朗伯仔W函數
朗伯仔 W 函數（英語：Lambert W function，閣叫做歐米加函數抑是乘積對數）， 是 _ f _ ( _ w _ ) = _ we _ w 的反函數，其中 _ e _ w 是指數函數，_ w _ 是任意複數。對任何的複數 _ z _，攏有：
- $ z=W ( z ) e ^ { W ( z ) } . $
因為函數 _ f _ 毋是干焦射，就按呢函數 _ W _ 是偌值的（除了零以外）。 若是咱共 _ x _ 限制為實數，並要求 _ w _ 是實數，遐爾函數干焦對著 _ x _ ≥ − 一 / _ e _ 有定義，佇咧 ( − 一 / _ e _ , 零 ) 內底是偌值的；若閣加上 _ w _ ≥ − 一的限制，則定義一个單值函數 _ W _ 零 ( _ x _ )（見圖）。 阮有 _ W _ 零 ( 零 )=零，_ W _ 零 ( − 一 / _ e _ )=− 一。啊若佇咧 [ − 一 / _ e _ , 零 ) 內的 _ w _ ≤ − 一分支，著愛記做是 _ W _ − 一 ( _ x _ )，對 _ W _ − 一 ( − 一 / _ e _ )=− 一遞減為 _ W _ − 一 ( 零 − )=−∞。
朗伯仔 _ W _ 函數袂當用初等函數來表示。伊佇組合數學中有真濟用途，比如講樹仔的計算。伊會當用來解濟濟有指數的方式，嘛出現佇某一寡微分方程的解中，比如講 _ y'_ ( _ t _ )=_ a _ _ y _ ( _ t _ − 一 )。
微分佮積分
朗伯仔 $ W \ , $ 函數的積分形式做
- $ W ( x )={ \ frac { x } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ pi } { \ frac { \ left ( 一-v \ cot v \ right ) ^ { 二 } + v ^ { 二 } } { x + v \ csc v \ cdot e ^ {-v \ cot v } } } { \ rm { d } } v , | \ arg \ left ( x \ right ) | < \ pi \ , $
- $ W ( x )=\ int _ {-\ infty } ^ {-{ \ frac { 一 } { e } } } {-{ \ frac { 一 } { \ pi } } } \ Im \ left [{ \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } x } } W ( x ) \ right] \ ln \ left ( 一-{ \ frac { z } { x } } \ right ) { \ rm { d } } x \ , $
若是 $ x \ not \ in \ left [-{ \ frac { 一 } { e } } , 零 \ right ] , k \ in { \ mathbb { Z } } \ , $ , 若是 $ x \ in \ left (-{ \ frac { 一 } { e } } , 零 \ right ) , k=一 , \ pm 二 , \ pm 三 , . . . \ , $
- $ W _ { k } ( x )=一 + \ left ( \ ln x 影一 + 二 k \ pi { \ rm { i } } \ right ) e ^ { { \ frac { \ rm { i } } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { t-\ ln t + \ ln x + ( 二 k + 一 ) \ pi { \ rm { i } } } { t-\ ln t + \ ln x + ( 二 k 影一 ) \ pi { \ rm { i } } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } }=一 + \ left ( \ ln x 影一 + 二 k \ pi { \ rm { i } } \ right ) e ^ { { \ frac { \ rm { i } } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 四 k ^ { 二 } 影一 \ right ) \ pi ^ { 二 } + 二 \ pi \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) { \ rm { i } } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } } \ , $
共被積函數的實部佮虛部份離出來：
- $ W _ { k } ( x )=一 + \ left ( \ ln x 影一 + 二 k \ pi { \ rm { i } } \ right ) e ^ { { \ frac { \ rm { i } } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ left [{ \ frac { 一 } { 二 } } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } + { \ rm { i } } \ arctan { \ frac { 二 \ pi \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 四 k ^ { 二 } 影一 \ right ) \ pi ^ { 二 } } } \ right] \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } } $
- $ { } _ { W _ { k } ( x )=一 + { \ frac { \ left ( \ ln x 影一 \ right ) \ cos { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } 鋪二 k \ pi \ sin { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } + { \ rm { i } } \ left [\ left ( \ ln x 影一 \ right ) \ sin { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } + 二 k \ pi \ cos { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } \ right] } { e ^ { { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ arctan { \ frac { 二 \ pi \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 四 k ^ { 二 } 影一 \ right ) \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { \ rm { { d } t } } { t + 一 } } } } } } $
