歐拉-麥克勞林求和公式

歐拉-麥克勞林求和公式佇咧一七三五年由萊昂哈德・歐拉佮科林・麥克勞林分別獨立發現，該公式提供一个聯絡的積分佮求和的方法，所以會當導覽一寡漸漸仔進展開式。

公式

設 $ { \ begin { smallmatrix } f ( x ) \ end { smallmatrix } } $ 為一至少 $ { \ begin { smallmatrix } k + 一 \ end { smallmatrix } } $ 階可微的函數，$ { \ begin { smallmatrix } a , b \ in \ mathbb { Z } \ end { smallmatrix } } $，著 $ { \ begin { aligned } \ sum _ { a < n \ leq b } f ( n ) &=\ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t \ \ & \ quad + \ sum _ { r=零 } ^ { k } { \ frac { ( 影一 ) ^ { r + 一 } B _ { r + 一 } } { ( r + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( r ) } ( b )-f ^ { ( r ) } ( a ) ) \ \ & \ quad + { \ frac { ( 影一 ) ^ { k } } { ( k + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { k + 一 } ( t ) f ^ { ( k + 一 ) } ( t ) dt \ \ \ end { aligned } } $

其中

$ { \ begin { smallmatrix } n ! :=一 \ times 二 \ times . . . \ times n \ end { smallmatrix } } $ 表示 $ { \ begin { smallmatrix } n \ end { smallmatrix } } $ 的階乘
$ { \ begin { smallmatrix } f ^ { ( n ) } ( x ) \ end { smallmatrix } } $ 表示 $ { \ begin { smallmatrix } f ( x ) \ end { smallmatrix } } $ 的 $ { \ begin { smallmatrix } n \ end { smallmatrix } } $ 階導函數
$ { \ begin { smallmatrix } { \ bar { B } } _ { n } ( x )=B _ { n } ( \ left \ langle x \ right \ rangle ) \ end { smallmatrix } } $，其中
$ { \ begin { smallmatrix } B _ { n } ( x ) \ end { smallmatrix } } $ 表示第 $ { \ begin { smallmatrix } n \ end { smallmatrix } } $ 伯仔拍拚幾若項式
伯仔拍拚幾若項式是滿足以下的條件的多項式序列：
$ { \ begin { cases } B _ { 零 } ( x ) \ equiv 一 \ \ B'_ { r } ( x ) \ equiv rB _ { r 影一 } ( x ) \ quad ( r \ geq 一 ) \ \ \ int _ { 零 } ^ { 一 } B _ { r } ( x ) \ , \ mathrm { d } x=零 \ quad ( r \ geq 一 ) \ end { cases } } $
$ { \ begin { smallmatrix } \ left \ langle x \ right \ rangle \ end { smallmatrix } } $ 表示 $ { \ begin { smallmatrix } x \ end { smallmatrix } } $ 的小數部份
$ { \ begin { smallmatrix } B _ { n } :=B _ { n } ( 零 )={ \ bar { B } } _ { n } ( 零 ) \ end { smallmatrix } } $ 為第 $ { \ begin { smallmatrix } n \ end { smallmatrix } } $ 伯仔拍拚數

證明

證明使用數學歸納法以及黎曼－斯蒂爾傑斯的積分，下文中假設 $ { \ begin { smallmatrix } f ( x ) \ end { smallmatrix } } $ 真正會當微有夠大，$ { \ begin { smallmatrix } a , b \ in \ mathbb { Z } \ end { smallmatrix } } $。為著方便，共原式的各項用無仝色的表示： $ \ sum _ { a < n \ leq b } f ( n )={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t } + { \ color { OliveGreen } \ sum _ { r=零 } ^ { k } { \ frac { ( 影一 ) ^ { r + 一 } B _ { r + 一 } } { ( r + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( r ) } ( b )-f ^ { ( r ) } ( a ) ) } + { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { k } } { ( k + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { k + 一 } ( t ) f ^ { ( k + 一 ) } ( t ) dt } $

