朗蘭茲領
朗蘭茲領（Langlands program）是數學中一系列影響深遠的構想，聯繫數論、代數幾何佮約化群表示理論；綱領上頭仔是由羅伯特 ・ 朗蘭茲於一九六七年佇一封予韋伊的批內底提出。朗蘭茲領予人廣泛視做現代數學研究中上大的單項目，予愛德華 ・ 鋪倫克爾描述是「數學的一種大統一理論」。
起源：數論
咱會當二次互反律之推廣阿廷互反律為朗蘭茲領之起點：予定一个Q上的、伽羅瓦群為著會當交換群的數域，阿廷互反律向這个伽羅瓦群的任何一支一維表示配著一跤 L 函數，並斷言：此等 L-函數俱等於某寡狄利克雷 L 函數（黎曼 ζ 函數的類推，由狄利克雷特徵表達）。 這兩種 L-函數之間的準確的聯絡構變成阿廷互相反律。
若予定袂當交換伽羅瓦群和其高維表示，阮猶會當定義一寡自然的相配的 L-函數—— 廷廷 L 函數。
推廣：自守表示理論架構
朗蘭茲洞就察著：當揣著適當的狄利克雷 L-函數的推廣，便有可能推廣阿廷互反律。
赫克（_ Erich Hecke _）捌聯絡全純自守形式（定義佇頂懸複平面上、滿足某一寡函數方程的攏純函數）佮狄利克雷 L 函數。朗蘭茲推廣赫克理論，以應用自守尖點表示（自守尖點表示是Q-阿代爾環上一般線性群 GLn 的某類無限維持無可約表示）。
朗蘭茲為遮的 _ 自守表示 _ 配上 _ L-函數 _，然後猜想：
- 互反猜想 .每一來自給定數域的伽羅瓦群的有限維表示的阿廷 L-函數，攏相等於某一來自守尖點表示的 L-函數。
若欲一个建立一个對應，需要考慮較伽羅瓦群的適當擴張，叫做韋依-德利劍群。佇咧會當交換的例，這相當於將狄利克雷特徵推廣為赫克特徵（德文舊名 _ Größencharakter _）。 互反猜想講阿廷有猜想講。
閣來推廣：函子性原則
朗蘭茲閣進一步來推廣：
- 以任何連通約化群 _ G _ 代替上文中的一般線性 GLn；
- 構築複李群 L _ G _（所謂朗蘭茲對偶群，抑是L 群）；
- 以自守表示的L 包代替自守表示；彼每一个 L 包家己自守表示組成的有限集，屬仝一 L 包的表示講號做L 莫看的。
- 向每一个 _ G _ 的自守尖點表示佮每一个 L _ G _ 的有限維表示喔，配佮一个 L-函數；仝一 L 包中的表示有仝款的 L-函數佮 $ \ epsilon $-因為。朗蘭茲並猜想：此兩個 L-函數滿足某函數方程。
朗蘭茲更構想欲足廣的函子性原則（Functoriality Principle）：
- 函子性猜想 .若指定二約化群，並無定其相應的 L 群之間的可容允同態，是二約化群的自守表示中間應該有某種佮其 L-函數相容的關係。
函子性猜想蘊含廣義拉馬努金猜想。
函子性構想本質上是一種唌導表示構造（佇傳統的自守形式理論內底講做提升，佇某一寡特殊情形下已經知）， 因為是協變的（反倒轉來，受限表示構造是顛倒反的）。 各種直接構造的試驗干焦產生一寡條件性的結果。
頂頭拍結想亦有其他域上的版本：數字（上早期的版本）、 局的部域佮函數域（即Fp ( _ t _ ) 的有限擴張；其中 _ p _ 是一素數，Fp ( _ t _ ) 是 _ p _ 元有限域上的有理函數域）。 局部域的佮數域的朗蘭茲領滿足一寡相容性，二者之方法亦互為用。
朗蘭茲領的指導思想
朗蘭茲領綱領建佇彼陣已經存在的念頭：起范德進前幾冬寫的《尖點形式之啟示》（_ The Philosophy of Cusp Forms _）； 哈瑞希 ・ 昌得搝（_ Harish-Chandra _）研究半單李群的結果佮方法；啊若技術上有塞爾伯仔等等的塞爾伯仔格跡公式。
朗蘭茲的創見，除技術以外，佇伊提出上述理論佮數論的直接聯絡，猶閣有其構想中豐富的總體結構（即所謂函子性者嘛）。
譬如講佇哈瑞希 ・ 昌得拉的工作中，咱會當下原則：
- _「任何對某一半單（抑是約化）李群可能做的，應對所有攏做。」_
故一旦認清一寡低維李群—如 GL 二—佇模形式理論之角色，閣反觀 GL 一个類域論之角色，咱至少會當推測一般 GLn 的狀況。
_ 尖點形式 _ 之念頭來自模曲線頂的尖點，佇譜理論上對應該離散譜；對比之下連紲譜是來自艾森斯坦級數。但是予定的李群愈大，則拋物子群愈濟，技術上是愈複雜。
在此等研究途徑中無欠各種技巧—— 通常是因為列維分解等等事實、有唌表示的性質—— 但是這个所在一直攏足困難。
佇模形式方面，亦有比如講希爾伯特模形式、西格爾模形式佮 theta-級數等等面向。
內看現象
內看（英語：_ Endoscopy _）意思「佇咧一般共車內底看著穩定共擔」；共擔意謂群的共擔作用 $ x \ mapsto gxg ^ { 影一 } $；穩定共擔是講會當號 $ g \ in G ( { \ bar { F } } ) $；穩定共擔類會當分做是有限的一般共擔類。穩定共擔加車一般共車幫忙做伙講的 L-袂當辨性。
