牛頓第二運動定律

佇這篇文章內底，向量佮純量分別用粗體佮趨體顯示。比如講，位置向量通常用 $ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 表示；毋過其大細則用 $ r \ , \ ! $ 來表示。

牛頓第二運動定律（Newton's second law of motion）顯明，物體所受著的外力等於動量對時間的階導數 ( 一改微分值 )。物體咧運動中質量不變的時，牛頓第二定律嘛會當用質量佮加速度的乘積表示。

一六八七年，英國物理學家艾薩克 ・ 牛頓踮咧巨著《自然哲學的數學原理》內底，提出牛頓運動定律，其中有三條定律，分別為牛頓第一定律、牛頓第二定律佮牛頓第三定律。牛頓第二定律閣號做「加速度定律」。

牛頓第二定律予人呵咾做古典力學的靈魂。佇古典力學佇，伊會當主導千變萬化的物體運動佮精彩順序的物理現象。牛頓第二定律的用途足廣泛，伊會當用來設計平穩地驚徛佇雲端的台北一百空一摩天大廈，嘛會當用來計算對地球發射火箭登陸月球的運動軌道。

牛頓第二定律是一个牽涉著物體運動的理論，根據這定律，任意物體的運動所出現的改變，攏是對外力的設施加於這物體。這理論致使古典力學的誕生，是科學史的一个紀念意義，進前干焦是描述自然現象的理論袂閣予人採納，取代之的是這个創立了一種理性的因果關係架構的新理論。實際來講，古典力學的嚴格的因果屬性，對西方思想佮文明的發展，產生了足大的影響。

概述

牛頓第二定律的表明，施加佇物體的外力等於這个物體動量的時變率：

$ \ mathbf { F }={ \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { p } } { \ mathrm { d } t } } $；

其中，$ \ mathbf { p } $ 是動量，$ t $ 是時間。

因為動量等於質量乘以速度，所以乎，假使質量不變，會當得著加速度的形式的牛頓第二定律，假若質量綴時間咧流行，是這个系統會當變質量系統，必須愛共時的變質量納入考量，閣較濟內容，請參閱會當變質量系統。

加速度的形式的牛頓第二定律

當咧運動的物件體質量不變的時，牛頓第二定律會當表示講：物體所受著的外力等於質量佮加速度的乘積，啊若加速度佮外力仝款的方向。用方程式去表達，

$ \ mathbf { F }=m \ mathbf { a } $；

其中，$ \ mathbf { F } $ 是外力，$ m $ 是質量，$ \ mathbf { a } $ 是加速度。

按照第二定律，設定物體的質量無變，則物體的加速度佮所受著的外力成正比，設定物體所受著的外力無變，則物體的加速度佮質量成反比。

設施加外力佇某物體，因為彼个物體加速度干焦佮外力、質量有關，佇任何狀況之下，質量不變的物體攏會表現出仝款的加速度：

: $ \ mathbf { a }=\ mathbf { F } / m $。

• 慣性參考系：若欲知影物體佇某一的時刻加速度，著愛對某一个靜止物體（抑是呈等速直線運動的物體）測量物體綴時間的流易而改變的位徙，啊若佇外力做零的提落來，這个靜止物體（抑是呈等速直線運動的物體）著愛保持運動的狀態無變，意味必須對慣勢參考系來測量整個物理系統。所以，牛頓第二定律已經事先假使，物體的加速度是對慣性參考系測量到的數值。
• 質量守恆：古典力學有一个隱藏的假定，即質量守恆，這閣予人叫做是「牛頓第空運動定律」。 牛頓並無直接的所在提出這定律。第空運動定律表明，物體的質量守恆，佮速度無關係，物體的受力無關係．做幾个仔物體交互作用的時陣，凡勢有質量對一个物體轉移到另外一个物體，毋過總質量不變。
• 決定性：牛頓第二定律是一種決定性定律。假定物體的質量、初始位置佮初初速度為已經量量，是對物體加於物體外力，會當應用牛頓第二定律來計算出物體佇其運動軌跡的任意時間的位置佮速度。