設 $ W _ { k } ( x )=u + v { \ rm { i } } , x=t + s { \ rm { i } } $，則有 $ \ left ( u + v { \ rm { i } } \ right ) e ^ { u + v { \ rm { i } } }=t + s { \ rm { i } } $，展開分離出實部佮虛部，
$ $ e ^ { u } \ left ( u \ cos v-v \ sin v \ right )=t , e ^ { u } \ left ( u \ sin v + v \ cos v \ right )=s $ , 當 $ s=零 $ 時，好知 $ u=-v \ cot v $ $
- $ { } _ { W _ { k } ( x )={ \ frac { \ left ( 一-\ ln x \ right ) \ sin { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } 鋪二 k \ pi \ cos { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } } { e ^ { { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ arctan { \ frac { 二 \ pi \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 四 k ^ { 二 } 影一 \ right ) \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { \ rm { { d } t } } { t + 一 } } } } } \ cot { \ frac { \ left ( \ ln x 影一 \ right ) \ sin { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } + 二 k \ pi \ cos { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } } { e ^ { { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ arctan { \ frac { 二 \ pi \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 四 k ^ { 二 } 影一 \ right ) \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { \ rm { { d } t } } { t + 一 } } } } } + { \ frac { \ left ( \ ln x 影一 \ right ) \ sin { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } + 二 k \ pi \ cos { \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ln { \ frac { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k + 一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } { \ left ( t-\ ln t +\ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 二 k 影一 \ right ) ^ { 二 } \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { { \ rm { d } } t } { t + 一 } } } { e ^ { { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ arctan { \ frac { 二 \ pi \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) } { \ left ( t-\ ln t + \ ln x \ right ) ^ { 二 } + \ left ( 四 k ^ { 二 } 影一 \ right ) \ pi ^ { 二 } } } \ cdot { \ frac { \ rm { { d } t } } { t + 一 } } } } } { \ rm { i } } , } $
- $ W _ { 零 } ( x )=一 + \ left ( \ ln x 影一 \ right ) e ^ {-{ \ frac { 一 } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ arg \ left ( t-\ ln t + \ ln x + \ pi { \ rm { i } } \ right ) \ cdot { \ frac { \ rm { { d } t } } { t + 一 } } } , x > 零 $
若是 $ x > { \ frac { 一 } { e } } $，上式猶閣會當替 $ W _ { 零 } ( x )=一 + \ left ( \ ln x 影一 \ right ) e ^ {-{ \ frac { 一 } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ arctan { \ frac { \ pi } { t-\ ln t + \ ln x } } \ cdot { \ frac { \ rm { { d } t } } { t + 一 } } } $
由函數的求導法則，朗伯仔 $ W \ , $ 函數滿足以下的微分方程：
- $ z \ left [一 + W ( z ) \ right] { \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } z } } W ( z )=W ( z ) $，$ z \ neq-{ \ frac { 一 } { e } } \ , , $
所以：
- $ { \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } z } } W ( z )={ \ frac { W ( z ) } { z \ left [一 + W ( z ) \ right] } } $，$ z \ neq-{ \ frac { 一 } { e } } \ , . $
