正交群

數學上，數體 _ F _ 上的 _ n _ 階正交群，記作 O ( _ n _ , _ F _ )，是 _ F _ 上的 _ n _ × _ n _ 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。伊是一般線的性群 GL ( _ n _ , _ F _ ) 的子群，由

$ \ mathrm { O } ( n , F )=\ { Q \ in \ mathrm { GL } ( n , F ) \ mid Q ^ { T } Q=QQ ^ { T }=I \ } \ ; $ 給出。

遮 _ QT _ 是 _ Q _ 的轉置。實數體上的經典正交群通常就記為 O ( _ n _ )。

閣較一般，_ F _ 頂一个非奇巧二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧濟內定理來講這个正交群的結構。

每一个正交矩陣的行列式為一抑是 − 一。行列式為一的 _ n _ × _ n _ 正交矩陣組成一个 O ( _ n _ , _ F _ ) 的正規子群，這號做特殊正交群SO ( _ n _ , _ F _ )。若是 _ F _ 的特徵做二，按呢一=− 一，對而且 O ( _ n _ , _ F _ ) 和 SO ( _ n _ , _ F _ ) 相仝；其他的情形 SO ( _ n _ , _ F _ ) 佇咧 O ( _ n _ , _ F _ ) 中的指數是二。特徵二而且偶數維時，足濟作者用另外一種定義，定義 SO ( _ n _ , _ F _ ) 為迪克森不變數的核，按呢伊佇咧 O ( _ n _ , _ F _ ) 中總有指數二。

O ( _ n _ , _ F _ ) 和 SO ( _ n _ , _ F _ ) 攏是代數群，因為你若一个矩陣是正交的條件，隨轉置等於逆矩陣，會當定義成一寡關於矩陣分量的多項式方程式。

實數體上的正交群

實數體R上的正交群 O ( _ n _ ,R) 佮特殊正交群 SO ( _ n _ ,R) 佇咧袂引起誤會不時會記做 O ( _ n _ ) 和 SO ( _ n _ )。𪜶是 _ n _ ( _ n _ 影一 ) / 二維實絚李群。O ( _ n _ ,R) 有兩个連通分支，SO ( _ n _ ,R) 是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。

實正交群佮特殊正交群有如下的解說：

O ( _ n _ ,R) 是歐幾里得群 _ E _ ( _ n _ ) 的子群，_ E _ ( _ n _ ) 是Rn 的等距群；O ( _ n _ ,R) 由其中保持原點不動等距組成。伊是以原點為中心的球面 ( _ n _=三 )、超球面佮所有球面對稱的物件的對稱群。

SO ( _ n _ ,R) 是 _ E _ + ( _ n _ ) 的子群，_ E _ + ( _ n _ ) 是「直接」等距，即保持定向的等距離；SO ( _ n _ ,R) 由其中保持原點不動的等距組成。伊是以原點為中心的球面佮所有球面對稱物件的旋轉陣。

{ _ I _ , − _ I _ } 是 O ( _ n _ ,R) 的正規子群並是特徵子群；若是 _ n _ 是偶數，著 SO ( _ n _ ,R) 嘛著。若是 _ n _ 是奇數，O ( _ n _ ,R) 是 SO ( _ n _ ,R) 和 { _ I _ , − _ I _ } 的直積。_ k _ 重旋轉循環群 _ Ck _ 著任何正整數 _ k _ 攏是 O ( 二 ,R) 和 SO ( 二 ,R) 的正規子群。

看會著的正交基，等距離著

$ { \ begin { bmatrix } { \ begin { matrix } R _ { 一 } & & \ \ & \ ddots & \ \ & & R _ { k } \ end { matrix } } & 零 \ \ 零 & { \ begin { matrix } \ pm 一 & & \ \ & \ ddots & \ \ & & \ pm 一 \ end { matrix } } \ \ \ end { bmatrix } } $

