歐拉-馬斯刻若尼常數

歐拉-馬斯刻若尼常數是一个數學常數，定義做調佮級數佮自然對數的差值：

$ \ gamma=\ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ left [\ left ( \ sum _ { k=一 } ^ { n } { \ frac { 一 } { k } } \ right )-\ ln ( n ) \ right]=\ int _ { 一 } ^ { \ infty } \ left ( { 一 \ over \ lfloor x \ rfloor }-{ 一 \ over x } \ right ) \ , dx $

伊的近似值為 $ \ gamma \ approx 空九五七七二一五六六四九空一五三二八 $，

歐拉-馬斯刻若尼常數主愛應用佇數論。

歷史

該當數代先是由瑞士數學家萊昂哈德 ・ 歐拉佇一七三五年發表的文章 _ De Progressionibus harmonicus observationes _ 中定義。歐拉捌咧使用 $ C $ 做伊的符號，並且算出伊的前六个小數。一七六一年伊又閣將值計算到十六位小數。一七九空年，義大利數學家洛倫佐 ・ 馬斯凱羅尼引入了 $ \ gamma $ 做為這个常數的符號，並共這寡常數算到小數點三十二位。但後來的計算顯示伊佇第二十位的時出現了錯誤。

目前猶是毋知影通常算是毋是有理，但是分析表明若是伊是一个有理數，按呢伊的分母位數將超過一千空二十四學二千空八十。

性質

佮伽瑪數的關係

$ \-\ gamma=\ Gamma'( 一 )=\ Psi ( 一 ) $。

$ \ gamma=\ lim _ { x \ to \ infty } \ left [x-\ Gamma \ left ( { \ frac { 一 } { x } } \ right ) \ right] $。

$ \ gamma=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left [{ \ frac { \ Gamma ( { \ frac { 一 } { n } } ) \ Gamma ( n + 一 ) \ , n ^ { 一 + { \ frac { 一 } { n } } } } { \ Gamma ( 二 + n + { \ frac { 一 } { n } } ) } }-{ \ frac { n ^ { 二 } } { n + 一 } } \ right] $。

佮 ζ 函數的關係

$ \ gamma=\ sum _ { m=二 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { m } \ zeta ( m ) } { m } } $

$=\ ln \ left ( { \ frac { 四 } { \ pi } } \ right ) + \ sum _ { m=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { m 影一 } \ zeta ( m + 一 ) } { 二 ^ { m } ( m + 一 ) } } $。

$ \ lim _ { \ varepsilon \ to 零 } { \ frac { \ zeta ( 一 + \ varepsilon ) + \ zeta ( 一-\ varepsilon ) } { 二 } }=\ gamma $

$ \ gamma={ \ frac { 三 } { 二 } }-\ ln 二-\ sum _ { m=二 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { m } \ , { \ frac { m 影一 } { m } } [\ zeta ( m ) 影一] $

: $=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left [{ \ frac { 二 \ , n 影一 } { 二 \ , n } }-\ ln \ , n + \ sum _ { k=二 } ^ { n } \ left ( { \ frac { 一 } { k } }-{ \ frac { \ zeta ( 一-k ) } { n ^ { k } } } \ right ) \ right] $。

: $=\ lim _ { n \ to \ infty } \ left [{ \ frac { 二 ^ { n } } { e ^ { 二 ^ { n } } } } \ sum _ { m=零 } ^ { \ infty } { \ frac { 二 ^ { m \ , n } } { ( m + 一 ) ! } } \ sum _ { t=零 } ^ { m } { \ frac { 一 } { t + 一 } }-n \ , \ ln 二 + O \ left ( { \ frac { 一 } { 二 ^ { n } \ , e ^ { 二 ^ { n } } } } \ right ) \ right] $

$ \ gamma=\ lim _ { s \ to 一 ^ { + } } \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { 一 } { n ^ { s } } }-{ \ frac { 一 } { s ^ { n } } } \ right )=\ lim _ { s \ to 一 ^ { + } } \ left ( \ zeta ( s )-{ \ frac { 一 } { s 影一 } } \ right ) $

$ \ gamma=\ lim _ { x \ to \ infty } \ left [x-\ Gamma \ left ( { \ frac { 一 } { x } } \ right ) \ right] $

: $=\ lim _ { n \ to \ infty } { \ frac { 一 } { n } } \ , \ sum _ { k=一 } ^ { n } \ left ( \ left \ lceil { \ frac { n } { k } } \ right \ rceil-{ \ frac { n } { k } } \ right ) $。

$ \ gamma=\ sum _ { k=一 } ^ { n } { \ frac { 一 } { k } }-\ ln ( n )-\ sum _ { m=二 } ^ { \ infty } { \ frac { \ zeta ( m , n + 一 ) } { m } } $

積分

$ \ gamma=-\ int _ { 零 } ^ { \ infty } { e ^ {-x } \ ln x } \ , dx=\ int _ { \ infty } ^ { 零 } { e ^ {-x } \ ln x } \ , dx $ $=-\ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ ln \ ln { \ frac { 一 } { x } } } \ , dx $

: $=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } { \ left ( { \ frac { 一 } { 一-e ^ {-x } } }-{ \ frac { 一 } { x } } \ right ) e ^ {-x } } \ , dx $

