狄利克雷核
佇數學分析中，狄利克雷核是指函數列：
- $ D _ { n } ( x )=\ sum _ { k=-n } ^ { n } e ^ { ikx }=一 + 二 \ sum _ { k=一 } ^ { n } \ cos ( kx )={ \ frac { \ sin \ left ( \ left ( n + { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) x \ right ) } { \ sin ( x / 二 ) } } . $
狄利克雷核的名稱得自約翰 ・ 那個得 ・ 狄利克雷。
狄利克雷核的主要應用是佇咧傅立葉級數內底。_ Dn _ ( _ x _ ) 和任何以二 π 共周期這个函數 _ f _ 卷積是 _ f _ 的第 _ n _ 階傅立葉級數逼近，也就是講：
- $ ( D _ { n } * f ) ( x )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ {-\ pi } ^ { \ pi } f ( y ) D _ { n } ( x-y ) \ , dy=\ sum _ { k=-n } ^ { n } { \ hat { f } } ( k ) e ^ { ikx } , $
其中
- $ { \ hat { f } } ( k )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ {-\ pi } ^ { \ pi } f ( x ) e ^ {-ikx } \ , dx $
是 _ f _ 的第 _ k _ 個傅立葉係數。所以，為著研究傅立葉級數的收斂性質，只需要研究相應的狄利克雷核的性質。狄利克雷核的一个重要特徵是當 _ n _ 當咧散食，_ Dn _ 的 _ L _ 一範上天嘛較差不多，並且有：
- $ \ | D _ { n } \ | _ { L ^ { 一 } } \ approx \ log n $
其中 $ \ approx $ 表示兩項為「仝階級別」的散赤大。狄利克雷核的缺乏一致使收斂性是致使真濟傅立葉級數發散的原因。比如講，運用狄利克雷核佮一致有界原理咱會當證明連紲函數的傅立葉級數甚至無一定逐點收縮。參見傅立葉級數的收斂性。
佮狄拉克 δ 函數的關係
狄拉克 δ 函數並毋是嚴格意義上的函數，閣較濟地是一个「廣義函數」，抑是講「分布」。 將周期狄拉克 δ 函數乘二 π，就會當得著關於周期為二 π 彼个卷積運算的單位元，即對二 π 共周期這个函數 _ f _，有：
- $ f * ( 二 \ pi \ delta )=f \ , $
這乎「函數」的傅立葉級數為：
- $ 二 \ pi \ delta ( x ) \ sim \ sum _ { k=-\ infty } ^ { \ infty } e ^ { ikx }=\ left ( 一 + 二 \ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } \ cos ( kx ) \ right ) . $
所以，做為此級數的一个部份佮，狄利克雷核會用得看作一个「恆等逼近」。 毋過，這个恆等逼近並毋是「正項」的（毋是正值函數）， 所以有頂懸的局限。
三角恆等式的證明
上文中的三角恆等式
- $ \ sum _ { k=-n } ^ { n } e ^ { ikx }={ \ frac { \ sin \ left ( \ left ( n + { \ frac { 一 } { 二 } } \ right ) x \ right ) } { \ sin ( x / 二 ) } } $
會當用等比數列的求佮公式得著：首先
- $ \ sum _ { k=零 } ^ { n } ar ^ { k }=a { \ frac { 一-r ^ { n + 一 } } { 一-r } } . $
所以有：
- $ \ sum _ { k=-n } ^ { n } r ^ { k }=r ^ {-n } \ cdot { \ frac { 一-r ^ { 二 n + 一 } } { 一-r } } . $
在式中將分子佮分母各乘 _ r _ − 二分之一，就有：
- $ { \ frac { r ^ {-n-二分之一 } } { r ^ {-二分之一 } } } \ cdot { \ frac { 一-r ^ { 二 n + 一 } } { 一-r } }={ \ frac { r ^ {-n-二分之一 }-r ^ { n + 二分之一 } } { r ^ {-二分之一 }-r ^ { 二分之一 } } } . $
當 _ r _=_ e _ ix 時間就有：
- $ \ sum _ { k=-n } ^ { n } e ^ { ikx }={ \ frac { e ^ {-( n + 二分之一 ) ix }-e ^ { ( n + 二分之一 ) ix } } { e ^ {-ix / 二 }-e ^ { ix / 二 } } }={ \ frac { 鋪二 i \ sin ( ( n + 二分之一 ) x ) } { 鋪二 i \ sin ( x / 二 ) } } $
等式做 $ e ^ { ix } \ neq 一 $ 時，即對著毋是 $ 二 \ pi $ 整數倍的 _ x _ 成立。
對於為 $ 二 \ pi $ 整數倍的 _ x _，因為 $ { \ frac { \ sin ( ( n + 二分之一 ) x ) } { \ sin ( x / 二 ) } } $ 佇咧對應點極限是第二 n + 一
- $ \ lim \ limits _ { x \ to 二 k \ pi } { \ frac { \ sin ( ( n + 二分之一 ) x ) } { \ sin ( x / 二 ) } }=二 n + 一 $
所以會當共表達式延續函數，予遮的對任意 _ x _ 攏成立。
狄利克雷核的性質
- 狄利克雷核是一个三角外項式，所以是無散階可導的周期函數；
- 狄利克雷核是尪仔函數；
- 狄利克雷核的平均值是一；
- 佇當咧全無散赤的平均值為：
- $ \ | D _ { n } \ | _ { 一 }={ \ frac { 一 } { 二 \ pi } } \ int _ {-\ pi } ^ { \ pi } | D _ { n } ( t ) | dt={ \ frac { 四 } { \ pi ^ { 二 } } } \ ln n + O ( 一 ) $