期望值
佇機率論佮統計學內底，一个離散性隨機變數的期望值（抑是數學向望，亦簡稱期望，物理學中講做期待值）是試驗內底逐擺可能的結果乘以其結果機率的總和。嘛會使講，向望值親像隨機試驗佇仝款的機會下重複幾若擺，所有遐的可能狀態平均的結果，方便基本上等同「期望值」所向望的數。向望講可能值得佮每一个結果攏無相等。嘛會使講，向望值是該變數輸出值的加權平均。向望值並無一定包括其分布值域，嘛並無一定等於值域平均值。
比如講，跋一枚公平的六面骰仔，其實逐改「點數」的期望值是三人五，算如下：
- $ { \ begin { aligned } \ operatorname { E } ( X ) &=一 \ cdot { \ frac { 一 } { 六 } } + 二 \ cdot { \ frac { 一 } { 六 } } + 三 \ cdot { \ frac { 一 } { 六 } } + 四 \ cdot { \ frac { 一 } { 六 } } + 五 \ cdot { \ frac { 一 } { 六 } } + 六 \ cdot { \ frac { 一 } { 六 } } \ \ [六 pt] &={ \ frac { 一 + 二 + 三 + 四 + 五 + 六 } { 六 } }=三人五 \ end { aligned } } $
猶毋過如上所說明的，三人五雖然是「點數」的期望值，但是無屬於可能結果中的任一个，無可能跋出此點數。
數學定義
若是 $ X $ 是佇機率空間 $ ( \ Omega , F , P ) $ 中的隨機變數，伊的向望 $ \ operatorname { E } ( X ) $ 的定義是：
- $ \ operatorname { E } ( X )=\ int _ { \ Omega } X \ , \ mathrm { d } P $
並毋是每一个隨機變數攏有期望的，因為有的時陣上述積分袂存在。
若兩个隨機變數的分布相仝，則伊的向望值嘛相仝。
若是 $ X $ 是離散的隨機變數，輸出值為 $ x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ ldots $，佮輸出值相應的機率為 $ p _ { 一 } , p _ { 二 } , \ ldots $（機率佮為一）。
若是級數 $ \ sum _ { i } p _ { i } x _ { i } $ 絕對收斂，遐爾向望值 $ \ operatorname { E } ( X ) $ 是一个無限數列的佮。
- $ \ operatorname { E } ( X )=\ sum _ { i } p _ { i } x _ { i } $
若是 $ X $ 是連紲的隨機變數，存在一个相應的機率密度函數 $ f ( x ) $，若是積分 $ \ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } xf ( x ) \ , \ mathrm { d } x $ 絕對收斂，遐爾 $ X $ 的向望值會當計算為講：
- $ \ operatorname { E } ( X )=\ int _ {-\ infty } ^ { \ infty } xf ( x ) \ , \ mathrm { d } x $。
是針對連紲的隨機變數的，佮離散隨機變數的向望值的算法仝出一步，因為輸出值是連紲的，所以共求佮改做做積分。
性質
- 期望值 $ E $ 是線性函數。
- $ \ operatorname { E } ( aX + bY )=a \ operatorname { E } ( X ) + b \ operatorname { E } ( Y ) $
- $ X $ 和 $ Y $ 為佇仝一个機率空間的兩个隨機變數（會當獨立抑是講獨立）， $ a $ 和 $ b $ 為任意實數。
- 一般的講，一个隨機變數的函數的期望值並無等於這个隨機變數的期望值的函數。
- $ \ operatorname { E } ( g ( X ) )=\ int _ { \ Omega } g ( x ) f ( x ) \ , \ mathrm { d } x \ neq g ( \ operatorname { E } ( X ) ) $
- 佇咧一般情形下，兩个隨機變數的積的期望值不等於這兩个隨機變數的期望值的積。
- 當 $ \ operatorname { E } ( XY )=\ operatorname { E } ( X ) \ operatorname { E } ( Y ) $ 成立的時，隨機變數 $ X $ 和 $ Y $ 的共變異數為零，閣稱𪜶無相關。特別的，兩个隨機變數獨立的時陣，𪜶共變做異數（若存在）為零。
向望值的運用
佇統計學中，估算變數的向望值時，定定用著的方法是重複測量此變數的值，才閣用所得數據的平均值來估計這變數的向望值。
佇機率分布中間，向望值和變化素抑是標準差是一種分布的重要特徵。
佇古典力學中，物體重心的算法佮期望值的算法十分近似。
佇咧跋筊中間，向望值閣講預期值、長期效果值、合理的價值、期待值，攏會當完全貼和，按呢其計算的方式為著：
- $ \ mathrm { EV } $（期望值）$=$ 勝的機率 $ \ times $ 得著勝的籌碼 $-$ 輸的機率 $ \ times $ 輸去的籌碼向望值嘛會當通過變異數計算公式來計算變異數：
- $ \ operatorname { Var } ( X )=\ operatorname { E } ( X ^ { 二 } )-\ operatorname { E } ( X ) ^ { 二 } $
（ 平方向望值減的向望值平方）