狄拉克算子

佇數學佮量子力學中，狄拉克算子（英語：Dirac operator）是一个微分算子，伊是第二階微分算子（若拉普拉斯算子）彼个形式平方根。保羅 ・ 狄拉克研究的原始案例是形式分解閔可夫斯基空間的算子，得著一種佮狹義相對論兼容的量仔理論形式；為著得著由一階算子產生的拉普拉斯算子，伊引入去矣旋量。

形式定義

一般的，令 D 是作用於黎曼流形 M 大欉的向量 V 的一階微分算子。若是

$ D ^ { 二 }=\ Delta , \ , $

其中 ∆ 是 V 上的拉普拉斯算子，著 D 予人叫做是狄拉克算子。

佇高能物理當中，這个條件定定予人放輕鬆：只有 _ D _ 二的二階部份著愛等於拉普拉斯算子。

例

例一 :_ D=-i _ ∂x 是作用佇咧直線頂懸的切線欉的狄拉克算子。

例二 :阮這馬考慮一个物理學中重要的簡單密：一个限制佇平面上帶有 ½ 家己旋的粒仔的位形空間，這嘛是一个基本流形。伊被表示為波函數 ψ :R二 →C二

: $ \ psi ( x , y )={ \ begin { bmatrix } \ chi ( x , y ) \ \ \ eta ( x , y ) \ end { bmatrix } } $

其中 x 和 y 是R二上的坐標。χ 表示自旋向頂粒子的概率幅，η 佮之類似。所謂的自旋狄拉克算子會當被寫為

: $ D=-i \ sigma _ { x } \ partial _ { x }-i \ sigma _ { y } \ partial _ { y } , \ , $

其中 σi 是泡利矩陣。通過泡利矩陣的反對易關係會當知影講頂頭定義的性質是顯然的。遮的定義矣克利福德代數的概念。

旋量場的狄拉克方程的解定被稱做調佮旋量。

例三 :描述三維空間中自由費米的傳播的狄拉克算子會當寫為

: $ D=\ gamma ^ { \ mu } \ partial _ { \ mu } \ \ equiv \ partial \ ! \ ! \ ! / , $

其中用著費曼趨線標記。

例四 :佇咧克利福德分析中嘛有狄拉克算子。佇咧 n 維歐幾里著空間是

: $ D=\ sum _ { j=一 } ^ { n } e _ { j } { \ frac { \ partial } { \ partial x _ { j } } } $

其中 { _ ej _ : _ j _=一 , . . . , _ n _ } 是 n 維歐幾里得空間的標準正交基，考慮Rn 1875入一个克利福德的代數。

這是阿蒂亞-辛格-狄拉克算子作用佇旋亮欉的特殊情形。

例五 :對一个自旋流形，_ M _，阿蒂亞-辛格-狄拉克算子局部定義如下：對於 _ x _ ∈ _ M _ 和 _ M _ 佇咧 x 處的切空間的局部標準當咧交基 _ e 一 _ ( _ x _ ) , . . . , _ ej _ ( _ x _ )，阿蒂亞-辛格-狄拉克算子是

: $ \ sum _ { j=一 } ^ { n } e _ { j } ( x ) { \ tilde { \ Gamma } } _ { e _ { j } ( x ) } $ ,

其中 $ { \ tilde { \ Gamma } } $ 是對 _ M _ 上的列維-奇維塔聯絡著 _ M _ 上的旋量密密的提升。

推廣

佇克利福德分析內底，算子 _ D _ : _ C _ ∞ (Rk ⊗Rn , _ S _ ) → _ C _ ∞ (Rk ⊗Rn ,Ck ⊗ _ S _ ) 作用佇若下定義的旋量值函數

$ f ( x _ { 一 } , \ ldots , x _ { k } ) \ mapsto { \ begin { pmatrix } \ partial _ { \ underline { x _ { 一 } } } f \ \ \ partial _ { \ underline { x _ { 二 } } } f \ \ \ ldots \ \ \ partial _ { \ underline { x _ { k } } } f \ \ \ end { pmatrix } } $

有時予人號做 _ k _ 克利福德變量的狄拉克算子。頂頭符號中，是旋量空間，_ S _ 是旋量空間，$ x _ { i }=( x _ { i 一 } , x _ { i 二 } , \ ldots , x _ { in } ) $ 是 n 維變量，$ \ partial _ { \ underline { x _ { i } } }=\ sum _ { j } e _ { j } \ cdot \ partial _ { x _ { ij } } $ 是狄拉克算子佇咧第 _ i _ 個變量的額。這是狄拉克算子（_ k=一 _）佮杜比爾特算子（_ n=二 _，_ k _ 任意）的一般推廣。這是一个袂變微分算子，在群 SL ( _ k _ ) ×Spin ( _ n _ ) 的作用之下無變。_ D _ 的分解只有佇一寡特殊情形是已經知的。

參考資料

• Friedrich , Thomas , Dirac Operators in Riemannian Geometry , American Mathematical Society , 兩千 , ISBN  九百七十八追空九八千二百一十八學二千空五十五孵一
• Colombo , F . , I . ; Sabadini , I . , Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra , Birkhauser Verlag AG , 兩千空四 , ISBN  九百七十八石三鋪七千六百四十三鋪四千兩百五十五尺五