彼个形體。遮矩陣 _ R _ 一 , . . . , _ R _ k 是二 × 二旋轉矩陣。

圓的對稱群是 O ( 二 ,R)，嘛叫做 Dih ( S 一 )，遮 S 一个模長一複數的乘法群。

SO ( 二 ,R) ( 做李群 ) 仝款構於圓 S 一（圓群）。 這个同構將複數 exp ( φ _ i _ )=cos ( φ ) + _ i _ sin ( φ ) 映到正交矩陣

$ { \ begin { bmatrix } \ cos ( \ phi ) &-\ sin ( \ phi ) \ \ \ sin ( \ phi ) & \ cos ( \ phi ) \ end { bmatrix } } $。

群 SO ( 三 ,R)，看做三維空間的轉踅，是科學佮工程上重要的群。參見旋轉陣佮三 × 三旋轉矩陣利用軸佮角一般的公式佇咧代數拓撲方面，著 _ n _ > 二，SO ( _ n _ ,R) 的基本群是二階循環，抑若自旋群 Spin ( _ n _ ) 是其萬有疊。著 _ n _=二基本群是無限循環而萬有囥起來對應算是實數（旋量群 Spin ( 二 ) 是惟一的二重疊）

李群 O ( _ n _ ,R) 和 SO ( _ n _ ,R的李代數由斜對稱實 _ n _ × _ n _ 矩陣組成，李括號由交換子予出。這个李代數定定記做 o ( _ n _ ,R) 抑是 so ( _ n _ ,R)。

保持原點三維同構

保持R三原點袂振動的同構，組規陣的 O ( _ 三 _ ,R)，會當分做是後幾類：

• SO ( _ 三 _ ,R) :
• 恆同
• 踅一个過原點的軸轉動無等於百八 °
• 踅一个過原點的軸踅一百八十 °
• 以上佮關於原點的點反演（x映甲 −x）複合，分別為：
• 關於著原點的點反演
• 踅一線踅一个不等於一百八十 ° 的角度，佮關於過垂直於軸而且過這原點的平面的反射複合
• 關於一个過原點的平面的反射特別指出講四階佮五階正交群，佇閣較闊的意義後六階嘛是，叫做反射旋轉。類似的參見歐幾里得群。

共形群

做保持距離的同構，正交轉換也保角，對這个共形轉換，但是毋是所有的共形轉換攏是正交轉換。Rn 的線性共形影射構成的群記作 CO ( _ n _ )，由正交群佮收縮的乘積予出。若是 _ n _ 是奇數，兩个子群無相交，𪜶是直積：$ \ operatorname { CO } ( 二 n + 一 )=\ operatorname { O } ( 二 n + 一 ) \ times \ mathbf { R } $；若是 _ n _ 是偶數，兩个子群的交是 $ \ pm 一 $，所以這毋是直積，但是這是和正收縮子群的直積：$ \ operatorname { CO } ( 二 n )=\ operatorname { O } ( 二 n ) \ times \ mathbf { R } ^ { + } \ ; $。

咱會當類似地定義 CSO ( _ n _ )，這時陣總有 $ \ operatorname { CSO } ( n ) :=\ operatorname { CO } ( n ) \ cap \ operatorname { GL } _ { + } ( n )=\ operatorname { SO } ( n ) \ times \ mathbf { R } ^ { + } \ ; $。

複數體上正交群

複數體C上，O ( _ n _ ,C) 和 SO ( _ n _ ,C) 是C上 _ n _ ( _ n _ 影一 ) / 二維的李群，這意味實維數是 _ n _ ( _ n _ 影一 )。O ( _ n _ ,C) 有兩个連通分支，SO ( _ n _ ,C) 是包含恆仝矩陣的分支。當 _ n _ ≥ 兩時，遮的群群非常的。

佮實情形仝款，SO ( _ n _ ,C) 毋是干焦連通的，著 _ n _ > 二 SO ( _ n _ ,C) 的基本群是二階循環群，而且 SO ( 二 ,C) 的基本群是無散食環群。