牛頓的這个論述

原版第二定律的英文翻譯做：

「 motion」是「quantity of motion」的簡稱，佇遮指出來是物體的動量。「impressed force」指甲是衝量。規个句共翻譯做：

牛一對動量佮衝量彼此之間的關係的作解說：「 設施加佇物體的衝量造成物體的動量改變，則雙倍的衝量會造成雙倍的動量改變，三倍的衝量會造成三倍的動量改變，無論衝量是全部同時施加，抑是一部份一部份沓沓仔施加，所造成的動量改變攏仝款。

動量改變佮原先動量之間的關係：這動量改變必定佮施加的衝量仝方向。準講佇咧衝量施加進前，物體已經有啥物動量，動量改變會佮原底動量相加抑是相減，𪜶是仝方向的抑是顛倒方向的定，假使動量改變佮原先動量呈現某角度，最終動量是兩項依照角度合成的結果。」

牛頓所使用的術語的涵意、伊對第二定律的認知、伊想欲第二定律按怎予眾學者認知、佮牛頓表述佮現代表述之間的關係，科學歷史學者對遮的論題攏已經做過廣泛地研究佮討論。

進階論述

任何物理定律攏愛有可證偽性，必須愛對物理定律做實驗證實有正無。為著欲知影講這个確牛頓第二定律敢有可證偽性，著愛對加速度、力佮質量做測量。測量加速度足簡單，加速度是速度的時間變率，只要會當測著速度改變佮時間隔，著會當算出加速度。毋過，欲按怎測量力佮質量？力佮質量的定義是按怎？欲按怎佇定義內底予出物理量的量度程序？

佇咧對質量佮力出定義了後，照遮的定義內面的定量來描述量物體的質量佮物體的受力，閣加上對觀測物體的運動得著的加速度，就會當真容易地檢試牛頓第二定律的正確性。

力的定義

足濟捷用教科書對於力的定義無盡人意。佇大衛 ・ 哈勒代佮羅伯特 ・ 瑞思尼克著作的教科書《基礎物理》內底，力予人定義為造成物體加速的作用。類似地，佇咧《大學物理》教科書內底，力嘛予人定義做兩个物體之間抑是物體佮環境之間的作用。猶毋過，𪜶攏無對「作用」給出解說。保羅 ・ 泊羅佇《科學家佮工程師的物理》教科書內底，將力定義為造成物體改變速度的影響。遐爾，「 影響」閣是啥物咧？佇咧道格拉斯 ・ 基安會當理編寫的教科書內面，力的定義是會當直覺予人體驗做對物體的「捒」抑是「搝」。 可是，作者並無進一步咧解說推捒抑是搝按怎改變物體的運動狀態。遮的概念性定義攏無法度對於力這个基礎術語用更加做基礎的概念來表達。

古斯塔夫 ・ 克就希荷夫首先提議，將力定義做質量佮加速度的乘積。提議這款，第二定律只是一个數學定義式，毋是自然定律。假若第二定律只是一个數學定義式，則伊佇物理學內底攏無路用，因為無法度對數學定義式對大自然發生的任何預測。整個古典力學會變做一種公理化理論，所有結論攏是源自於這个定義，毋是源自從做實驗推斷出來的「自然定律」。 實際來講，這提議無欲共佇大自然各種各樣的力，像彈力、引力、電磁力等等，納入考量，伊忽略每一種力量的特別性質，比如講，每一種力攏有伊的物質源。假使若欲共實際物理引入去這公理化理論，無必須檢試對於力的定義所推導出的結果敢有符合實際物理，干焦符合實際物理的定義才會當予人採納，嘛會使講，對對於力的定義所推導出的結果必須符合實驗的檢試，抑若無袂使予人採納。

有一寡學者主張使用操作定義的方法來對力予出嚴格定義，假設兩條仝款的弓仔被延伸仝款的距離，其各人的產生「彈力」（一種物理現象）相仝，是將這兩條弓仔並聯，會當製做兩倍的彈力，閣將一物體的雙爿分別連接這兩枝弓仔的尾溜，激彈力方向倒反，是一个物體用佇咧物體的淨力做零，物體的運動狀態袂改變。為著對著彈力予出定量描述，設定「標準單位力」為某特定弓仔延伸特定距離所產生的彈力。講這特定弓仔做「標準弓仔」。 任意整數倍的標準單位力攏會當用幾條標準弓仔所組成的系統來實現，對標準單位力的任意分數倍，會當應用阿基米德的槓桿原理來實現。弓仔系統會當用來做測量實驗，對任意力來做比較，予出伊的測量值。比如講，假使懸掛佇咧兩條標準弓仔的一个物體，拄好會當共這兩條標準弓仔延伸特定距離，則這物體的重量等於兩個標準單位力。

