比爾-朗伯定律

比爾-朗伯定律（Beer–Lambert law）， 閣稱比爾定律抑是比耳定律（Beer's law）、朗伯仔-比爾定律、布格-朗伯仔-比爾定律（Bouguer–Lambert–Beer law）， 是干焦吸收的基本定律，適用所有的電磁輻射佮所有的欶光物質，包括氣體、固體、液體、分子、原子佮離子。比爾-朗伯定律是欶了了法度、比色分析法佮光電比色法的定量基礎。

概述

一束單色光射於一吸收介質表面，佇通過一定厚度的介質了後，因為介質吸收一部份光能，透光的強度著愛減弱。吸收介質的濃度愈大、介質的厚度愈大，則光強度的減弱愈顯示，其實做關係：

$ \ A=-\ log _ { 十 } { \ frac { I _ { t } } { I _ { 零 } } }=\ log _ { 十 } { \ frac { 一 } { T } }=K \ cdot l \ cdot c $

其中：

• $ \ A $：欶了了；
• $ \ I _ { 零 } $：入射光的強度；
• $ \ I _ { t } $：透射光的強度；
• $ \ T $：透射比，抑是講迵光度；
• $ \ K $：係數，會當是吸收的係數或者是無耳吸收的係數，見下文；
• $ \ l $：吸收介質的厚度，一般以 cm 為單位；
• $ \ c $：吸光物質的濃度，單位會當是 g / L 抑是 mol / L。

比爾-朗伯定律的物理意義是，當一束平行單色光垂直通過某一齊勻非散射的欶光物質時，其吸光度 $ \ A $ 佮吸光物質的濃度 $ \ c $ 佮吸收重厚度 $ \ l $ 成正比。

做介質中間有真濟項欶光組分的時陣，只要各組分間無存在互相作用，佇某一波長下介質的總吸了了是各組分佇這个波長吸了了的加和，這个規律講號做欶光度的加合性。

係數 $ \ K $：

• 做介質厚度 $ \ l $ 以 cm 為單位，吸光物質濃度 $ \ c $ 以 g / L 為單位的時陣，$ \ K $ 用 $ \ a $ 表示，講號做吸收的係數，其單位為咧 $ { \ rm { \ L \ ! \ cdot \ ! g ^ { 影一 } \ ! \ cdot \ ! cm ^ { 影一 } } } $。這時比爾-朗伯定律表示為 $ \ A=alc $。
• 做介質厚度 $ \ l $ 以 cm 為單位，吸光物質濃度 $ \ c $ 以 mol / L 為單位的時陣，$ \ K $ 用 $ \ \ varepsilon $ 表示，講號做無耳吸收係數，其單位為咧 $ { \ rm { \ L \ ! \ cdot \ ! mol ^ { 影一 } \ ! \ cdot \ ! cm ^ { 影一 } } } $。這時比爾-朗伯定律表示為 $ \ A=\ varepsilon lc $。

兩个吸收的係數之間的關係為：$ \ \ varepsilon=aM _ { m } $。

歷史

物質對光吸收的定量關係真早就受著科學家的注意並進行了研究。皮埃爾 ・ 布格（Pierre Bouguer）佮約翰 ・ 海因里希 ・ 朗伯仔（Johann Heinrich Lambert）分別佇一七二九年佮一七六空年闡明了物質對光的吸收程度佮吸收介質厚度之間的關係；一八五二年奧古斯特 ・ 比爾（August Beer）閣提出光的吸收程度佮吸光物質濃度嘛有類似的關係，兩者結合起來就得著有關光吸收的基本定律布格－朗伯仔－比爾定律，簡稱比爾－朗伯定律。