O ( _ n _ ,C) 和 SO ( _ n _ ,C) 的複李代數對稱呼 _ n _ × _ n _ 矩陣組成，李括號由交換子予出。

拓撲

低維數

低維實正交群是熟似的空間：

$ { \ begin { aligned } O ( 一 ) &=\ left \ { \ pm 一 \ right \ }=S ^ { 零 } \ \ SO ( 一 ) &=\ left \ { 一 \ right \ }=* \ \ SO ( 二 ) &=S ^ { 一 } \ \ SO ( 三 ) &=\ mathbf { RP } ^ { 三 } \ end { aligned } } $

因為三維旋轉佇工程內底有重要應用，產生了真濟 SO ( 三 ) 上的卡。

同倫群

正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關，對而且一般是足歹做的。

但是咱會當算講出穩定正交群的同倫群（嘛講有限正交群）， 定義為著包括序列

$ O ( 零 ) \ subset O ( 一 ) \ subset O ( 二 ) \ subset \ cdots \ subset O=\ bigcup _ { k=零 } ^ { \ infty } O ( k ) $

的正向極限（因為包括攏是閉包含，對而且是上纖維化，嘛會當理解講並成）。

$ S ^ { n } $ 是 $ O ( n + 一 ) $ 的齊性空間，自按呢有成下纖維欉：

$ O ( n ) \ to O ( n + 一 ) \ to S ^ { n } , $

會當理解為：正交群 $ O ( n + 一 ) $ 遞移地作用佇單位球面 $ S ^ { n } $ 上，一點仔（看做一个單位的向量）的穩定子群是其正交補餘的正交群，這是第一維的正交群。映射 $ O ( n ) \ to O ( n + 一 ) $ 是自然包括。

從而且包括 $ O ( n ) \ to O ( n + 一 ) $ 是 _ ( n 影一 ) _-連通的，故同倫群穩定，著 $ n > k + 一 $ 有 $ \ pi _ { k } ( O )=\ pi _ { k } ( O ( n ) ) $，所以穩定空間的同倫群等於是非穩定空間較低維同倫群。

通過博特週期性定理，$ \ Omega ^ { 八 } O \ simeq O $，對而且 _ O _ 的同倫群八為禮拜，即 $ \ pi _ { k + 八 } O=\ pi _ { k } O $，按呢咱只要計算出上低八个同倫群就煞煞去所有群。

$ { \ begin { aligned } \ pi _ { 零 } O &=\ mathbf { Z } / 二 \ \ \ pi _ { 一 } O &=\ mathbf { Z } / 二 \ \ \ pi _ { 二 } O &=零 \ \ \ pi _ { 三 } O &=\ mathbf { Z } \ \ \ pi _ { 四 } O &=零 \ \ \ pi _ { 五 } O &=零 \ \ \ pi _ { 六 } O &=零 \ \ \ pi _ { 七 } O &=\ mathbf { Z } \ \ \ end { aligned } } $

和 KO-理論的關係

通過 cluching construction，穩定空間 _ O _ 的同倫群佮穩定球面上的向量欉等價（同構的意義下）， 提高一个維數：$ \ pi _ { k } O=\ pi _ { k + 一 } BO $。

設 $ KO=BO \ times \ mathbf { Z }=\ Omega ^ { 影一 } O \ times \ mathbf { Z } $（予得 $ \ pi _ { 零 } $ 滿足週期）， 咱得著：

$ { \ begin { aligned } \ pi _ { 零 } KO &=\ mathbf { Z } \ \ \ pi _ { 一 } KO &=\ mathbf { Z } / 二 \ \ \ pi _ { 二 } KO &=\ mathbf { Z } / 二 \ \ \ pi _ { 三 } KO &=零 \ \ \ pi _ { 四 } KO &=\ mathbf { Z } \ \ \ pi _ { 五 } KO &=零 \ \ \ pi _ { 六 } KO &=零 \ \ \ pi _ { 七 } KO &=零 \ \ \ end { aligned } } $