質量的定義

雖然質量佇咧物理學教育內面佔有中心地位，人並無真清楚質量的概念，真濟教科書對質量的定義嘛無啥貨予人滿意，𪜶攏有一寡重大的瑕疵。這寡定義所牽涉著的困難，大部份攏出現佇共古典描述融入現代描述的後果內底，而且清楚的佇咧相對論、量仔色動力學、強交互作用理論等等現代理論內面顯現出來。

物質數量

有一種會當追溯到中世紀的定義將質量設定做物體內部所有的物質數量。這嘛是牛頓佇伊的巨著《自然哲學的數學原理》內底對質量予出的定義，定義這個定義，質量會使對物體的密度佮體積乘積求得。德國物理學者恩斯特 ・ 馬赫對這定義有夠嚴厲批評，伊認為這定義觸犯了循環推理，因為密度的定義是每單位體積的質量。

對測量的角度來看，牛頓並無受出任何測量密度的方法，所以乎，也無讓出測量質量的方法。牛頓袂使對質量佮密度仝時予出定義，所以，質量並無被嚴格定義。猶毋過，牛頓的想法並毋是按呢，伊共物體看做是由真濟微細的基本粒仔齊勻成做聚集體，伊認為講這聚集體的結構是閣較做基礎的概念，算物體的質量，伊會數算物體的細粒子數量，這數量乘以逐个基本粒仔的質量就是物體的質量。所以，只要設定某參考物體 S 的質量為標準質量，這參考物體 S 會當是石頭、金仔角抑是鐵枝．遐爾，n 個物體 S 的質量定著這標準單位質量的 n 倍。

慣性質量

另外一種定義是對慣性的概念。佇遮定義內底，質量予人用來量度物體對改變伊的運動狀態的抗拒能力。所以予人號做「慣性質量」。 毋過，這定義是按怎著無論，伊並無讓出量度質量的方法，人無法度直接估算物體的質量數值，所以，這定義敢若親像是一款形上學定義。

回溯佇古典力學，假使用一條進前論述的標準弓仔，施加一个標準單位力 $ \ mathbf { F } _ { 零 } $ 佇某物體，會當對測量這个物體綴時間咧流易呈現的速度，估算出這个物體的加速度，標記其為 $ \ mathbf { a } _ { 零 } $。繼續做實驗，假使設施加兩个標準單位力 $ 二 \ mathbf { F } _ { 零 } $ 佇這个物體，會使對測甲這物體加速度為著 $ 二 \ mathbf { a } _ { 零 } $。類似地做實驗，施加彈力 $ \ mathbf { F } $ 佇這个物體，然後測量這个物體的加速度 $ \ mathbf { a } $，會當得著力佮加速度彼此之間的關係式：

$ \ mathbf { F }=k \ mathbf { a } $；

其中，$ k $ 是比例常數。

辨識這比例常數為慣性質量，就會當看著這關係式就是牛頓第二定律的方程式。

馬赫的質量定義

因為種種概念性定義的種種缺點，學者定定會使用操作性定義來予出定量來描述，這款定義追溯到恩斯特 ・ 馬赫對質量定義的原創研究。馬赫的定義干焦使用著運動學概念，完全無需要牽連著力的概念。

假使一般佇宇宙內底的兩个物體 A、B 賰的物體不止仔遠，所以這兩个物體會當予人看做是處一个孤立系統。對某一个慣性系統觀察，這兩个物體互相影響予𪜶會當各自呈現的加速度分別為 $ \ mathbf { a } _ { AB } $、$ \ mathbf { a } _ { BA } $。對所有完成的關於這類系統的實驗總結，𪜶的加速度的方向相反，比率會當用「加速度比率公式」來表達為

$ { \ frac { a _ { AB } } { a _ { BA } } }=k _ { BA } $；

其中，$ k _ { BA } $ 是標量常數。

標量常數 $ k _ { BA } $ 的恆定無變會當予人看做是力學的一條基礎定律，其實驗得著的結果。馬赫特別為此提出「實驗命題」：佇實驗物理學設定的狀況下，兩个物體引發對方沿著彼此連線各自呈現倒反的加速度方向，加速度的比率為常算，並且佮物體的物理狀態無關係。

