李群

李群（英語：Lie group，/ ˈliː /）是一个數學概念，指具有群結構的金滑微分流形，其群作用佮微分結構相容。李群的名源就愛徙威數學家索菲斯・李的姓，以其為連紲變換群奠定基礎。一八九三年，法文名詞 _ groupes de Lie _ 頭擺出現佇李的學生 Arthur Tresse 的論文第三頁內底。

粗略咧講，李群是連紲的群，嘛即其元素會當由幾个實參數描述。所以，李群為連續對稱性的概念提供一个自然的模型，譬如講三維旋轉對稱性。李群被廣泛應用佇現代數學佮物理學。索菲斯・李引入李群的上初動機是為微分方程式的連續對稱性建模，就敢若有限群予人用伽羅瓦理論對代數方程式的離散對稱性建模仝款。

總覽

李群是金滑可微流形，因為會當用微微仔分學來研究，這點佮閣較一般的拓撲群無仝款。李群理論中的關鍵是替換掉「全局」的東西，嘛即群本身，來代之以其實「局部」抑是線性化的版本。這个局部版本去予人索菲斯・李本人叫做李群的「無窮小群」，而後來以「李代數」為人熟似。

李群佇現代幾何學中佇濟濟个層面扮演著重要的角色。費利克斯・克萊因為佇伊的愛爾蘭根綱領內認為，會當通過選定適當的保持某種幾何性質不變的轉換群來考察各種「幾何」。比如講，歐氏幾何對應歐式空間R三中保距轉換構成的歐幾里得群 E ( 三 )；共形幾何對應於一陣擴大到共形群；而佇咧射影幾何中引起人興趣的是射影群的不變屬性。這个觀念尾仔發展做 G-結構的概念，其中 _ G _ 是流形 " 局部 " 對稱性形成的李群。

李群（和之關聯的李代數）佇現代物理學當中起到位重要的作用，閣通常扮演著物理系統當中的對稱性。遮，李群表示抑是相應李代數表示尤為重要。表示理論佇粒仔內底被頻繁使用。一寡具較重要的表示的群包括旋轉陣 SO ( 三 )（抑是雙崁特殊細漢的正群 SU ( 二 ) )，特殊屘囝正群 SU ( 三 ) 猶閣有龐加萊群。

定義佮樣例

$ G $ 為有限來維實解析流形
兩个解破映射，二箍運算 $ G \ times { } G \ rightarrow { } G $，佮逆影射 $ G \ rightarrow { } G $ 滿足群公理，對而具有一陣結構。

實李群是一个滿足下列條件的群：伊嘛是一个有限維實金滑流形，其中群的乘法佮求逆操作是金滑映射。群乘法的金滑性

$ \ mu : G \ times G \ to G \ quad \ mu ( x , y )=xy $

意味著 _ $ \ mu $ _ 是一个對積流形 _ $ G \ times G $ _ 到 _ $ G $ _ 的金滑映射。伊這兩个條件會當合做一條，即映射

$ ( x , y ) \ mapsto x ^ { 影一 } y $

是一个對積流形 _ $ G \ times G $ _ 到 _ $ G $ _ 的金滑映射。

初步的款例

$ 二 \ times 二 $ 實在會使逆矩陣構變成一个乘法群，記作 $ GL ( 二 , \ mathbb { R } ) $ 抑是 $ GL _ { 二 } ( \ mathbb { R } ) $ :

: $ \ operatorname { GL } ( 二 , \ mathbb { R } )=\ left \ { A={ \ begin { pmatrix } a & b \ \ c & d \ end { pmatrix } } : \ det A=ad-bc \ neq 零 \ right \ } . $

這是一个足緊的四維實李群；伊是 $ \ mathbb { \ mathbb { R } } ^ { 四 } $ 的一个開子集。這个群是非連通的；伊有兩个連通分開，對應該行列式的正負兩種狀況。

旋轉矩陣構成做 $ GL ( 二 , \ mathbf { R } ) $ 的一个子群，記為 $ SO ( 二 , \ mathbf { R } ) $。伊家己本身嘛是一个李群：具體咧講，伊是一个佮圓微分同胚的一維緊連通李群。用旋轉角 $ \ varphi $ 做參數，這陣會當予人參數化做如下形式：

: $ \ operatorname { SO } ( 二 , \ mathbf { R } )=\ left \ { { \ begin { pmatrix } \ cos \ varphi &-\ sin \ varphi \ \ \ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end { pmatrix } } : \ varphi \ in \ mathbf { R } / 二 \ pi \ mathbf { Z } \ right \ } . $

其中，角度的加法對應該 $ SO ( 二 , \ mathbf { R } ) $ 中元素的乘法，角度的反反數對應該愛反元素。所以，乘法佮求逆操作嘛是攏會當小可仔影射。

一維仿射群是一類二維上三角陣組成的李群，其中第一个對角線頂懸的元素為正，第二个對角線頂懸的元素為一。所以，該陣有包括現落去的形式的矩陣：

: $ A=\ left ( { \ begin { array } { cc } a & b \ \ 零 & 一 \ end { array } } \ right ) , \ quad a > 零 , \ , b \ in \ mathbb { R } . $

