朗道分布

佇機率論中，朗道分布（英語：Landau distribution）是因為物理學家列夫 ・ 朗道才出名的一種機率分布。因為伊所具有的「長尾」現象，這種分布的各階矩（如數學向望佮變異數）攏因為發線無法度定義。這種分布是穩定分布的一个特別。

定義

標準朗道分布的機率密度函數由以下複積分式表示，

$ p ( x )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi i } } \ int _ { c-i \ infty } ^ { c + i \ infty } \ ! e ^ { s \ log s + xs } \ , ds , $

其中 _ c _ 為任意正實數，log 為自然對數。會當證明，上式結果佮 _ c _ 的取值無關係。佇咧複數平面上做圍道積分，會當得著便於計算的實積分式，

$ p ( x )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ ! e ^ {-t \ log t-xt } \ sin ( \ pi t ) \ , dt . $

上式即 $ \ mu=零 , \ ; c=\ pi / 二 $ 的標準朗道分布機率密度函數。通過將標準朗道分佈擴展到一个位置-尺度分布族，就會當得著完整的朗道分布族

$ p ( x ; \ mu , c )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { e ^ {-ct } \ cos \ left ( ( x-\ mu ) t + { \ frac { 二 ct } { \ pi } } \ log { t } \ right ) \ , dt } . $

特徵函數會當表示如下，

$ \ varphi ( t ; \ mu , c )=\ exp \ ! \ left ( i \ mu t-c | t |-{ \ frac { 二 ict } { \ pi } } \ log | t | \ right ) , $

兩个實母數的取值範圍 $ \ mu \ in (-\ infty , \ infty ) $，$ c \ in ( 零 , \ infty ) $，調整 $ \ mu , \ ; c $ 分別實現朗道分布的平移佮縮放。

相關性質

對特徵函數出發會當推出：

• 平移：若是 $ X \ sim { \ textrm { Landau } } ( \ mu , c ) $ 著 $ X + m \ sim { \ textrm { Landau } } ( \ mu + m , c ) $。
• 縮放：若是 $ X \ sim { \ textrm { Landau } } ( \ mu , c ) $ 著 $ aX \ sim { \ textrm { Landau } } ( a \ mu 鋪二 ac / \ pi \ cdot \ log { a } , \ , ac ) $。
• 會當加性：若是 $ X \ sim { \ textrm { Landau } } ( \ mu _ { 一 } , c _ { 一 } ) , \ , Y \ sim { \ textrm { Landau } } ( \ mu _ { 二 } , c _ { 二 } ) $ 著 $ X + Y \ sim { \ textrm { Landau } } ( \ mu _ { 一 } + \ mu _ { 二 } , \ , c _ { 一 } + c _ { 二 } ) $。

以上三條性質保證了朗道分布是一種穩定分布，伊的穩定母數佮偏度母數 $ \ alpha=\ beta=一 $。

當 $ \ mu=零 , \ , c=一 $ 時，朗道的分布會當近來表示講

$ p ( x )={ \ frac { 一 } { \ sqrt { 二 \ pi } } } \ exp \ left \ {-{ \ frac { 一 } { 二 } } ( x + e ^ {-x } ) \ right \ } . $