柯西分布
柯西分布嘛叫做柯西-勞侖分布，伊是以奧古斯丁 ・ 路易 ・ 柯西和亨德里克 ・ 勞侖茲名號名的連續機率分布，其機率密度函數為
- $ f ( x ; x _ { 零 } , \ gamma )={ \ frac { 一 } { \ pi \ gamma \ left [一 + \ left ( { \ frac { x-x _ { 零 } } { \ gamma } } \ right ) ^ { 二 } \ right] } } \ ! $
- $={ 一 \ over \ pi } \ left [{ \ gamma \ over ( x-x _ { 零 } ) ^ { 二 } + \ gamma ^ { 二 } } \ right] \ ! $
其中 _ x _ 零是定義分布峰值位置的位置母數，_ γ _ 是尺度母數，是半峰全闊 / 四分位距離的一半。
成做機率分布，通常叫做柯西分布，物理學家嘛會號做勞侖分布抑是講Breit-Wigner 分布。佇物理學中的重要性真大一部份歸因為伊是描述受迫共振的微分方程式的解說。佇光譜學中，伊描述著予共振或者是其他機制加闊的譜線形狀。佇下跤的部份將使用 _ 柯西分布 _ 這个統計學術語。
_ x _ 零=零而且 _ γ _=一的特別稱為標準柯西分布，其機率密度函數為
- $ f ( x ; 零 , 一 )={ \ frac { 一 } { \ pi ( 一 + x ^ { 二 } ) } } . \ ! $
特性
其累積分布函數共：
- $ F ( x ; x _ { 零 } , \ gamma )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ arctan \ left ( { \ frac { x-x _ { 零 } } { \ gamma } } \ right ) + { \ frac { 一 } { 二 } } $
柯西分布的逆累積分布函數為
- $ F ^ { 影一 } ( p ; x _ { 零 } , \ gamma )=x _ { 零 } + \ gamma \ , \ tan ( \ pi \ , ( p-二分之一 ) ) . \ ! $
柯西分布的平均值、變異數抑是動差攏無定義，伊的眾數佮中值有定義攏等於 x 零。
號 _ X _ 表示柯西分布隨機變數，柯西分布的特性函數表示為：
- $ \ phi _ { x } ( t ; x _ { 零 } , \ gamma )=\ mathrm { E } ( e ^ { i \ , X \ , t } )=\ exp ( i \ , x _ { 零 } \ , t-\ gamma \ , | t | ) . \ ! $
若是 _ U _ 佮 _ V _ 是期望值為零、變異數為一的兩个獨立常態分布隨機變數的話，遐爾仔比值 _ U _ / _ V _ 為標準柯西分布。
標準柯西分布是學生 t-分佈自由度做一个特殊情況。
柯西分布是穩定分布：若是 $ X \ sim { \ textrm { Stable } } ( 一 , 零 , \ gamma , \ mu ) $，著 $ X \ sim { \ textrm { Cauchy } } ( \ mu , \ gamma ) $。
若是 _ X _ 一 ,…, _ X _ n 是分別符合柯西分布的互相獨立仝分布隨機變數，若按呢算是平均數（_ X _ 一 +…+ _ X _ n）/ _ n _ 有仝款的柯西分布。為著證明這點，阮來計算採樣平均的特性函數：
- $ \ phi _ { \ overline { X } } ( t )=\ mathrm { E } \ left ( e ^ { i \ , { \ overline { X } } \ , t } \ right ) \ , \ ! $
其中，$ { \ overline { X } } $ 是採樣平均值。這个例表明毋通共中央限定理中的有限變數準講。
洛侖茲線性分布閣較適合彼種較扁、闊的曲線高斯線性分布是適合較懸、較狹的曲線當然，若彼著較居中的情形乎，兩个攏會使。 足濟情形下，採用的是兩者各占一定比例的做法。如勞侖次占百分之六十，高斯占百分之四十 .
勞侖次分布方程式
Function : $ { \ frac { { \ frac { 一 } { 二 } } \ Gamma } { x ^ { 二 } + ( { \ frac { 一 } { 二 } } \ Gamma ) ^ { 二 } } } $，其中 $ \ Gamma $ 為一个分布算符，詳見伽瑪分布。
外部連結
- 一 . 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Cauchy Distribution . MathWorld .
- 二 . GNU Scientific Library-Reference Manual
- 三 . https : / / mathworld . wolfram . com / FullWidthatHalfMaximum . html