反例

這馬咱予出一个群的例，伊擁有不可數的元素，而且佇某種拓撲下毋是李群。咱欲予定如下群：

$ H=\ left \ { \ left . \ left ( { \ begin { matrix } e ^ { 二 \ pi i \ theta } & 零 \ \ 零 & e ^ { 二 \ pi ia \ theta } \ end { matrix } } \ right ) \ right | \ theta \ in \ mathbb { R } \ right \ } \ subset \ mathbb { T } ^ { 二 }=\ left \ { \ left . \ left ( { \ begin { matrix } e ^ { 二 \ pi i \ theta } & 零 \ \ 零 & e ^ { 二 \ pi i \ phi } \ end { matrix } } \ right ) \ right | \ theta , \ phi \ in \ mathbb { R } \ right \ } , $

其中 $ a \ in \ mathbb { P }=\ mathbb { R } \ setminus \ mathbb { Q } $ 是一个 _ 固定的 _ 沒有理數。這是一个環面 $ \ mathbb { T } ^ { 二 } $ 的子群，伊佇子空間拓撲下毋是李群。譬論講，如果阮若號 $ H $ 中的一个點 $ h $ 的任意小鄰體 $ U $，遐爾 $ H $ 佇咧 $ U $ 中的部份是無連通的。群 $ H $ 佇環面上重複共纏牢咧，形成一个 $ \ mathbb { T } ^ { 二 } $ 的𣻸密子群。

另外一方面，阮會當予群 $ H $ 指定另外一个拓撲，予兩點 $ h _ { 一 } , h _ { 二 } \ in H $ 之間的距離予人定義做 _ 群 H 中 _ 連結 $ h _ { 一 } $ 和 $ h _ { 二 } $ 的上短路徑長度。佇這个拓撲下，$ H $ 通過其元素中對應的 $ \ theta $ 與實直線同胚。佇這款開礦下，$ H $ 干焦是加法意義下的實數群，因此嘛是李群。

群 $ H $ 是李群的一个非閉 " 李仔群 " 的款例。會當參見下跤基本概念部份關於李仔群的討論。

矩陣李群

用 GL ( _ n _ ;C) 表示複數體頂懸的 _ n _ × _ n _ 可逆矩陣。GL ( _ n _ ,C) 的任何閉子群嘛是一个李群；這類的李群被稱做矩陣李群。因為李群中大多數趣味的例攏會當用矩陣李群實現，一寡教科書共注意力限制佇這類李群頂面，包括講 Hall 以及 Rossmann 等，按呢會當簡化李代數佮指數影射的定義。下面是一寡矩陣李群的標準樣例：

定義佇咧R和C上的特殊線性群 SL ( _ n _ ,R) 和 SL ( _ n _ ,C)，分別包括元素屬於R抑是C的、行列式為一的 _ n _ × _ n _ 矩陣。
屘囝正群 U ( _ n _ )（猶閣有特殊細漢的正群 SU ( _ n _ )）, 包括滿足 $ U ^ { * }=U ^ { 影一 } $（對特殊細漢來講，猶閣需要滿足 $ \ mathrm { det } ( U )=一 $）的 _ n _ × _ n _ 複矩陣。
正交群 O ( _ n _ )（猶閣有特殊正交群 SO ( _ n _ )），包括滿足 $ R ^ { \ mathrm { T } }=R ^ { 影一 } $（來講對特殊正配群來講，猶閣需要滿足 $ \ mathrm { det } ( R )=一 $）的 _ n _ × _ n _ 實矩陣。

以上列舉的群均為經典群。

閣較濟李群的款例

李群定定出現佇數學佮物理學中。矩陣陣抑是代數群（大部份的情形下）是由矩陣構成的群（比如講正交群佮辛群），這寡嘛是李群上捷看著的例。

一維李群

一維情況下唯二的連通李群是實直線 $ \ mathbb { R } $（其群操作為加法）佮由絕對值為一的複數組成的圓群 $ S ^ { 一 } $（其群操作為乘法）。 $ S ^ { 一 } $ 定定予人記作 $ U ( 一 ) $，即 $ 一 \ times 一 $ 屘囝正群。

二維李群

佇兩維的情形下，若是阮干焦考慮簡單連通群，遐爾仔會使通過𪜶的李代數來分類。若共同構的狀況歸做是一類，當時只有兩種李代數佇遮。參這兩種的李代數關聯的簡單連通李代數是分別是 $ \ mathbb { R } ^ { 二 } $（其群操作為向量加法）閣有一維仿射群（佇頭前的小節 " 初步的款例 " 中有介紹）。

解破李群佮金滑李群

部份冊佇定義李群時假使有設解析性，本條目採相仝定義。另外一種進路是定義李群做實腹滑（簡記為 $ C ^ { \ infty } $）流形，閣有金滑的群二箍運算和反元素運算。解說條件看起來是較強，實則兩个等價：