仝倫群的計算和解說

低維群

上頭先的幾个仝論群會當用較低維群的仝群具體的描述。

• $ \ pi _ { 零 } ( O )=\ pi _ { 零 } ( O ( 一 ) )=\ mathbf { Z } / 二 $ 保持 / 反定向（這个類存留到 $ O ( 二 ) $ 對咧穩定）

$ SO ( 三 )=\ mathbf { RP } ^ { 三 }=S ^ { 三 } / ( \ mathbf { Z } / 二 ) $ 會出得：

• $ \ pi _ { 一 } ( O )=\ pi _ { 一 } ( SO ( 三 ) )=\ mathbf { Z } / 二 $ 即自旋群
• $ \ pi _ { 二 } ( O )=\ pi _ { 二 } ( SO ( 三 ) )=零 $，有到 $ \ pi _ { 二 } ( SO ( 四 ) ) $ 滿射，從而後一个群消失。

李群

由李群一般性事實，$ \ pi _ { 二 } G $ 總消失，$ \ pi _ { 三 } G $ 是自由阿貝爾群。

=====向量密=====對向量密的觀點來看，$ \ pi _ { 零 } ( KO ) $ 是 $ S ^ { 零 } $ 大欉的向量，具有兩點呢。對佇每一个點上，密是平凡的，這个樹叢的非平凡性是兩个點頂向量空間的維數之差，所以乎

$ \ pi _ { 零 } ( KO )=\ mathbf { Z } $ 是維數。

環路空間

利用博特週期性中環路空間具體的描述，咱會當共高維同倫做理解為容易分析的低維空間的同倫。利用 $ \ pi _ { 零 } $、_ O _，以及 _ O / U _ 有兩个分支，$ KO=BO \ times \ mathbf { Z } $ 和 $ KSp=BSp \ times \ mathbf { Z } $ 有 $ \ mathbf { Z } $ 個分支，其實是連通的。

仝倫的解說

一寡仔部份結論：

• $ \ pi _ { 零 } ( KO )=\ mathbf { Z } $ 是維數
• $ \ pi _ { 一 } ( KO )=\ mathbf { Z } / 二 $ 是定向
• $ \ pi _ { 二 } ( KO )=\ mathbf { Z } / 二 $ 是自旋
• $ \ pi _ { 四 } ( KO )=\ mathbf { Z } $ 是拓撲量子場理論令 $ F=\ mathbf { R } , \ mathbf { C } , \ mathbf { H } , \ mathbf { O } $，以及 $ L _ { F } $ 為射影線 $ \ mathbf { FP } ^ { 一 } $ 照線頂的重複線，$ [L _ { F }] $ 是其 K-理論。注意著 $ \ mathbf { RP } ^ { 一 }=S ^ { 一 } , \ mathbf { CP } ^ { 一 }=S ^ { 二 } , \ mathbf { HP } ^ { 一 }=S ^ { 四 } , \ mathbf { OP } ^ { 一 }=S ^ { 八 } $，這寡著愛出相應球面上的向量密，以及：

• $ \ pi _ { 一 } ( KO ) $ 由 $ [L _ { \ mathbf { R } }] $ 生成
• $ \ pi _ { 二 } ( KO ) $ 由 $ [L _ { \ mathbf { C } }] $ 生成
• $ \ pi _ { 四 } ( KO ) $ 由 $ [L _ { \ mathbf { H } }] $ 生成
• $ \ pi _ { 八 } ( KO ) $ 由 $ [L _ { \ mathbf { O } }] $ 生成

有限群上的正交群

正交群嘛會當定義佇咧有限體 $ \ mathbf { F } _ { q } $ 上，這里 $ q $ 是一个質數 $ p $ 的冪。佇按呢的域上定義正交群，雙數維時有兩類：$ O ^ { + } ( 二 n , q ) $ 和 $ O ^ {-} ( 二 n , q ) $；奇數維有一類：$ O ( 二 n + 一 , q ) $。

