白努利數

數學上，白努利數 _ B _ n 是一个佮數論有密切的關聯有理數序列。前幾若項被發現的白努利數分別為：

_ B _ 零=一 , _ B _ ±

一=± 二分之一 , _ B _ 二=六分之一 , _ B _ 三=零 , _ B _ 四=− 三十分之一 , _ B _ 五=零 , _ B _ 六=四十二分之一 , _ B _ 七=零 , _ B _ 八=− 三十分之一 .

標準 ± 佇本文中用來區別兩種無仝款的白努利數定義，這兩種定義干焦佇咧 _ n _=一時有無仝款：

_ B _ −

_ n _ 表示第一白努利數( A 二爿七千六百四十一 / A 二爿七千六百四十二 )，由美國國家標準技術研究所 ( NIST ) 制定，佇這个標準下 _ B _ − 一=− 二分之一 .

_ B _ +

_ n _ 表示第二白努利數( A 十六曲四千五百五十五 / A 二爿七千六百四十二 )，閣予人稱做是「原始的白努利數」，佇這个標準下 _ B _ + 一=+ 二分之一 .

因為對所有大於一的奇數 _ n _ 白努利數 _ B _ n=零，而且真濟公式內底干焦用偶數項的白努利數，一寡作者可能會用 " _ B _ n " 來代表講 _ B _ 二 _ n _，猶毋過佇文中袂使用按呢的簡寫。

等冪求和

白努利數_ B _ n 是等冪求和的解析解中上明顯的特徵，定義等冪佮如下，其中 _ m _ , _ n _ ≥ 零：

$ S _ { m } ( n )=\ sum _ { k=一 } ^ { n } k ^ { m }=一 ^ { m } + 二 ^ { m } + \ cdots + { n } ^ { m } $

這數列和的公式定著是變數為 _ n _，次數為 _ m _ + 一擺足濟項式，這號做白努利多項式。白努利多項式的係數佮白努利數有密切的關係如下：

$ S _ { m } ( n )={ \ frac { 一 } { m + 一 } } \ sum _ { k=零 } ^ { m } { \ binom { m + 一 } { k } } B _ { k } ^ { + } n ^ { m + 一-k } , $

其中 ( _ m _ + 一 _ k _ ) 為二項式係數。

比例講，共 _ m _ 號做一，阮有 $ 一 + 二 + . . . + n={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( B _ { 零 } n ^ { 二 } + 二 B _ { 一 } ^ { + } n ^ { 一 } \ right )={ \ frac { 一 } { 二 } } \ left ( n ^ { 二 } + n \ right ) . $

白努利數上代先由雅各布・白努利研究，袋美麗以伊來號名。

白努利數會當由下列遞迴公式計算：

$ \ sum _ { j=零 } ^ { m } { m + 一 \ choose { j } } B _ { j }=零 $，

初價條件為 _ B _ 零=一。

白努利數嘛會當用母函數技巧定義。𪜶的指數母函數是 _ x _ /（_ ex _ − 一），予伊會當對所有絕對值較細的二 π 的 _ x _（冪級數的收斂半徑），有

$ { \ frac { x } { e ^ { x } 影一 } }=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } B _ { n } { \ frac { x ^ { n } } { n ! } } $。

有時會寫成小寫 _ bn _，以便佮貝爾數分別開。

頭仔二十一項白努利數記佇咧 OEIS 中的數列 A 二爿七千六百四十一佮 A 二爿七千六百四十二。

會當證明著所有毋是一的奇數 _ n _ 有 _ B _ n=零。

數列雄雄看起來袂鬥搭的 _ B _ 十二=− 兩千七百三十分之六百九十一，喻示白努利數袂當初等方式來講；其實𪜶是黎曼 ζ 函數於負整數的值，有深更加的數論性目睭牽連，所以袂當按算是有簡單的計算公式。

白努利數出現佇正切佮雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式，佮黎曼 ζ 函數的一寡值的表達式。

佇一八四二年的這个愛達・勒芙 lè-sìr 的分析機筆記的筆記 G，第一擺記述了一个予電腦生白努利數的算法。

一寡等式

歐拉以黎曼 ζ 函數表達白努利數為：

$ B _ { 二 k }=二 ( 影一 ) ^ { k + 一 } { \ frac { \ zeta ( 二 k ) \ ; ( 二 k ) ! } { ( 二 \ pi ) ^ { 二 k } } } $。