定理。任意 $ C ^ { \ infty } $ 李群上有唯一的實解析流形結構，予群二箍運算佮反元素運算攏為著欲解析影射。現此時指數影射亦為著欲解析。

同態佮同構

$ G , H $ 攏是李群，二者之間的一个同態：$ f \ , : G \ rightarrow H $ 為著群同態並且是解析影射（事實上，會當證明遮解破的條件只需要滿足連紲就會當）。顯然，兩个同態的複合是仝態。所有李群的類加上仝態構成一个範圍。兩个李群之間存在一个對射，這對射佮其逆射攏做伙仝款，就叫做同構。

李代數

李代數刻劃了李群佇單位元素附近的局部性狀；藉助指數影射抑是對李代數的葉狀結構，會當共李代數的性質提昇到李群的層次。

設 $ G $ 為李群，其李代數 $ { \ mathfrak { g } } $ 定義做 $ G $ 佇咧單位元素的切空間。$ { \ mathfrak { g } } $ 自然具備矣硬死空間結構，$ { \ mathfrak { g } } $ 上的李括積 $ [,] : { \ mathfrak { g } } \ times { \ mathfrak { g } } \ to { \ mathfrak { g } } $ 定義如下：

一 . 定義 $ G $ 對家己的伴隨作用為 $ \ mathrm { Ad } ( x ) ( y ) :=xyx ^ { 影一 } $，$ x , y \ in G $。二 . 號 Ad 嘿變元 $ y \ in G $ 佇咧單位元素上的微分，得著李代數的伴隨作用，通常記為 $ \ mathrm { Ad } ( x ) ( Y )=xYx ^ { 影一 } $，$ x \ in G , Y \ in { \ mathfrak { g } } $。三 . 才閣對變元 $ x \ in G $ 微分，提著影射 $ \ mathrm { ad } : { \ mathfrak { g } } \ times { \ mathfrak { g } } \ to { \ mathfrak { g } } $。定義李括積做 $ [X , Y] :=\ mathrm { ad } ( X ) ( Y ) $。

袂歹驗證 $ [,] $ 滿足李代數的抽象定義。李括積蘊有群乘法的無窮小性質，比如講：連通李群 $ G $ 交換群若準唯一 $ { \ mathfrak { g } } $ 是交換李代數。

李括積嘛會當用倒的無變硬時間佮跋瓦松括號定義，抑是取定局部坐標，用群乘法映射佇原點的泰勒級數定義。

李代數對應李代數

若是 $ G $ 是李群，$ H \ subset G $ 是子群，並且帶有李群結構，予得包括映射 $ H \ to G $ 為浸入（無一定是閉的），則會當得著子李代數 $ { \ mathfrak { h } } \ subset { \ mathfrak { g } } $。反之，任意子李代數 $ { \ mathfrak { h } } $ 透過倒平移定義 $ G $ 葉狀結構，取得單位元素的極大積分流形，就得著滿足來講條件的子群 $ H \ subset G $。這站仔無一定會閉子群，伊可能是 $ G $ 的沓沓仔集（考慮環面的例）。

李代數的映射 $ { \ mathfrak { g } } _ { 一 } \ to { \ mathfrak { g } } _ { 二 } $ 無一定會當提昇至李群的映射 $ G _ { 一 } \ to G _ { 二 } $，但會當提昇至映射 $ { \ tilde { G } } _ { 一 } \ to G _ { 二 } $，其中 $ { \ tilde { G } } _ { 一 } $ 是 $ G _ { 一 } $ 的萬有疊空間。

指數映射

對任意硬量 $ X \ to { \ mathfrak { g } } $，根據定定落分方程式的基本理論，存在 $ G $ 中的單參數子群 $ c _ { X } ( t ) , c _ { X } ( 零 )=e $ 予得 $ c _ { X }'( t )=c _ { X } ( t ) \ cdot X $。所致得著的映射

$ \ mathrm { exp } : { \ mathfrak { g } } \ to G $

$ X \ mapsto c _ { X } ( 一 ) $

叫做指數映射。伊總是解析映射。

若是 $ G $ 為 $ \ mathrm { GL } ( n ) $ 的子群，著 $ \ mathrm { exp } ( X )=\ sum _ { i=零 } ^ { \ infty } { \ frac { X ^ { i } } { i ! } } $，這是指數共影響一詞的緣由。

當 $ G $ 連通而且非交換時陣，指數映射 $ { \ mathfrak { g } } \ to G $ 並毋是仝態；局部上，$ \ mathrm { exp } ( X ) \ mathrm { exp } ( Y ) $ 會當由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式表成牽涉著括積的無窮級數。

一般體上的李群

在任意體、環乃至於概形頂，攏會使定義群概形；這是概形範圍內底的一陣對象。群概形具有深刻的幾何佮數論意義，毋過李井無必是代數圍徛。

另外一方面，若體 $ F $ 著某一个絕對值是完備體，其特徵做零，會當照搬解析李群的定義以定義體 $ F $ 上的李群、李代數佮指數映射。較捷看著的彼个例是 $ F=\ mathbb { C } $；若是數論方面，特別涉及自守表示的研究上，著愛用著 $ F $ 為 p 進數體的情形。

參考條目

李型群

參考文獻

引用

來源

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