推導

假使一个強度為 $ \ I _ { 零 } $ 的平行單色光（入射光）垂直佮一塊各向同性的齊勻吸收介質表面，佇通過厚度為著 $ \ l $ 的吸收層（光程）後，因為吸收層當中質點對光的吸收，該束入去射光的強度降低到 $ \ I _ { 一 } $，叫做透射光強度。物質對光吸收的能力大細佮所有吸光質點截面積的大細成正比。設想該厚度為 $ \ l $ 的吸收層會當佇垂直於入射光的方向頂頭分做厚度無限細的偌薄層 $ { \ rm { \ d } } $ $ \ l $，其他的面積為著 $ \ S $，而且逐个薄層內底，有欶光質點的數目為 $ { \ rm { \ d } } $ $ \ n $ 個，逐項欶光質點的截面積均為 $ \ a $。所以，遮薄層內底所有欶光質點的總截面積 $ { \ rm { \ d } } $ $ \ S=a $ $ { \ rm { \ d } } $ $ \ n $。

假使強度為 $ \ I $ 伊入射光照射著愛薄層上後，光強度減弱矣 $ { \ rm { \ d } } $ $ \ I $。$ { \ rm { \ d } } $ $ \ I $ 是佇小薄層當中干焦吸收程度的量度，伊佮薄層中吸光質點的總截面積 $ { \ rm { \ d } } $ $ \ S $ 猶閣有入射光的強度 $ \ I $ 成正比，也就是講

$ \-dI=k _ { 一 } I \ , dS=k _ { 一 } Ia \ , dn $

負號表示光強度因為吸收來減弱，k 做比例的數字。

假使吸光物質的濃度做 _ c _，是欲講薄層中的欶光質點數為

$ \ dn=六鼻空二 \ times 十 ^ { 二十三 } cS \ , dl $

代入上式，合併常數項並設 $ \ k _ { 二 }=六鼻空二 \ times 十 ^ { 二十三 } k _ { 一 } \ , aS $，經過整理甲

$ \-{ \ frac { dI } { I } }=k _ { 二 } c \ , dl $

對上式進行定積分，則有

$ \-\ int _ { I _ { 零 } } ^ { I _ { 一 } } { \ frac { dI } { I } }=\ int _ { 零 } ^ { l } k _ { 二 } c \ , dl $

$ \-\ ln { \ frac { I _ { 一 } } { I _ { 零 } } }=k _ { 二 } cl $

$ \ \ log _ { 十 } { \ frac { I _ { 零 } } { I _ { 一 } } }=空九四三四 k _ { 二 } cl=Klc $

上式中 $ \ \ log _ { 十 } { \ frac { I _ { 零 } } { I _ { 一 } } } $ 號做吸光度（$ \ A $）； 透射光強度佮入射光強度之間的比值 $ \ { \ frac { I _ { 一 } } { I _ { 零 } } } $ 叫做透射比，抑是講迵光度（$ \ T $）， 其實做關係：

$ \ A=\ log _ { 十 } { \ frac { I _ { 零 } } { I _ { 一 } } }=\ log _ { 十 } { \ frac { 一 } { T } }=Kbc $（請注意本段中透射光強度的符號 $ \ I _ { 一 } $ 佮頭段中的符號 $ \ I _ { t } $ 無仝）

即比爾-朗伯定律。

前提

比爾-朗伯定律的成立是有前提的，即：

一 . 入射光為平行單色光而且垂直照射； 二 . 吸光物質做齊勻非散射體系； 三 . 欶光質點之間無相𫝛作用； 四 . 輻射和物質之間的作用干焦限制光吸收過程，無螢光佮光化學的現象發生。

根據比爾-朗伯定律，吸收介質的厚度無變時，$ \ A $ 佮 $ \ c $ 之間應該成正比關係；但實際咧測定的時陣，標準曲線定定會出現偏離比爾-朗伯定律的現象，有時陣閣有濃度軸彎曲（負偏離）， 有時陣閣去吸光度軸彎曲（當偏偏仔）。 造成偏離的原因是多方面的，其主要原因是測定的時陣實際的狀況無完全符合使比爾-朗伯定律成立的前提條件。

物理因素有：

一 . 非單色光引起的偏離； 二 . 非平行入射光引起的偏離； 三 . 有介質無齊勻引起的偏離；

化學因素有：

一 . 溶液濃度傷懸引起的偏離； 二 . 化學反應（如水解、解離）引起的偏離；

化學分析

比爾-朗伯定律會當用過分光光度法，以分析混合物件的性質。這種方法無需要對樣品來進行過多的預操作。

比如講測定血漿中膽紅素的濃度。純膽紅素的光譜是已經確定矣，所以伊的莫耳吸收的數嘛是真確定。需要測量兩个波長的光的吸收狀況，其中頭一个膽紅素特定的波長，若另外一个是為著修正可能存在的干涉。對而且會當得著濃度 _ c _  =  _ A _ 修正   /   _ κ _。