k=零的情形

好算出 $ { \ bar { B } } _ { 一 } ( t )={ \ color { Purple } \ left \ langle t \ right \ rangle-{ \ frac { 一 } { 二 } } } $ $ { \ begin { aligned } \ sum _ { a < n \ leq b } f ( n ) &=\ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } \ left \ lfloor t \ right \ rfloor \ \ &={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t }-\ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } \ left \ langle t \ right \ rangle \ \ &={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t }-\ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } ( { \ color { Purple } \ left \ langle t \ right \ rangle-{ \ frac { 一 } { 二 } } } ) \ \ &={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t }-{ \ color { BurntOrange } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } { \ bar { B _ { 一 } } } ( t ) } \ \ \ end { aligned } } $

其中柑仔色的項通過分部的積分可能為著 $ { \ begin { aligned } { \ color { BurntOrange } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } { \ bar { B _ { 一 } } } ( t ) } &=( f ( t ) { \ bar { B _ { 一 } } } ( t ) ) | _ { t=a } ^ { t=b }-\ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B _ { 一 } } } ( t ) \ , \ mathrm { d } f ( t ) \ \ &=f ( b ) B _ { 一 } ( \ left \ langle b \ right \ rangle )-f ( a ) B _ { 一 } ( \ left \ langle a \ right \ rangle )-{ \ color { blue } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B _ { 一 } } } ( t ) f'( t ) \ , \ mathrm { d } t } \ \ &={ \ color { OliveGreen } B _ { 一 } \ cdot ( f ( b )-f ( a ) ) }-{ \ color { blue } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B _ { 一 } } } ( t ) f'( t ) \ , \ mathrm { d } t } \ \ \ end { aligned } } $

準講 k=n 學一時原底的成立

$ $ \ sum _ { a < n \ leq b } f ( n )={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t } + { \ color { OliveGreen } \ sum _ { r=零 } ^ { n 影一 } { \ frac { ( 影一 ) ^ { r + 一 } B _ { r + 一 } } { ( r + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( r ) } ( b )-f ^ { ( r ) } ( a ) ) } + { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { n ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n } ( t ) f ^ { ( n ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t } $ $

處理積分（藍色項）

$ $ { \ begin { aligned } { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { n ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n } ( t ) f ^ { ( n ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t } &={ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { n ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ frac { { \ bar { B'} } _ { n + 一 } ( t ) } { n + 一 } } f ^ { ( n ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t \ \ &={ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { ( n + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B'} } _ { n + 一 } ( t ) f ^ { ( n ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t \ \ &={ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { ( n + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } f ^ { ( n ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) \ \ &={ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { ( n + 一 ) ! } } ( ( f ^ { ( n ) } ( t ) { \ bar { B _ { n + 一 } } } ( t ) ) | _ { t=a } ^ { t=b }-\ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) \ , \ mathrm { d } f ^ { ( n ) } ( t ) ) \ \ &={ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { ( n + 一 ) ! } } ( f ^ { ( n ) } ( b ) B _ { n + 一 } ( \ left \ langle b \ right \ rangle )-f ^ { ( n ) } ( a ) B _ { n + 一 } ( \ left \ langle a \ right \ rangle )-\ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) f ^ { ( n + 一 ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t ) \ \ &={ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } B _ { n + 一 } } { ( n + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( n ) } ( b )-f ^ { ( n ) } ( a ) )-{ \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { ( n + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) f ^ { ( n + 一 ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t ) \ \ &={ \ color { OliveGreen } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n + 一 } B _ { n + 一 } } { ( n + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( n ) } ( b )-f ^ { ( n ) } ( a ) ) } + { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } } { ( n + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) f ^ { ( n + 一 ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t ) } \ \ \ end { aligned } } $ $