函數 $ W ( x ) \ , $，以及真濟含有 $ W ( x ) \ , $ 的表達式，攏會當用 $ w=W ( x ) \ , $ 的變量代換來積分，也就是講 $ x=we ^ { w } \ , $
- $ \ int W ( x ) { \ rm { d } } x=x \ left [W ( x ) + { \ frac { 一 } { W ( x ) } } 影一 \ right] + C $
- $ \ int _ { 零 } ^ { 一 } W ( x ) { \ rm { d } } x=\ Omega + { \ frac { 一 } { \ Omega } } 鋪二 \ approx 空九三三空三六六 $
其中 $ \ Omega $ 共歐米加常數。
性質
$ 一 \ , $、$ z ^ { z ^ { z ^ { z ^ { z ^ { . ^ { . ^ { . } } } } } } }=\ lim _ { n \ to \ infty } ( z \ upuparrows n )=-{ \ frac { W (-\ ln z ) } { \ ln z } } $，
其中 $ \ upuparrows $ 是高德納箭號表示法。
$ $ 二 \ , $、若是 $ z > 零 \ , $，著 $ \ ln W ( z )=\ ln z-W ( z ) \ , $ $
泰勒級數
$ W _ { 零 } \ , $ 佇咧 $ x=零 \ , $ 的泰勒級數如下：
- $ W _ { 零 } ( x )=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { (-n ) ^ { n 影一 } } { n ! } } \ x ^ { n }=x-x ^ { 二 } + { \ frac { 三 } { 二 } } x ^ { 三 }-{ \ frac { 八 } { 三 } } x ^ { 四 } + { \ frac { 一百二五 } { 二十四 } } x ^ { 五 }-\ cdots $
收斂半徑做 $ { \ frac { 一 } { e } } \ , $。
加法定理
- $ W ( x ) + W ( y )=W \ left [{ \ frac { xy } { W ( x ) } } + { \ frac { xy } { W ( y ) } } \ right] \ , $
- $ x > 零 , y > 零 \ , $
複數值
實部
- $ \ Re \ left [W ( x + y { \ rm { i } } ) \ right]=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { (-k ) ^ { k 影一 } } { k ! } } { \ sqrt { ( x ^ { 二 } + y ^ { 二 } ) ^ { k } } } \ cos \ left ( k \ arctan { \ frac { x } { y } } \ right ) \ , $ , $ x ^ { 二 } + y ^ { 二 } < { \ frac { 一 } { e ^ { 二 } } } \ , $
虛部
- $ \ Im \ left [W ( x + y { \ rm { i } } ) \ right]=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { (-k ) ^ { k 影一 } } { k ! } } { \ sqrt { ( x ^ { 二 } + y ^ { 二 } ) ^ { k } } } \ sin \ left ( k \ arctan { \ frac { x } { y } } \ right ) \ , $ , $ x ^ { 二 } + y ^ { 二 } < { \ frac { 一 } { e ^ { 二 } } } \ , $
模長
- $ | W ( x + y { \ rm { i } } ) |=W ( { \ sqrt { x + y } } ) \ , $
模角
- $ \ arg \ left [W ( x + y { \ rm { i } } ) \ right]=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { (-k ) ^ { k 影一 } } { k ! } } \ arctan \ left [\ cot ( k \ arctan { \ frac { x } { y } } ) \ right] \ , $ , $ x ^ { 二 } + y ^ { 二 } < { \ frac { 一 } { e ^ { 二 } } } \ , $
共車值
- $ { \ overline { W ( x + y { \ rm { i } } ) } }=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { (-k ) ^ { k 影一 } } { k ! } } { \ sqrt { ( x ^ { 二 } + y ^ { 二 } ) ^ { k } } } \ left [\ cos \ left ( k \ arctan { \ frac { x } { y } } \ right )-{ \ rm { i } } \ sin \ left ( k \ arctan { \ frac { x } { y } } \ right ) \ right] \ , $ , $ x ^ { 二 } + y ^ { 二 } < { \ frac { 一 } { e ^ { 二 } } } \ , $
特殊值
- $ W \ left (-{ \ frac { \ pi } { 二 } } \ right )={ \ frac { \ pi } { 二 } } i $
- $ W \ left (-{ \ frac { \ ln 二 } { 二 } } \ right )=-\ ln 二 $
- $ W \ left (-{ 一 \ over e } \ right )=影一 $
- $ W \ left ( 一 \ right )=\ Omega={ \ frac { 一 } { \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } { \ frac { { \ rm { d } } x } { ( e ^ { x }-x ) ^ { 二 } + \ pi ^ { 二 } } } } } 影一 \ approx 空九五六七一四三二九 \ dots \ , $（歐米加常數）
- $ W ( e )=一 \ , $
- $ W ( e ^ { e + 一 } )=e \ , $
- $ W \ left ( { \ frac { 一 } { e ^ { 一-{ \ frac { 一 } { e } } } } } \ right )={ \ frac { 一 } { e } } $
- $ W (-{ \ frac { 一 } { e } } )=影一 $