閣比如講，佇一个閣較複雜的例中，溶液中有兩種溶質，濃度分別為 _ c _ 一和 _ c _ 二。現此時，單位長度之下，任何波長 λ 欶了了為著：

$ A ( \ lambda )=c _ { 一 } \ \ kappa _ { 一 } ( \ lambda ) + c _ { 二 } \ \ kappa _ { 二 } ( \ lambda ) . $

所以，若對兩个波長來進行測量，則會當得著兩个方程，形成一个二元一次方程組。現此時只要知影兩个波長落來，兩个溶質的莫耳吸收係數 _ κ _ 一和 _ κ _ 二，就會當求出𪜶的濃度 _ c _ 一和 _ c _ 二。

若溶液中有閣較濟溶質，嘛會當通過這種方法求出各溶質的濃度。伊若有 n 種溶質，只要測量 n 個波長之下的吸收度就可能。這種方法廣泛應用佇紅外光譜學佮近紅外光譜學，用來分析聚合物降解佮氧化。六微米落去，枋基的吸收度十分容易測量，所致聚合物的氧化程度嘛誠容易得著。

大氣內底比爾-朗伯定律

比爾-朗伯定律嘛會當應用大氣當中，用描述日頭光佮星光通過大氣時的衰減狀況。現此時，除了吸收以外，就是愛考慮大氣散射。大氣內底比爾-朗伯定律的形式為著：

$ I=I _ { 零 } \ , \ exp [-m ( \ tau _ { a } + \ tau _ { g } + \ tau _ { \ rm { NO _ { 二 } } } + \ tau _ { w } + \ tau _ { \ rm { O _ { 三 } } } + \ tau _ { r } ) ] , $

其中，

• $ \ tau _ { x } $ 代表 _ 光深度 _，其下標 x 所對物件質分別為：
• $ a $ 指浮質（會當吸收佮散射）；
• $ g $ 指出齊勻透濫氣體（主要是二氧化碳（$ \ mathrm { CO } _ { 二 } $）佮氧分子（$ \ mathrm { O } _ { 二 } $）， 干焦吸收）；
• $ \ mathrm { NO } _ { 二 } $ 指二氧化氮，主要有城市污染產生（干焦吸收）；
• $ w $ 指水蒸氣（吸收）；
• $ \ mathrm { O } _ { 三 } $ 指臭氧（干焦吸收）；
• $ r $ 指氧分子（$ \ mathrm { O } _ { 二 } $）佮氮分子（$ \ mathrm { N } _ { 二 } $）的瑞利散射（致使天頂的藍色）。
• $ m $ 代表 _ 大氣光學質量因為 _。若予觀測物取一个較細的天頂角 $ \ theta $，是大氣光學質量大約等於 $ \ sec \ theta $。

這條方程會當用佇反推浮質的光學厚度 $ \ tau _ { a } $，這對衛星圖像的修正佮計算浮質佇大氣內底的角色攏真要緊。

當光穿過大氣層的時陣，空氣的密度並毋是量，因此原方程應作以下修正：

$ T={ I _ { 一 } \ over I _ { 零 } }=e ^ {-\ int \ alpha'\ , dz }=e ^ {-\ sigma \ int Ndz } $

其中 z 是佇大氣中行過的路，其他符號佇頂文已有定義。這个佇頂頭大氣照顧的每一个 $ \ tau _ { x } $ 內底已經考慮著講。

參考文獻

冊

• 華中師範大學等等 ( 編 ) . 分析化又閣四界。北京乎：高等教育出版社 . 兩千空五 : 兩百七十七喔–兩百八十四 . ISBN  七孵四交九千一百四十追二 .

參見

• 欶了了法
• 原子吸收光譜
• 吸收光譜