共處理了後的積分代入

$ { \ begin { aligned } \ sum _ { a < n \ leq b } f ( n ) &={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t } + { \ color { OliveGreen } \ sum _ { r=零 } ^ { n 影一 } { \ frac { ( 影一 ) ^ { r + 一 } B _ { r + 一 } } { ( r + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( r ) } ( b )-f ^ { ( r ) } ( a ) ) } + { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } } { n ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n } ( t ) f ^ { ( n ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t } \ \ &={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t } + { \ color { OliveGreen } \ sum _ { r=零 } ^ { n 影一 } { \ frac { ( 影一 ) ^ { r + 一 } B _ { r + 一 } } { ( r + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( r ) } ( b )-f ^ { ( r ) } ( a ) ) } + { \ color { OliveGreen } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n + 一 } B _ { n + 一 } } { ( n + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( n ) } ( b )-f ^ { ( n ) } ( a ) ) } + { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n } } { ( n + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) f ^ { ( n + 一 ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t ) } \ \ &={ \ color { red } \ int _ { a } ^ { b } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t } + { \ color { OliveGreen } \ sum _ { r=零 } ^ { n } { \ frac { ( 影一 ) ^ { r + 一 } B _ { r + 一 } } { ( r + 一 ) ! } } \ cdot ( f ^ { ( r ) } ( b )-f ^ { ( r ) } ( a ) ) } + { \ color { blue } { \ frac { ( 影一 ) ^ { ( n ) } } { ( n + 一 ) ! } } \ int _ { a } ^ { b } { \ bar { B } } _ { n + 一 } ( t ) f ^ { ( n + 一 ) } ( t ) \ , \ mathrm { d } t } \ \ \ end { aligned } } $

得著想欲的結果。

餘項（積分項）估計

歐拉-麥克勞林求和公式的精確度通常無一定隨著 $ { \ begin { smallmatrix } k \ end { smallmatrix } } $ 的增加按呢增加，反倒轉來，若是 $ { \ begin { smallmatrix } k \ end { smallmatrix } } $ 相當大，愛積分項嘛會足大的。正圖是咧計算調佮級數的前一百項的時陣用 Mathematica 算出無仝的 $ { \ begin { smallmatrix } k \ end { smallmatrix } } $ 對應的積分項的絕對值：

應用

通過歐拉-麥克勞林求佮公式會當予出黎曼 ζ 函數的漸漸進式： $ { \ begin { aligned } \ zeta ( s ) &=\ sum _ { n=一 } ^ { N 影一 } n ^ {-s } + { \ frac { N ^ { 一-s } } { s 影一 } } + { \ frac { 一 } { 二 } } N ^ {-s } \ \ & \ quad + { \ frac { B _ { 二 } } { 二 } } sN ^ {-s 影一 } + . . . + { \ frac { B _ { 二 \ nu } } { ( 二 \ nu ) ! } } s ( s + 一 ) . . . ( s + 二 \ nu 鋪二 ) N ^ { (-s 鋪二 \ nu + 一 ) } + R _ { 二 \ nu } \ end { aligned } } $ 其中 $ R _ { 二 \ nu }=-{ \ frac { s ( s + 一 ) . . . ( s + 二 \ nu 影一 ) } { ( 二 \ nu ) ! } } \ int _ { N } ^ { \ infty } { \ bar { B } } _ { 二 \ nu } ( x ) x ^ {-s 鋪二 \ nu } \ , \ mathrm { d } x $

其他的形式

歐拉-麥克勞林求和公式有時仔嘛予寫做是落形式： $ \ sum _ { y < n \ leq x } f ( n )=\ int _ { y } ^ { x } f ( t ) \ , \ mathrm { d } t + \ int _ { y } ^ { x } ( t-\ left \ lfloor t \ right \ rfloor ) f'( t ) \ , \ mathrm { d } t + f ( x ) ( \ left \ lfloor x \ right \ rfloor-x )-f ( y ) ( \ left \ lfloor y \ right \ rfloor-y ) $ 這是歐拉共出的原始的形式。

參考文獻