- $ W ( { \ pi } e ^ { \ pi } )=\ pi $
- $ W ( k { \ ln k } )={ \ ln k } $ $ ( k > 零 ) $
- $ W ( { \ rm { i } } \ pi )=-{ \ rm { i } } \ pi $
- $ W (-{ \ rm { i } } \ pi )={ \ rm { i } } \ pi $
- $ W ( { \ rm { i } } \ cos 一-\ sin 一 )={ \ rm { i } } $
- $ W (-{ \ frac { 三 } { 二 } } { \ pi } )=-{ \ frac { 三 } { 二 } } { \ pi } { \ rm { i } } $
- $ W (-{ \ frac { \ sqrt [{ 七 }] { 八 } } { 七 } } { \ ln 二 } )=-{ \ frac { 三十二 } { 七 } } { \ ln 二 } $
- $ W (-{ \ frac { \ sqrt { 三 } } { 五十四 } } { \ ln 三 } )=-{ \ frac { 九 } { 二 } } { \ ln 三 } $
- $ W (-{ \ frac { \ ln 二 } { 四 } } )=扳四 { \ ln 二 } $
- $ W \ left ( 影一 \ right )={ \ frac { e ^ { { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { 一 \ over t + 一 } \ arctan { 二 \ pi \ over t-\ ln t } { \ rm { d } } t }-\ cos \ left [{ \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { 一 \ over t + 一 } \ ln { \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } \ over 四 \ pi ^ { 二 } + \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } } { \ rm { d } } t \ right] + \ pi \ sin \ left [{ \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { 一 \ over t + 一 } \ ln { \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } \ over 四 \ pi ^ { 二 } + \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } } { \ rm { d } } t \ right]-{ \ rm { i } } \ left \ { \ pi \ cos \ left [{ \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { 一 \ over t + 一 } \ ln { \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } \ over 四 \ pi ^ { 二 } + \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } } { \ rm { d } } t \ right] + \ sin \ left [{ \ frac { 一 } { 四 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { 一 \ over t + 一 } \ ln { \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } \ over 四 \ pi ^ { 二 } + \ left ( t-\ ln t \ right ) ^ { 二 } } { \ rm { d } } t \ right] \ right \ } } { e ^ { { \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { 一 \ over t + 一 } \ arctan { 二 \ pi \ over t-\ ln t } { \ rm { d } } t } } } \ approx 鋪空七三一八一三鋪一三三七二三 { \ rm { i } } $
- $ W (-{ \ frac { \ ln k } { k } } )=-\ ln k $
- $ W \ left [-{ \ frac { \ ln ( x + 一 ) } { x ( x + 一 ) ^ { \ frac { 一 } { x } } } } \ right ]=-{ \ frac { x + 一 } { x } } \ ln ( x + 一 ) > , 影一 < x < 零 $
應用
真濟有指數的方程攏會當用 $ W \ , $ 函數來解出。一般的方法是共無知數攏徙去方程的一爿，並設法化做 $ Y=Xe ^ { X } \ , $ 彼个形體。
例
例一
- $ 二 ^ { t }=五 t \ , $
- $ \ Rightarrow 一={ \ frac { 五 t } { 二 ^ { t } } } \ , $
- $ \ Rightarrow 一=五 t \ , e ^ {-t \ ln 二 } \ , $
- $ \ Rightarrow { \ frac { 一 } { 五 } }=t \ , e ^ {-t \ ln 二 } \ , $
- $ \ Rightarrow-{ \ frac { \ ln 二 } { 五 } }=(-\ , t \ , \ ln 二 ) \ , e ^ {-t \ ln 二 } \ , $
- $ \ Rightarrow-t \ ln 二=W _ { k } \ left (-{ \ frac { \ ln 二 } { 五 } } \ right ) \ , $
- $ \ Rightarrow t=-{ \ frac { W _ { k } \ left (-{ \ frac { \ ln 二 } { 五 } } \ right ) } { \ ln 二 } } \ , $
閣較一般，以下的方程
- $ Q ^ { ax + b }=cx + d \ , $
其中
- $ Q > 零 \ land Q \ neq 一 \ land c \ neq 零 $
兩爿同乘 : $ { \ frac { a } { c } } $，
得著：$ { \ frac { a } { c } } Q ^ { ax + b }=ax + { \ frac {ad } { c } } \ , $
同除以：$ Q ^ { ax } \ , $，
