洛特卡-沃爾泰拉方程式

洛特卡－沃爾泰拉方程式（Lotka-Volterra equation）別稱掠食者—獵物方程式。是一个二箍一階非線性微分方程式組成。定定用來描述生物系統內底，掠食者佮獵物進行互動時的動態模型，也就是兩个族群規模的消長。這方程式分別佇一九二五年和一九二六年，由阿塱雷德 ・ 洛特卡佮維濟 ・ 沃爾泰拉獨立發表。

$ { \ frac { dx } { dt } }=x ( \ alpha-\ beta y ) $

$ { \ frac { dy } { dt } }=-y ( \ gamma-\ delta x ) $

• _ y _ 是掠食者（如狼）的數量；
• _ x _ 是獵物（如兔仔）的數量；
• _ dy / dt _ 佮 _ dx / dt _ 表示頂懸兩族群互相對抗的時間之變化；
• _ t _ 表示時間；
• _ α _ , _ β _ , _ γ _ 佮 _ δ _ 表示佮兩項互動有關係的係數，攏為正實數。

生物學上的意義

以下將式子乘開，按呢會使較會使解說方程式的實際意義。

獵物族群的增值速度

第一式所表達的是獵物族群的增值速度：

$ { \ frac { dx } { dt } }=\ alpha x-\ beta xy $

此模型假使獵物所接受的食物予已經達到上極限，而且除非遭遇捕食者的掠食，抑若無生湠數量的增加以指數方式成長，其實指數成長的情形，則以上述方程式中的 _ αx _ 表現。另外閣假做獵物遭遇掠食的比例，佮獵物遭遇掠食者的機會成常算比，以上述方程式中的 _ βxy _ 表現。若是 _ x _ 抑是 _ y _ 其中一个替零，著攏有可能是無咧掠食行為出現。

由欲講的方程式會當知影講：獵物族群規模的改變，本身受著掠食的大量的大量影響。

掠食者族群的增值速度

第二式所表達的是掠食者族群的增值速度：

$ { \ frac { dy } { dt } }=\ delta xy-\ gamma y $

這方程式內底的 _ δxy _ 表示會抓食者族群的成長（可能會佮掠食者佮拍獵物的數量比例相𫝛，但是掠食者佮拍獵物的數量比例是以無仝的常數表示，而且無一定佮族群的成長相等。）_ γy _ 表示會抓食者自然會死亡，做指數衰減。

由欲講的方程式會當知影講：掠食者族群整模改變，是獵食者族群的成長，減去其自然死亡的部份。

方程式的解決

這方式有這禮拜的程式，猶毋過無解析解。通過龍格－庫塔法的數字計算了，掠食者佮獵物的族群大小變化會當表達成兩个曲線圖樣。生態上的實際大概嘛會照遮爾簡單模式，毋過詳細的狀況會有所出入。

此模式系統當中，做獵物數量充足的時陣，掠食者的族群也會興旺起來。猶毋過掠食者的族群到尾仔猶原閣會因為超過獵物所會當供給的數量猶原開始咧衰減。做掠食者的族群族群縮減，是獵物族群會閣再增加。兩者的族群屎尿以週期性的成長佮衰減進行循環。

族群規模的平衡

族群的平衡會發生佇族群的大細無閣再變化的時陣。比如講：兩條微分方程式攏等於零的時陣。

$ x ( \ alpha-\ beta y )=零 $

$-y ( \ gamma-\ delta x )=零 $

求解述方程式的 _ x _ 佮 _ y _ 可得：

$ \ left \ { y=零 , x=零 \ right \ } $

以及

$ \ left \ { y={ \ frac { \ alpha } { \ beta } } , x={ \ frac { \ gamma } { \ delta } } \ right \ } , $

對這會當知影講有兩組解。

頭一組解實際上是表示兩个物種的滅絕，你若是兩个族群攏替零，則這个狀況會永久繼續落去。第二組解表示一个無動點，意思是兩个族群會當維持一个無準零的數量，並且佇簡單的模型內底會當永久繼續。係數 α , β , γ , 佮 δ，會當決定族群規模會佇啥物款的情形之下達成平衡的狀態。

袂振動的穩定性

袂振動的穩定性會當利用偏導數，共其實以線性化的方式呈現。

產生的掠食者拍獵物模型之雅可比矩陣如下：

$ J ( x , y )={ \ begin { bmatrix } \ alpha-\ beta y &-\ beta x \ \ \ delta y & \ delta x-\ gamma \ \ \ end { bmatrix } } $

第一無法度

當數值為 ( 零 , 零 ) 穩定狀態，著雅可比矩陣變做：

$ J ( 零 , 零 )={ \ begin { bmatrix } \ alpha & 零 \ \ 零 &-\ gamma \ \ \ end { bmatrix } } $

這矩陣的特徵值為：

$ \ lambda _ { 一 }=\ alpha , \ quad \ lambda _ { 二 }=-\ gamma $

模型中的 _ α _ 佮 _ γ _ 永遠比零大，而且每一的特徵值的符號永遠無仝款。按呢會當知影佇原點的不動點是一个鞍點（saddle point）。

此不動點穩定性誠重要，當處穩定態的時陣，非零的族群會較傾向伊。一寡初初的族群可能會行向滅絕。毋過當當袂振動因為原點的時陣，嘛是一个鞍點，所以並無穩定。所以佇遮模型中，兩个物種攏歹消絕。除非用人為的方式將獵物完全消滅，並使掠食者因為飢荒來死亡。若是共掠食者完全攏滅去，是獵物的族群增長情形，會脫離遮爾簡單模型。

第二無振動

佇第二不動點求 _ J _ 會當值得：

$ J \ left ( { \ frac { \ gamma } { \ delta } } , { \ frac { \ alpha } { \ beta } } \ right )={ \ begin { bmatrix } 零 &-{ \ frac { \ beta \ gamma } { \ delta } } \ \ { \ frac { \ alpha \ delta } { \ beta } } & 零 \ \ \ end { bmatrix } } $

這矩陣的特徵值為：

$ \ lambda _ { 一 }=i { \ sqrt { \ alpha \ gamma } } , \ quad \ lambda _ { 二 }=-i { \ sqrt { \ alpha \ gamma } } $

當特徵值攏為複數的時，所以無法度振動為一个焦點。實部為零使其成做一个中心。這表示會當掠食者佮獵物族群規模呈現循環消長，而且以此不動點為中心來回震盪。

飽佮沃爾泰拉方程式

$ { \ frac { dr } { dt } }=二 * r ( t )-{ \ frac { \ alpha * r ( t ) * f ( t ) } { 一 + s * r ( t ) } } $ ;

$ $ { \ frac { df } { dt } }=-f ( t ) + { \ frac { \ alpha * r ( t ) * f ( t ) } { 一 + s * r ( t ) } } $ $

圖示當 α=空九九空一，s=零抹著零零一時的飽佮沃爾泰拉方程式。

出名例

• 加拿大的山貓（Lynx）佮雪兔（Snowshoe Hare）數量消長情形。

參見

• 洛特卡－沃爾泰拉種間競爭方程式
• 群體動力學
• 生物數學

外部連結

• Lotka-Volterra Predator-Prey Model by Elmer G . Wiens（英文）
• 尼古拉 ・ 巴卡赫，情愛麗，張太雷，劉俊利   : 數學人口動力學簡史，二千空二十二 , Pdf