設想另外一个物體 C，因為物體 C 佮 A、C 佮 B 彼此之間的交互作用，照第一實驗命題，

$ { \ frac { \ mathbf { a } _ { AC } } {-\ mathbf { a } _ { CA } } }=k _ { CA } $、

$ { \ frac { \ mathbf { a } _ { BC } } {-\ mathbf { a } _ { CB } } }=k _ { CB } $。

對做外个實驗獲得的另外一个重要結果會使用「標量常數公式」來表達為

$ { \ frac { k _ { CA } } { k _ { BA } } }=k _ { CB } $。

所以，會當得著關係式

$ K _ { BA } \ mathbf { a } _ { BC }=-K _{ CA } \ mathbf { a } _ { CB } $。

這關係式顯示出，選擇物體 A 為標準物體，遐爾，每一个其他的物體攏會伴隨著一个常數，任何佮該物體交互作用的物體攏無法度改變這常數。常數 $ K _ { BA } $ 會當予人叫做是物體 B 的質量，佮物體相對物體 A。因為物體 A 是參考物體，常數 $ K _ { BA } $ 會用予人簡稱做物體 B 的質量 $ m _ { B } $。按呢乎，關係式會當予人改寫為「質量-加速度關係式」

$ m _ { B } \ mathbf { a } _ { BC }=-m _ { C } \ mathbf { a } _ { CB } $。

這質量定義的適用範圍足廣的啦，比如講，做兩个物體 A、B 被連結一條理想弓仔的兩爿的時陣，𪜶彼此之間的交互作用為彈力，先將弓仔壓縮，然後放輕鬆，對測量𪜶就按呢振動出現的加速度，會當按照加速度比率公式計算出標量常數 $ k _ { BA } $。閣舉一个例，做兩个物體 A、B 咧進行克卜勒二體運動的時陣，𪜶彼此之間的交互作用為引力，對測量𪜶進行軌道運動的加速度，會當計算出標量常數 $ k _ { BA } $。對遮的案例，頭前列出的加速度比率公式佮標量常數公式攏成立。這質量定義會當予出一種用來較質量的方法，其實按呢做質量定義的重要目的。

注意著質量-加速度關係式展出，做兩个物體交互作用的時陣，兩粒的質量佮加速度大細的乘積相等，並且這乘積佮兩个物體的相對位置、相對速度抑是時間有關。將力定義做質量佮加速度大細的乘積：

$ \ mathbf { F } _ { CB } { \ stackrel { def } {=} } m _ { C } \ mathbf { a } _ { CB } $。

這就是牛頓第二定律。

將力的定義式代入質量-加速度關係式，就會當得著牛頓第三定律：做兩个物體交互作用的時陣，互相施加於對方的力，其大細相等、彼方向倒反，

$ \ mathbf { F } _ { BC }=-\ mathbf { F } _ { CB } $。

實驗驗證

一九八三年，不德采 ・ 米爾格若姆提出的修正牛頓動力學理論表明，因為星系自轉問題，即予觀測著的佇星系內恆星的速度比牛頓力學的預測速度，牛頓萬有引力定律抑是牛頓第二定律可能需要修正。除了暗物質理論以外，修正牛頓動力學理論嘛會當用來解說星系自轉問題。這个理論的適用區域大約佇加速度為 $ a _ { 零 } \ approx 二 \ times 十 ^ { 鋪十 } \ ; \ mathrm { m / s ^ { 二 } } $ 的數量級。為著符合天文物理學數據，這理論講將牛頓第二定律修改做

$ \ mathbf { F }=m \ mathbf { a } \ \ mu ( a / a _ { 零 } ) $；

其中，$ \ mu ( a / a _ { 零 } ) $ 是一个函數，其符合以下兩个條件：

• 當 $ a \ gg a _ { 零 } $ 時，$ \ mu ( a / a _ { 零 } ) \ to 一 $。
• 當 $ a \ ll a _ { 零 } $ 時，$ \ mu ( a / a _ { 零 } ) \ to 零 $。

一般來講，佇各種物理案例內底，罕得會拄著小可加速度，毋過，假若修正牛頓動力學理論確實被證實，是規个古典力學佮廣義相對論攏需要予人修改。所以，驗證修正牛頓動力學理論是真重要的實驗研究論題。