得著：$ { \ frac { a } { c } } Q ^ { b }=\ left ( ax + { \ frac { ad } { c } } \ right ) Q ^ {-ax } \ , $
同除：$ Q ^ { \ frac { ad } { c } } \ , $，
$ $ { \ frac { a } { c } } Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } }=\ left ( ax + { \ frac { ad } { c } } \ right ) Q ^ {-\ left ( ax + { \ frac { ad } { c } } \ right ) } \ , $ $
會使用變量代換令 $ t=ax + { \ frac { ad } { c } } $
化為
- $ tQ ^ {-t }={ \ frac { a } { c } } Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } $
即：$ t \ left ( e ^ { \ ln Q } \ right ) ^ {-t }={ \ frac { a } { c } } Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } $
同乘：$ { \ ln Q } \ , $
會出得
- $ t { \ ln Q } \ cdot e ^ {-t \ ln Q }={ \ ln Q } \ cdot { \ frac { a } { c } } Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } $
故 $ t { \ ln Q }=-W _ { k } \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) $
帶入 $ t=ax + { \ frac { ad } { c } } $
為
- $ \ left ( ax + { \ frac { ad } { c } } \ right ) { \ ln Q }=-W _ { k } \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) $
所以終其尾的解為
- $ x=-{ \ frac { W _ { k } \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) } { a \ ln Q } }-{ \ frac { d } { c } } $
若輔助方頭：$ xe ^ { x }=-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } $ 中，
- $-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ in \ left (-\ infty ,-{ \ frac { 一 } { e } } \ right ) $ ,
輔助方程無實數解，原方程也無實解；
若是：$-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ in \ left \ {-{ \ frac { 一 } { e } } \ right \ } \ cup \ mathbf { [ } 零 , + \ infty ) $ ,
輔助方程有一實數解，原方程有一實解：
- $ x=-{ \ frac { W _ { k } \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) } { a \ ln Q } }-{ \ frac { d } { c } } $
若是 : $-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ in \ left (-{ \ frac { 一 } { e } } , 零 \ right ) $ ,
輔助方程有二實解，設為 $ W \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) $，
$ { \ rm { W } } _ { 影一 } \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) $，
為
$ $ x _ { 一 }=-{ \ frac { W \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) } { a \ ln Q } }-{ \ frac { d } { c } } $ $
$ $ x _ { 二 }=-{ \ frac { { \ rm { W } } _ { 影一 } \ left (-{ \ frac { a \ ln Q } { c } } \ , Q ^ { b-{ \ frac { ad } { c } } } \ right ) } { a \ ln Q } }-{ \ frac { d } { c } } $ $
比例二
用類似的方法，會當知影講下跤程的
- $ x ^ { x }={ \ mathrm { t } } \ , , $
為
- $ x={ \ frac { \ ln { \ rm { t } } } { W ( \ ln { \ rm { t } } ) } } \ , $
抑是
- $ x=\ exp \ left ( W _ { k } \ left [\ ln ( { \ rm { t } } ) \ right] \ right ) . $
例三
用下跤程的解
- $ x \ log _ { b } { x }=a \ , $
有形體
- $ x={ \ frac { a { \ ln b } } { W _ { k } \ left ( a { \ ln b } \ right ) } } $
例四
- $ x ^ { a }-b ^ { x }=零 \ , $
- $ a > 零 \ , $ : $ b > 零 \ , $ : $ x > 零 \ , $
號對數，
- $ a \ ln x=x \ ln b \ , $
- $ { \ frac { \ ln x } { x } }={ \ frac { \ ln b } { a } } \ , $
- $ e ^ { \ frac { \ ln x } { x } }=e ^ { \ frac { \ ln b } { a } } \ , $
- $ x ^ { \ frac { 一 } { x } }=b ^ { \ frac { 一 } { a } } \ , $
取倒數，
- $ \ left ( { \ frac { 一 } { x } } \ right ) ^ { \ frac { 一 } { x } }=b ^ {-{ \ frac { 一 } { a } } } \ , $