若是 $ V $ 是正交群 $ G $ 作用的向量空間，伊會當寫做正交直和：

$ V=L _ { 一 } \ oplus L _ { 二 } \ oplus \ cdots \ oplus L _ { m } \ oplus W $，

這里 $ L _ { i } $ 是雙曲線爾 $ W $ 毋包含講奇異向量。若是 $ W=零 $，遐爾 $ G $ 是正類型；若是 $ W=< w > $ 遐爾 $ G $ 有尪仔維數；若是 $ W $ 有維二，著 $ G $ 是負類型。

佇咧 _ n _=一个特別，$ O ^ { \ epsilon } ( 二 , q ) $ 是坎為著 $ 二 ( q-\ epsilon ) $ 你彼二面體群。

當特徵是兩時，記 O ( _ n _ , _ q _ )={ _ A _ ∈ GL ( _ n _ , _ q _ )   : _ A _·_ A _ t=I }。關於著遮的群的階數咱有以下的公式

$ | O ( 二 n + 一 , q ) |=二 q ^ { n } \ prod _ { i=零 } ^ { n 影一 } ( q ^ { 二 n }-q ^ { 二 i } ) $。

若是 $ 影一 $ 是 $ \ mathbf { F } _ { q } $ 中的平方的元素

$ | O ( 二 n , q ) |=二 ( q ^ { n } 影一 ) \ prod _ { i=一 } ^ { n 影一 } ( q ^ { 二 n }-q ^ { 二 i } ) $。

若是 $ 影一 $ 毋是呢 $ \ mathbf { F } _ { q } $ 中的平方的元素

$ | O ( 二 n , q ) |=二 ( q ^ { n } + ( 影一 ) ^ { n + 一 } ) \ prod _ { i=一 } ^ { n 影一 } ( q ^ { 二 n }-q ^ { 二 i } ) $。

迪克森不變數

嘿偶數維正交群，迪克森不變數是按正交群到 _ Z _ / 二 _ Z _ 的同態，是零抑是取決佇一个元素是三不五時抑是奇數一个反射的複合。佇咧特徵無等於二的域上迪克森無變數佮行列式等價：行列式等於 − 一的迪克森不變數次冪。

佇咧特徵二的域頂頭，行列式總為一，所以迪克森無變數予出額外的訊息。佇特徵二域頂真濟作者定義特殊正交群為迪克森無變數為零的元素，毋是行列式為一。

迪克森無變數也通對所有維數的克里福群佮 Pin 群類似地定義。

特徵二域正佇咧交群

特徵二域上的正交群定定有無仝的表現。這節列出一寡無仝：

• 任何域上的任何正交群攏是由反射生成，惟一的例外是兩个元素的域上的維特指標為而二的四維向量空間（Grove 兩千空二，Theorem 六陵六 and 十四孵一六）。 注意特徵二域上的反射定義有小可無仝。特徵二域，垂直於一个向量 _ u _ 的反射將 _ v _ 影為 _ v _ + B ( _ v _ , _ u _ ) / Q ( _ u _ )·_ u _，這里 _ B _ 是一个雙線性形式，_ Q _ 是佮正交矩陣相連的二次的形式。通常的豪斯霍爾德轉換是將 _ v _ 映甲 _ v _ 鋪二·B ( _ v _ , _ u _ ) / Q ( _ u _ )·_ u _，當奇特徵佮零特徵的時陣比較兩个人無仝。
• 特徵兩時正交群的中心總是一階，毋是二階。
• 佇特徵二的奇維數二 _ n _ + 一時，完全域上的正交群和二 _ n _ 維辛陣仝款。事實上特徵兩時的辛形式時會當交換的，若維數為奇數故總有一个一維的核，模去核的商是一个二 _ n _ 維辛空間，正交群作用佇伊的頂面。
• 特徵二的偶維數，正交群是辛苦的一个子群，因為這馬這个時陣二型的辛雙線性的形式也是會當交換的。

