指數衰減

某一量的降低速度和伊的值成比例，稱呼是服從指數衰減。用符號會當表達為以下微分方程，其中 _ N _ 是指量，λ 指衰減常數（抑是衰變常數）。

$ { \ frac { dN } { dt } }=-\ lambda N . $

方程的一个解為：

$ N ( t )=N _ { 零 } e ^ {-\ lambda t } . \ , $

遮 _ N ( t ) _ 是佮時間 _ t _ 有關的量，_ N 零=N ( 零 ) _ 是初初量，即在時間為零時的量。

衰減速率的測定

啊若這个衰減量是一个集合中的離散元素，會當計算元素留佇咧集合中的平均時間長度。這予人叫做是 _ 平均壽命 _（一般稱 _ 活命 _）。並且伊會當予證明佮衰減速率有關係。

$ \ tau={ \ frac { 一 } { \ lambda } } . $

平均時間（抑是予人叫做指數時間常數）由此予人看做一个簡單的 _ 縮囥時間 _：

$ N ( t )=N _ { 零 } e ^ {-t / \ tau } . \ , $

因而，這是量減少到初初的一 / e 伊需要的時間。

類似的，下底所講的以二為底的指數縮放時間為 _ 半衰期 _

對多數人來講閣較直觀的一个典型指數衰減是當量減少為初初初量的一半所需要的時間。這个時間予人叫做是 _ 半衰期 _，表示講 $ t _ { 空七五 } $。半衰期會使被寫作衰減常數或者是平均壽命的形式：

$ t _ { 空七五 }={ \ frac { \ ln 二 } { \ lambda } }=\ tau \ ln 二 . $

代入 $ \ tau $

$ N ( t )=N _ { 零 } 二 ^ {-t / t _ { 空七五 } } . \ , $

平均壽命 $ \ tau $ 等於半衰期除以 ln 二，抑是：

$ $ \ tau={ \ frac { t _ { 空七五 } } { ln 二 } } \ approx t _ { 空七五 } \ cdot 一四四二六九五空四空八八八九六三 \ cdots $ $