- $ { \ frac { 一 } { x } }=-{ \ frac { \ ln b } { aW \ left (-{ \ frac { 一 } { a } } \ ln b \ right ) } } \ , $
落尾手解為 : $ x=-{ \ frac { a } { \ ln b } } W _ { k } \ left (-{ \ frac { \ ln b } { a } } \ right ) \ , $
例五
- $ ( ax + b ) ^ { n }=u ^ { cx + d } \ , $
兩爿開 $ n \ , $ 次方並除以 $ a \ , $ 得
$ $ x + { \ frac { b } { a } }={ \ frac { u ^ { { \ frac { c } { n } } x + { \ frac { d } { n } } } } { a } } \ left ( \ cos { \ frac { 二 k \ pi } { n } } + { \ rm { i } } \ sin { \ frac { 二 k \ pi } { n } } \ right ) \ , $ $
令 $ u=e ^ { \ ln u } \ , $，
化為
$ $ x + { \ frac { b } { a } }={ \ frac { e ^ { { \ frac { c \ ln u } { n } } x + { \ frac { d \ ln u } { n } } } } { a } } \ left ( \ cos { \ frac { 二 k \ pi } { n } } + { \ rm { i } } \ sin { \ frac { 二 k \ pi } { n } } \ right ) \ , $ $
兩爿同乘
$-{ \ frac { c \ ln u } { n } } u ^ {-{ \ frac { c } { n } } x-{ \ frac { cb } { na } } } \ , $，
$ $ \ left (-{ \ frac { c \ ln u } { n } } x-{ \ frac { cb \ ln u } { na } } \ right ) e ^ {-{ \ frac { c \ ln u } { n } } x-{ \ frac { cb \ ln u } { na } } }=-{ \ frac { c \ ln u } { na } } u ^ { { \ frac { d } { n } }-{ \ frac { cb } { na } } } \ left ( \ cos { \ frac { 二 k \ pi } { n } } + { \ rm { i } } \ sin { \ frac { 二 k \ pi } { n } } \ right ) \ , $ $
終其尾著
$ $ x _ { k }=-{ \ frac { n } { c \ ln u } } W _ { k } \ left [-{ \ frac { c \ ln u } { na } } u ^ { { \ frac { d } { n } }-{ \ frac { cb } { na } } } \ left ( \ cos { \ frac { 二 k \ pi } { n } } + { \ rm { i } } \ sin { \ frac { 二 k \ pi } { n } } \ right ) \ right ]-{ \ frac { b } { a } } \ , $ $
$ $ k \ in { \ mathbb { Z } } \ , $ $
一般化
標準的 Lambert W 函數通用來表示以下超越代數方程式的解：
- $ e ^ {-cx }=a _ { o } ( x-r ) ~ ~ \ quad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad ( 一 ) $
其中 _ a _ 零 , _ c _ 佮 _ r _ 為實常數。
其實伊會當講 $ x=r + { \ tfrac { W \ left ( { \ frac { ce ^ {-cr } } { a _ { o } } } \ right ) } { c } } $
Lambert W 函數之一般化乎包括 :
- 一項佇低維空間內廣義相對論和量子力學的應用（量仔引力）， 實際上一種較早無知的連結佇這二區域中，如「Journal of Classical and Quantum Gravity」所示其 ( 一 ) 的正爿式現為二維多項式 x：
- $ e ^ {-cx }=a _ { o } ( x-r _ { 一 } ) ( x-r _ { 二 } ) ~ ~ \ qquad \ qquad ( 二 ) $
- 其中 _ r _ 一和 _ r _ 二是無仝款實常數，為著這个二維多項式的根。所以函數解出單一引數 _ x _ 猶毋過 _ r _ i 和 _ a _ o 共函數的參數。按呢喔一來，這一般式的類似「hypergeometric」（超幾何分布）函數佮「Meijer G「，但屬於無仝類函數。當 _ r _ 一=_ r _ 二，( 二 ) 的兩爿會分解做 ( 一 ) 所以解決簡化為標準 W 函數。( 二 ) 式的代表著「dilaton」（軸子）場的方程，按呢推捒線性，雙體重力問題一 + 一維（一空間維佮一時間維）做兩不等（靜止）質量，以及，量子力學的特徵能 Delta 位勢阱予不等電位佇維空間。
- 量子力學的一特例特徵能的分析解三體問題，亦即（三維）氫分子離子。所以 ( 一 )（抑是 ( 二 )）的正手爿這馬無限級數多項式之比 _ x _：
- $ e ^ {-cx }=a _ { o } { \ frac { \ prod _ { i=一 } ^ { \ infty } ( x-r _ { i } ) } { \ prod _ { i=一 } ^ { \ infty } ( x-s _ { i } ) } } \ qquad \ qquad \ qquad ( 三 ) $
- 其中 _ r _ i 佮 _ s _ i 是相異實常數 _ x _ 是特徵會佮內核距離 R 之函數。式 ( 三 ) 佮特例表示 ( 一 ) 和 ( 二 ) 是佮一更大類型延慢小分方面。因為哈代的「虛假導數」概念，多根的特殊情況得解決。
Lambert " W " 函數於基礎物理問題的應用並無完全就算標準的狀況如 ( 一 ) 最近佇原子，分子，佮光學物理領域可見。
圖象
- 朗伯仔 W 函數咧複平面的圖像
- * * *
計算
_ W _ 函數會當用下的遞推關係算出：
- $ w _ { j + 一 }=w _ { j }-{ \ frac { w _ { j } e ^ { w _ { j } }-z } { e ^ { w _ { j } } ( w _ { j } + 一 )-{ \ frac { ( w _ { j } + 二 ) ( w _ { j } e ^ { w _ { j } }-z ) } { 二 w _ { j } + 二 } } } } $
參考來源
外部連結
- MathWorld