旋量模

旋量模是一个對域 _ F _ 上正交群到域 _ F _ 的乘法群模去平方元素

_ F _ \ * / _ F _ \ * 二的同態，會關於模長 _ n _ 向量的反射映著 _ F _ \ * / _ F _ \ * 二中的 _ n _。

旋量模對實數體上的正交群是平凡的，但是其他域上定定無平凡，譬如講實數體頂懸無定著二次型定義的正交群。

伽羅瓦餘調和正交群

代數群的伽羅瓦餘調理論，引入一寡閣較深入的觀點。𪜶有解說的價值，特別是二次的理論的聯絡； 但是就目前所發現的現象，大部份攏是「馬後炮」。 第一个觀點是一个域上的字型或者是一个正交群的扭曲形式（張量）會當佮伽羅瓦 _ H _ 做伙起來。做一个代數群，正交群一般毋是連通抑是單連通的；第二个觀點是引入自旋現象，但是前一个佮判別式相聯絡。

一个旋量模的「spin」名會當用佮自旋群（閣較準確實 pin 群）的一个聯絡來解說。這種方法這馬會當馬上用伽羅瓦餘調（引入去克里福代數的術語）來解說。正交群的自旋群疊予出了一个代數群的短正合列：

$ 一 \ rightarrow \ mu _ { 二 } \ rightarrow Pin _ { V } \ rightarrow O _ { V } \ rightarrow 一 $

遮 μ 二是單位根的代數群；佇咧一个特徵非二的域頂懸，粗略仔看，和作用平凡的兩元素群相仝。

對 _ H _ 零（就是取佇咧 _ F _ 中點的群 _ O _ V ( _ F _ )）到 _ H _ 一 ( μ 二 ) 的連接同態本質上是 spinor 模，因為乎 _ H _ 一 ( μ 二 ) 仝構佇咧域模去平方元素的乘法群。

正交群的 _ H _ 一到自旋群疊著的核的 _ H _ 二嘛存在連接同態。因為餘調是非阿貝爾，所以乎，至少用普通定義，這是咱會當行上遠的。

重要子群

物理中，特別是佇咧 Kaluza-Klein 緊化領域，揣出正交群的子群非常重要。主要結論如下：

$ O ( n ) \ supset O ( n 影一 ) $

$ O ( 二 n ) \ supset SU ( n ) $

$ O ( 二 n ) \ supset USp ( n ) $

$ O ( 七 ) \ supset G _ { 二 } $

正交群 O ( n ) 嘛是一寡李群的重要子群：

$ SU ( n ) \ supset O ( n ) $

$ USp ( 二 n ) \ supset O ( n ) $

$ G _ { 二 } \ supset O ( 三 ) $

$ F _ { 四 } \ supset O ( 九 ) $

$ E _ { 六 } \ supset O ( 十 ) $

$ E _ { 七 } \ supset O ( 十二 ) $

$ E _ { 八 } \ supset O ( 十六 ) $

群 O ( 十 ) 佇超弦理論內底非常重要，因為伊是十維時空的對稱群。

另見

• 轉踅群，SO ( 三 ,R)
• SO ( 八 )
• 廣義正交群
• 屘囝正群
• 辛群
• 有限單純群列表
• 單純李氏群列表

參考文獻

• Grove , Larry C . , Classical groups and geometric algebra , Graduate Studies in Mathematics三十九, Providence , R . I . : American Mathematical Society , 兩千空二 , ISBN  九百七十八追空九八千二百一十八分二千空一十九分三 , MR 一百八十五孵九千一百八十九

外部連結

• John Baez " This Week's Finds in Mathematical Physics " week 一百空五
• John Baez on Octonions