一九八六年，使用干涉儀測量排質量的加速度對時變電場的響應，物理學者證實，佇咧加速度為著 $ 三 \ times 十 ^ { 鋪十一 } \ ; \ mathrm { m / s ^ { 二 } } $ 的狀況之下，牛頓第二定律猶原有效。二空空七年，使用扭排來表現對時變電場的響應，實驗證實，佇咧加速度為著 $ 五 \ times 十 ^ { 鋪十四 } \ ; \ mathrm { m / s ^ { 二 } } $ 的狀況之下，牛頓第二定律正確無誤。二空一一年，物理學者做實驗測量微波共振器對引力作用的響應，但並無佇咧加速度為 $ 十 ^ { 鋪十 } \ ; \ mathrm { m / s ^ { 二 } } $ 的狀況之下揣著任何偏差。二空一四年，使用紐秤來量度引起的加速度，物理學者佇加速度為 $ 十 ^ { 鋪十二 } \ ; \ mathrm { m / s ^ { 二 } } $ 的狀況之下猶無發現任何偏差。

衝量

設施加外力 $ \ mathbf { F } $ 佇某物體的時間有 $ \ Delta t $ 遐久，是這等於施加衝量 $ \ mathbf { J } $ 佇這个物體：

$ \ mathbf { J }=\ int _ { \ Delta t } \ mathbf { F } \ , \ mathrm { d } t $。

根據現代的第二定律，

$ \ mathbf { F }=m \ mathbf { a } $。

經過 $ \ Delta t $，假定質量不變，動量 $ \ mathbf { p } $ 的改變為

$ \ Delta \ mathbf { p }=m \ Delta \ mathbf { v }=m \ int _ { \ Delta t } \ mathbf { a } \ , \ mathrm { d } t=\ int _ { \ Delta t } \ mathbf { F } \ , \ mathrm { d } t $。

所以乎，衝量佮動量之間的關係式為

$ \ mathbf { J }=\ Delta \ mathbf { p } $。

這就是原版第二定律。

衝量的概念不時咧用來分析相挵佮挵的問題。

會當變質量系統

火箭的燃料經過燃燒以後，會產生高溫高壓氣體，經過加速排氣到外界，就會當推動火箭進前。第二定律袂當直接應用佇這種可變質量系統。基本來講，第二定律只會當應用佇單獨粒子（抑是理想化做粒仔的物體）， 其質量守恆啦。對真濟粒子系統的案例，必須愛共第二定律加起來做延伸

$ \ mathbf { F } _ { \ mathrm { ext } }={ \ frac { \ mathrm { d } \ mathbf { p } } { \ mathrm { d } t } }={ \ frac { \ mathrm { d } } { \ mathrm { d } t } } ( M \ mathbf { v } _ { \ mathrm { cm } } ) $；

其中，$ \ mathbf { F } _ { \ mathrm { ext } } $ 是施加於系統的淨外力，$ \ mathbf { p } $ 是系統的動量，$ M $ 是系統的總質量，$ \ mathbf { v } _ { \ mathrm { cm } } $ 是系統質心的速度。

假使淨外力 $ \ mathbf { F } _ { \ mathrm { ext } } $ 為零，是動量守恆，上蓋起初動量 $ \ mathbf { p } _ { i } $ 等於最終動量 $ \ mathbf { p } _ { f } $：

$ \ mathbf { p } _ { i }=\ mathbf { p } _ { f } $。

假佇時間佇時間 $ t $ 佮 $ t + \ mathrm { d } t $ 之間，火箭的質量對 $ m $ 變做是 $ m + \ mathrm { d } m $，即質量為 $-\ mathrm { d } m $ 的燃料予燃燒佮排出，燃料排出時的速度為 $ \ mathbf { U } $，火箭的速度對 $ \ mathbf { v } $ 變做是 $ \ mathbf { v } + \ mathrm { d } \ mathbf { v } $，遐爾，動量守恆方程式會當寫做

$ m \ mathbf { v }=( m + \ mathrm { d } m ) ( \ mathbf { v } + \ mathrm { d } \ mathbf { v } )-\ mathbf { U } \ mathrm { d } m $。