亞瑟-窒爾伯仔跡公式是處理函子性猜想佮志村疊的哈瑟-韋他 ζ 函數之利器。佇技術頂懸，阮需要一穩定影跡公式，穩定化有賴於將 $ G $ 之一般鐵枝路積分表成內看群上的穩定軌道積分。內看理論旨佇配對群佮其內看群的軌道積分，這號做內看傳遞；其關鍵是所謂的基本引理。
內底看傳遞毋但是工具，嘛涵攝函子性猜想的一寡特例。
幾何化朗蘭茲綱領
數域上的朗蘭茲綱領會當翻譯到幾何的框殼，大略仔步驟如下：
一 . 以緊黎曼曲面 $ C $ 的亞純函數域取代數域二 . 以基本群取代伽羅瓦群三 . 以局部系統取代伽羅瓦表示四 . 以秩 _ n _ 向量密密的模空間 $ \ mathrm { Bun } _ { n / C } $ 取代 $ \ mathrm { GL } ( n , \ mathbb { Q } ) \ backslash \ mathrm { GL } ( n , \ mathbb { A } _ { \ mathbb { Q } } ) / K $ 五 . 用反常層取代自守形式六 . 以赫克本徵層取代赫克本徵形式
幾何化朗蘭茲綱領佮規範場論
二空空六年，愛德華 ・ 威脅佮 Anton Kapustin 建議喔：
- 以 D-模演繹赫克本徵層；
- 以磁單極演繹赫克算子。
外部連結
- Edward Frenkel , Recent Advances in the Langlands Program
- Edward Frenkel , Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory
- Anton Kapustin , Edward Witten , Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program
- Geometric Langlands Seminar
- Geometric Langlands Program
部份結果
部份朗蘭茲綱領的項目已經完成。
- GLn 就是關於講局內的部份：由 Michael Harris 和 Richard Taylor 合作完成；Henniart 亦導出了一比較簡短的證明。
- 關於著 GLn 就關於函數域的部份：一九九九年洛朗 ・ 拉福格證明之 [一] Archive . is 的存檔，存檔日期兩千空一十二孵十二由五。
獎項
洛朗 ・ 搝福格憑其佇函數域的工課得著二空空二年菲爾茲獎。拉福格的工課延續較早的德林費爾德得菲爾茲獎（一千九百九十）的研究。數域方面干焦一寡特例予人證明去，有的是朗蘭茲家己完成的。皮特 ・ 四序策嘛因為佇咧「動機理論」佮朗蘭茲綱領這兩个代數幾何學的大方向頂頭有傑出貢獻啊若二空一八年得著菲爾茲獎。
參考
- Corvallis Proceedings ( 一千九百七十九 ) A . Borel , W . Casselman（編輯）, AMS , ISBN 空九八千二百一十八分三千三百七十一孵二（佇網路頂懸，免錢）
- Stephen Gelbart : _ An Elementary Introduction to the Langlands Program _ , Bulletin of the AMS v . 十 no . 二 April 一千九百八十四 .
- J . Arthur：The Principle of Functoriality ; pp . 三十九石五十三 , No . 一 , Volume 四十 , Bulletin of the AMS ; October , 兩千空二 .
- Edward Frenkel : _ Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory _ , hep-th / 五十一孵兩千一百七十二
- J . Bernstein , S . Gelbart , _ An Introduction to the Langlands Program _ , ISBN 三十七抹六千四百三十三鋪兩千一百十五
- Summer School , Toronto , June 兩千空三--Audio and notes
- Conference , Princeton , 兩千空五--Video
- Michèle Vergne , All what I wanted to know about Langlands program and was afraid to ask，二千空六 .