: $=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } { { \ frac { 一 } { x } } \ left ( { \ frac { 一 } { 一 + x } }-e ^ {-x } \ right ) } \ , dx $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { e ^ {-x ^ { 二 } } \ ln x } \ , dx=-{ \ tfrac { 一 } { 四 } } ( \ gamma + 二 \ ln 二 ) { \ sqrt { \ pi } } $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } { e ^ {-x } \ ln ^ { 二 } x } \ , dx=\ gamma ^ { 二 } + { \ frac { \ pi ^ { 二 } } { 六 } } $。

$ \ gamma=\ int _ { 零 } ^ { 一 } \ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { x 影一 } { ( 一-x \ , y ) \ ln ( x \ , y ) } } \ , dx \ , dy=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } \ left ( { \ frac { 一 } { n } }-\ ln { \ frac { n + 一 } { n } } \ right ) $

$ \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { N _ { 一 } ( n ) + N _ { 零 } ( n ) } { 二 n ( 二 n + 一 ) } }=\ gamma $

級數展開式

$ \ gamma=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } \ left [{ \ frac { 一 } { k } }-\ ln \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { k } } \ right ) \ right] $

$ \ gamma=一-\ sum _ { k=二 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } { \ frac { \ lfloor \ log _ { 二 } k \ rfloor } { k + 一 } } $ .

$ \ gamma=\ sum _ { k=二 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { k } { \ frac { \ left \ lfloor \ log _ { 二 } k \ right \ rfloor } { k } }={ \ tfrac { 一 } { 二 } }-{ \ tfrac { 一 } { 三 } } + 二 \ left ( { \ tfrac { 一 } { 四 } }-{ \ tfrac { 一 } { 五 } } + { \ tfrac { 一 } { 六 } }-{ \ tfrac { 一 } { 七 } } \ right ) + 三 \ left ( { \ tfrac { 一 } { 八 } }-\ dots-{ \ tfrac { 一 } { 十五 } } \ right ) + \ dots $

$ $ \ gamma + \ zeta ( 二 )=\ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } { \ frac { 一 } { k \ lfloor { \ sqrt { k } } \ rfloor ^ { 二 } } }=一 + { \ tfrac { 一 } { 二 } } + { \ tfrac { 一 } { 三 } } + { \ tfrac { 一 } { 四 } } \ left ( { \ tfrac { 一 } { 四 } } + \ dots + { \ tfrac { 一 } { 八 } } \ right ) + { \ tfrac { 一 } { 九 } } \ left ( { \ tfrac { 一 } { 九 } } + \ dots + { \ tfrac { 一 } { 十五 } } \ right ) + \ dots $ $

$ $ \ gamma=\ sum _ { k=二 } ^ { \ infty } { \ frac { k-\ lfloor { \ sqrt { k } } \ rfloor ^ { 二 } } { k ^ { 二 } \ lfloor { \ sqrt { k } } \ rfloor ^ { 二 } } }={ \ tfrac { 一 } { 二 ^ { 二 } } } + { \ tfrac { 二 } { 三 ^ { 二 } } } + { \ tfrac { 一 } { 二 ^ { 二 } } } \ left ( { \ tfrac { 一 } { 五 ^ { 二 } } } + { \ tfrac { 二 } { 六 ^ { 二 } } } + { \ tfrac { 三 } { 七 ^ { 二 } } } + { \ tfrac { 四 } { 八 ^ { 二 } } } \ right ) + { \ tfrac { 一 } { 三 ^ { 二 } } } \ left ( { \ tfrac { 一 } { 十 ^ { 二 } } } + \ dots + { \ tfrac { 六 } { 十五 ^ { 二 } } } \ right ) + \ dots $ $

$ \ gamma=\ int _ { 零 } ^ { 一 } { \ frac { 一 } { 一 + x } } \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } x ^ { 二 ^ { n } 影一 } \ , dx $

$ \ gamma $ 的連分數展開式為著：

$ \ gamma=[零 ; 一 , 一 , 二 , 一 , 二 , 一 , 四 , 三 , 十三 , 五 , 一 , 一 , 八 , 一 , 二 , 四 , 一 , 一 , 四十 , . . .] \ , $（OEIS 數列 A 兩千八百五十二）.

漸近展開式

$ \ gamma \ approx H _ { n }-\ ln \ left ( n \ right )-{ \ frac { 一 } { 二 n } } + { \ frac { 一 } { 十二 n ^ { 二 } } }-{ \ frac { 一 } { 百二 n ^ { 四 } } } + . . . $

$ \ gamma \ approx H _ { n }-\ ln \ left ( { n + { \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 二十四 n } }-{ \ frac { 一 } { 四十八 n ^ { 三 } } } + . . . } \ right ) $

$ \ gamma \ approx H _ { n }-{ \ frac { \ ln \ left ( n \ right ) + \ ln \ left ( { n + 一 } \ right ) } { 二 } }-{ \ frac { 一 } { 六 n \ left ( { n + 一 } \ right ) } } + { \ frac { 一 } { 三十 n ^ { 二 } \ left ( { n + 一 } \ right ) ^ { 二 } } }-. . . $

外部連結

• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Euler-Mascheroni constant . MathWorld .
• Krämer , Stefan " Euler's Constant γ=空九五七七 . . . Its Mathematics and History . "
• Jonathan Sondow .
• Fast Algorithms and the FEE Method , E . A . Karatsuba ( 兩千空五 )
• Further formulae which make use of the constant : Gourdon and Sebah ( 兩千空四 ) .