是無完全伽瑪數的一个特例：

$ { \ rm { E } } _ { n } ( x )=x ^ { n 影一 } \ Gamma ( 一-n , x ) . \ , $

這个推廣的形式有當時仔成做 Misra 函數 $ \ varphi _ { m } ( x ) $，定義做：

$ \ varphi _ { m } ( x )={ \ rm { E } } _ {-m } ( x ) . \ , $

導數

函數 $ ~ { \ rm { E } } _ { n } ~ $ 佮 $ ~ { \ rm { E } } _ { 一 } ~ $ 伊的導數有講下仔簡單的關係：

$ { { \ rm { E } } _ { n } }'( z ) { n 影一 } ( z ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( | { \ rm { Arg } } ( z ) | < \ pi , ~ ~ ~ n > 零 ) $

毋過，遮假使矣 $ ~ n ~ $ 是整數；複數 $ ~ n ~ $ 的推廣猶無佇文獻中報導，雖然這種推廣是有可能的。佇咧 y=二 x 的圖形內底，其導函數咧任意 x 價值所對應的 y 值為原函數的空抹六九三倍。

複數變數指數積分

對以下的表示法中

$ { \ rm { E } } _ { 一 } ( z )=\ int _ { 一 } ^ { \ infty } { \ frac { \ exp (-zt ) } { t } } \ , { \ rm { d } } t , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( { \ rm { Re } } ( z ) \ geq 零 ) $

會當看出指數的積分佮正弦的積分（Si）和餘弦積分（Ci）之間的關係：

$ { \ rm { E } } _ { 一 } ( { \ rm { i } } \ ! ~ x )=-{ \ frac { \ pi } { 二 } } + { \ rm { Si } } ( x )-{ \ rm { i } } \ cdot { \ rm { Ci } } ( x ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( x > 零 ) $

圖內底的烏色佮紅色曲線分別描述了 $ ~ { \ rm { E } } _ { 一 } ( x ) ~ $ 的實數佮虛數部份。

參考文獻

Press , William H . et al . Numerical Recipes ( FORTRAN ) . Cambridge University Press , New York : 一千九百八十九 .
Milton Abramowitz and Irene A . Stegun , eds . _ Handbook of Mathematical Functions with Formulas , Graphs , and Mathematical Tables . _ New York : Dover , 一千九百七十二 . _ ( See Chapter 五 ) _
R . D . Misra , Proc . Cambridge Phil . Soc . 三十六 , 一百七十三 ( 一千九百四十 )
S . Chandrasekhar , Radiative transfer , reprinted 一千九百六十 , Dover

外部連結

埃里克・韋斯坦因為 . Exponential Integral . MathWorld .
埃里克・韋斯坦因為 . _ En _-Function . MathWorld .
Ei 的公式佮恆等式