佇咧 [− 一 , 零] 區間上的連紲齊勻機會分布的 _ n _ 階累積量是 _ B _ n / _ n _。

白努利數的算術性質

白努利數會當用黎曼 ζ 函數表達為 _ B _ n=− _ n _ ζ（一 − _ n _），也就說明𪜶本質上是這函數咧負整數的值。所以，推測𪜶有深刻的算術性質，事實嘛有影，這是庫默爾（Kummer）研究費馬大定理的時陣發現的。

白努利數的會當整除性是佮分圓體的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理佮閣較強的埃爾貝朗-里貝定理（Herbrand-Ribet）是咧講。這性質佮實二改體的關係是由安克尼-廷廷-喬拉猜想（Ankeny-Artin-Chowla）給出。白努利數閣和代數 K 理論有關：若是 _ c _ n 是 _ B _ n / 二 _ n _ 的分子，彼款的 $ K _ { 四 n 鋪二 } ( \ mathbb { Z } ) $ 階級是 − _ c _ 二 _ n _ 若是 _ n _ 為偶數；二 _ c _ 二 _ n _ 若是 _ n _ 為奇數。

佮整除性嘛有關連的是馮・施陶特-克勞森定理（von Staudt-Clausen）。這定理是講，若是有適合 _ p _ − 共整除 _ n _ 的質數 _ p _，共一 / _ p _ 加甲 _ B _ n 上，咱會得著一个整數。這個事實給出了非零白努利數 _ B _ n 彼分母的特徵按呢：這寡分母是適合 _ p _ − 共整除 _ n _ 的所有質數 _ p _ 的乘積；故此𪜶攏無平方因為，嘛攏會使予六整除。

吾鄉-朱加猜想猜測 _ p _ 是質數若是唯若 _ pB _ p− 一模 _ p _ 仝款 − 一。

_ p _ 進連續性

白努利數的一个特別重要的同餘性質，會當表述講 _ p _ 進連續性。若是 _ b _，_ m _ 和 _ n _ 是正整數，予得 _ m _ 和 _ n _ 袂使去予 _ p _ − 共整除，佮 $ m \ equiv n \ , { \ bmod { \ , } } p ^ { b 影一 } ( p 影一 ) $，遐爾

$ ( 一-p ^ { m 影一 } ) { B _ { m } \ over m } \ equiv ( 一-p ^ { n 影一 } ) { B _ { n } \ over n } \ , { \ bmod { \ , } } p ^ { b } $。

因為乎 $ B _ { n }=-n \ zeta ( 一-n ) $，這嘛會當寫做

$ ( 一-p ^ {-u } ) \ zeta ( u ) \ equiv ( 一-p ^ {-v } ) \ zeta ( v ) \ , { \ bmod { \ , } } p ^ { b } \ , $，

其中 _ u _=一 − _ m _ 和 _ v _=一 − _ n _，予得 _ u _ 和 _ v _ 無正，猶閣有毋是模 _ p _ − 一仝款餘於一。這共咱講，黎曼 ζ 函數的歐拉乘積公式內底去掉 $ 一-p ^ { z } $ 後，著適合模 _ p _ − 做伙餘於某一个 $ a \ not \ equiv 一 \ , { \ bmod { \ , } } p 影一 $ 的負奇數頂懸的 _ p _ 進數連紲，所以會當延伸到所有 _ p _ 進整數 $ \ mathbb { Z } _ { p } \ , $，會出得_ p _ 進 ζ 函數。

白努利數的幾何性質

佇咧 $ n \ geq 二 $ 予出會當平行流形邊界的怪（四 _ n _ − 一）球，對𪜶的微分同胚類的循環群的階，有凱爾韋爾-米而嗎公式（Kervaire-Milnor），用著矣白努利數。若是 _ B _ 是 _ B _ 四 _ n _ / _ n _ 的分子，按呢遮爾仔這種怪球的數目是 $ 二 ^ { 二 n 鋪二 } ( 一孵二 ^ { 二 n 影一 } ) B $。（拓撲學文章中的公式佮遮無仝款，因為拓撲學家為白努利數編號的習慣無仝。本文佮隨數論家的編號習慣。）

參見

等冪求和
黎曼 ζ 函數

外部連結

白努利數網頁
整數列線上大全—— 佮白努利數有關的數列的記錄
_ 首四百九十八个白努利數 _ 取自古登堡計劃