有界輸入有界輸出穩定性

佇訊號處理佮控制理論內底，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO 穩定性，是一種針對有輸入訊號線性系統的穩定性。BIBO 是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有 BIBO 穩定性，則針對每一个有界的輸入，系統的輸出嘛攏會有界，袂發散甲無限大。

對訊號若有限的定值 $ B > 零 $ 予訊號的振幅袂超過 $ B $，是這个訊號做界的，也就是講

$ \ | y [n] | \ leq B \ quad \ forall n \ in \ mathbb { Z } $ 針對離散訊號，抑是

$ \ | y ( t ) | \ leq B \ quad \ forall t \ in \ mathbb { R } $ 針對連續訊號

線性非常時變系統時域分析下的條件

共系統連做伙的充份佮必要的條件

針對連紲時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO 穩定性的條件是脈波響應需為絕對會當積分，也就是存在 L 一範數

$ $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h ( t ) \ right | \ , { \ mathord { \ operatorname { d } } } t }=\ | h \ | _ { 一 } < \ infty $ $

離散系統的充份條件

針對離散時間的線性非時變系統，BIBO 穩定性的條件是脈波響應需為絕對會當積分，也就是存在 L 一範數

$ \ \ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n] \ right | }=\ | h \ | _ { 一 } < \ infty $

充份條件的證明

假使離散時間的線性非時變系統，其脈波響應 $ \ h [n] $ 佮輸入 $ \ x [n] $ 佮輸出 $ \ y [n] $ 之間會有以下的關係：

$ \ y [n]=h [n] * x [n] $

其中 $ * $ 為卷積是依卷積的定義：

$ \ y [n]=\ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { h [k] x [n-k] } $

令 $ \ | x \ | _ { \ infty } $ 為 $ \ | x [n] | $ 的上大值

$ \ left | y [n] \ right |=\ left | \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { h [n-k] x [k] } \ right | $

: $ \ leq \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n-k] \ right | \ left | x [k] \ right | } $（根據三角不等式）

: $ \ leq \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n-k] \ right | \ | x \ | _ { \ infty } } $

: $=\ | x \ | _ { \ infty } \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n-k] \ right | } $

: $=\ | x \ | _ { \ infty } \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [k] \ right | } $

若是 $ h [n] $ 是絕對可求和，著 $ \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [k] \ right | }=\ | h \ | _ { 一 } < \ infty $ 而且

$ \ | x \ | _ { \ infty } \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [k] \ right | }=\ | x \ | _ { \ infty } \ | h \ | _ { 一 } $

因此若是 $ h [n] $ 是絕對可求和，而且 $ \ left | x [n] \ right | $ 有界，著因為 $ \ | x \ | _ { \ infty } \ | h \ | _ { 一 } < \ infty $，$ \ left | y [n] \ right | $ 嘛會有界。

連紲時間的情形嘛會當依類似的方式證明。

線性非常時變系統頻域分析下的條件

連紲時間訊號

對一个有理的連紲時間系統，有穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統是因果系統，其實收斂的區域為著「上大極的」（實部為上大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂的區域的極點實部號做收斂橫坐標。所以，若欲有 BIBO 穩定性，系統的所有的極點攏需要佇 S 平面的嚴格左半平面（袂當佇虛華上）。

會當共時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

$ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h ( t ) \ right | \ , \ operatorname { d } t } $

: $=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h ( t ) \ right | \ left | e ^ {-j \ omega t } \ right | dt } $

: $=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h ( t ) ( 一 \ cdot e ) ^ {-j \ omega t } \ right | dt } $

: $=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h ( t ) ( e ^ { \ sigma + j \ omega } ) ^ {-t } \ right | dt } $

: $=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h ( t ) e ^ {-st } \ right | dt } $

其中 $ s=\ sigma + j \ omega $，而且 $ { \ mbox { Re } } ( s )=\ sigma=零 $ .

因此收斂區域著愛包括虛華。

離散時間訊號

對一个有理的離散時間系統，穩定性的條件是 Z 轉換的收斂區域包括單位圓。若系統是因果系統，其收斂的區域為極點絕對值中上大值為半徑的圓周以外的開集，所以，若欲有 BIBO 穩定性，系統的所有的極點攏需要佇 Z 平面的單位圓內（袂當佇咧單位圓頂懸）。

會當用類似的方式來推導穩定性準：

$ \ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n] \ right | }=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n] \ right | \ left | e ^ {-j \ omega n } \ right | } $

: $=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n] ( 一 \ cdot e ) ^ {-j \ omega n } \ right | } $

: $=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n] ( re ^ { j \ omega } ) ^ {-n } \ right | } $

: $=\ sum _ { n=-\ infty } ^ { \ infty } { \ left | h [n] z ^ {-n } \ right | } $

其中 $ z=re ^ { j \ omega } $，而且 $ r=| z |=一 $

因此收斂區域著愛包括單位圓。

延伸閱讀