注意著火箭速度 $ \ mathbf { v } $ 佮燃料速度 $ \ mathbf { U } $ 攏是對發射台參考系觀測著的速度。遐爾，和火箭參考系比起來是真濟．燃料排出的相對速度 $ \ mathbf { v } _ { rel } $ 為

$ \ mathbf { v } _ { rel }=\ mathbf { U }-\ mathbf { v }-\ mathrm { d } \ mathbf { v } $。

經過一番運算講，會用得著

$ \ mathbf { v } _ { rel } { \ frac { \ mathrm { d } m } { \ mathrm { d } t } }=m { \ mathrm { d } \ mathbf { v } \ over \ mathrm { d } t } $。

對火箭一類會當變質量系統，必須愛共第二定律的方程式添加一个項目，這項目專門計算進入抑是離開火箭的質量所帶有的動量：

$ \ mathbf { F } _ { ext } + \ mathbf { v } _ { rel } { \ frac { \ mathrm { d } m } { \ mathrm { d } t } }=m { \ mathrm { d } \ mathbf { v } \ over \ mathrm { d } t } $；

其中，$ \ mathbf { F } _ { ext } $ 是加佇火箭的外力，譬如講地球施加佇火箭的重力。

火箭的推捒力定義為

$ \ mathbf { F } _ { t } \ { \ stackrel { def } {=} } \ \ mathbf { v } _ { rel } { \ frac { \ mathrm { d } m } { \ mathrm { d } t } } $。

共這个定義式代入去，會用得著

$ \ mathbf { F }=m \ mathbf { a } $

其中，$ \ mathbf { F }=\ mathbf { F } _ { ext } + \ mathbf { F } _ { t } $ 這是外力佮推力的向量佮。

參閱

• 伊薩克呢 ・ 牛頓
• 牛頓運動定律
• 牛頓第一運動定律
• 牛頓第二運動定律
• 牛頓第三運動定律
• 物理學定律列表

參考文獻

• Dugas , R . , A History Of Mechanics , New York : Dover Publications , Inc . , 一千九百八十八 , ISBN  空九四百八十六鋪六七五千六百三十二孵二
• Feather , N . , an introduction to the physics of mass , length , and time , Great Britain : Edin burgh University Press , 一千九百五十九
• 費曼，理查；雷頓，羅伯仔；山德士，馬修，費曼物理學講義 I 力學、輻射佮熱 ( 二 ) 力學，台灣：天下文化冊，兩千空七 , ISBN  九百七十八八九百八十六鼻四百一十七刣八百五十九九九
• French , Anthony , Newtonian Mechanics , 一千九百七十一
• Halliday , David ; Resnick , Robert ; Walker , Jerl , Fundamental of Physics 七 th , USA : John Wiley and Sons , Inc . , 兩千空五 , ISBN  空九四百七十一鋪二四三千兩百三十一鋪九
• Lindsay , Robert , Physical Mechanics : An Intermediate Text for Students of the Physical Sciences , D . Van Nostrand Company , Inc . , 一千九百五十 , ISBN  九百七十八孵四四千兩百空四四排七千九百五十五
• Lindsay , Robert ; Margenau , Henry , Foundations of physics , Dover Publications , 一千九百五十七 , ISBN  九百七十八追九九石一千八百空二四千一百七十六
• 馬赫，恩斯特，The science of mechanics ; a critical and historical account of its development , Watchmaker Publishing , 二千空一十 [一千九百十九] , ISBN  九百七十八追十六鋪空三百八十六鋪三千兩百五十四
• 馬克士威，詹姆斯，Matter and Motion , D . Van Nostrand , 一千八百七十八
• Newton , Isaac , Newton's Principia  : the mathematical principles of natural philosophy , New York : Daniel Adee , 一千八百四十六  （請上網閱讀作者 Andrew Motte 的英文翻譯。）
• Poincaré ,Henri , Science and Hypothesis , 一千九百空五 [二千空一十八孵十二十四] ,（原始內容存檔佇咧二千空二十一抹四鋪十三）  < / ref >
• Thornton , Stephen ; Marion , Jerry , Classical Dynamics of Particles and Systems 五 th , Brooks / Cole , 兩千空四 , ISBN  九百七十八追空七五百三十四抹四配空八百九十六孵一
• Sommerfeld , Arnold , Mechanics ( Lectures on Theoretical Physics , Volume I ) , Academic Press , 一千九百五十二