掛德金分割

掛德金分割是數學中對全序細的操作。對於予定的全序集 $ A $ 佮其中某一个元素 $ x $ 來講，將 $ A $ 分拆做兩个非空集合，予兩項其一中所有的元素（照順序）攏佇咧 $ x $ 進前、另外一个真集中所有的元素攏佇咧 $ x $ 了後。

捷看著的是對全體有理數的操作，即 $ A=\ mathbb { Q } $。對有理數 $ x $，共有理數集合分拆做兩个非空集合 $ A $ 和 $ A'$，若是 $ A $ 和 $ A'$ 滿足的條件：

一 . $ \ forall a \ in \ mathbb { Q } $，關係式 $ a \ in A $ 和 $ a \ in A'$ 必有而且只有一个成立。二 . $ \ forall a \ in A $，$ \ forall a'\ in A'$，必有 $ a < a'$，並且 $ a \ leq x $ 和 $ x \ leq a'$ 兩者佇咧無仝時號等號時均成立。

稱按呢的分拆做有理數的一个戴德金分割，記為 $ A | A'$。其中集合 $ A $ 講做戴德金分割的落組，集合矣 $ A'$ 講做戴德金分割的上組。

分類

根據戴德金分割中 $ A $ 和 $ A'$ 有上大的無、最小數，會當共戴德金分割分做三種類型：

一 . $ A $ 中有上大數，$ A'$ 中無上小數二 . $ A $ 中不最大數，$ A'$ 中有上小數三 . $ A $ 中不最大數，$ A'$ 中國上小數會當證明，「 $ A $ 中有上大數，$ A'$ 中有上小數」的情況並無存在。證明如下：

若是 $ A $ 有上大數 $ a $，$ A'$ 有上小數 $ b $，是根據分割的定義會當知影 $ a < b $。猶毋過 $ ( a + b ) / 二 $ 顯然嘛是有理數，並且 $ a < ( a + b ) / 二 < b $，所以 $ ( a + b ) / 二 $ 也無佇咧 $ A $ 中，嘛無佇咧 $ A'$ 中，這就與 $ A \ cup A'$ 是全體有理數矛盾。

第三種情況公示矣佇咧有理數域內底存在按呢的一種「空縫」（$ A $ 和 $ A'$ 之間的界數），這乎「空縫」所對應的數既不屬於 $ A $，嘛無屬於 $ A'$，所以伊毋是有理，伊所對應的數就是無理數，自按呢講第三種情形的戴德金分割定義一个無理數。

做一个觀的理解，阮會當共頂頭三種分化分別看予好 $ (-\ infty , d ] \ cup ( d , + \ infty ) $、$ (-\ infty , d ) \ cup [d , + \ infty ) $ 和 $ (-\ infty , d ) \ cup ( d , + \ infty ) $，而且「$ A $ 中有上大數、$ A'$ 中有上小數」的狀況就是講 $ (-\ infty , d] \ cap [ d , + \ infty ) $，中央的分割點 d 同時（無合法的）屬於兩爿的集合。

例

一 . 共所有的所有比零的較濟分做集合 $ A $，共所有的有理數（強欲無去的有理數）劃做集合 $ A'$，著 $ A | A'$ 是一个戴德金分割，並屬於上述分類中的頭一種情形。二 . 共所有比零的有理數劃分做集合 $ A $，共所有的有理數（即大於抑是等於零的有理數）劃做集合 $ A'$，著 $ A | A'$ 是一个戴德金分割，並屬於上述分類中的第二種情形。三 . 將所有小於抑是等於零、其平方小於或者是等於三的正有理數（即滿足 $ \ forall a \ in \ mathbb { Q } , a \ leq 零 , a ^ { 二 } \ leq 三 $ 的數）劃分著集合 $ A $，共下跤的有理數（即其平方大於三的正有理數）劃分著集合 $ A'$，著 $ A | A'$ 是一个戴德金分割，並屬於上述分類中的第三種情形，現此時戴德金分割 $ A | A'$ 定義矣無理數 $ { \ sqrt [{ }] { 三 } } $。

定義大細

準講無理數 $ \ alpha $ 由分劃 $ A | A'$ 所確定講，沒有理數 $ \ beta $ 由分劃 $ B | B'$ 所確定講，則一 . 若集合 $ A=B $ 抑是 $ A'=B'$，講無理數 $ \ alpha $ 佮 $ \ beta $ 相仝，記為 $ \ alpha=\ beta $。二 . 若集合 $ A \ supset B $（$ A \ neq B $），講無理數 $ \ alpha $ 大於 $ \ beta $，記為 $ \ alpha > \ beta $。

沒有理數小於（$ < $）的概念會當由大於（$ > $）的概念定義，即 $ \ beta < \ alpha $ 若是唯一 $ \ alpha > \ beta $。遮爾仔得著實數系的大小關係，其實性質有：

一 . 任意實數 $ \ alpha , \ beta $，必有而且干焦下列關係式之一成立：$ \ alpha=\ beta , \ alpha > \ beta , \ alpha < \ beta $。二 . 遞移性：若實數 $ \ alpha > \ beta , \ beta > \ gamma $，著 $ \ alpha > \ gamma $。對於小於（$ < $）的情形，遞移性仝款成立。

所以這个大細關係是全序關係。

參閱

沒有理數
實數的構造

參考文獻

菲赫金哥爾茨；楊舒亮譯；葉彥謙譯；郭思旭校。微抹著分辨教程（第一卷）頭八版。高等教育出版社 . : 五–六 . ISBN 五鋪九千兩百二十一孵四百三十六刣五 .