磁矩

磁矩是吸石的一種物件性質。處佇外磁場的吸石，會感受著力矩，促使著磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩會當用向量表示。吸石的吸石方向是對吸石的指南極指向指北極，磁矩的大細取決於吸石的磁性和量值。毋但是吸石具有磁矩，載流迴路、電子、分子抑是行星等等，攏有磁矩。

科學家到今猶未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，因為磁單極子項目恆等於零，第一項項目是磁偶極子項、第二項目是磁四極子（quadrupole）項，以此類推。磁矩嘛分做磁偶極矩、磁四極矩等等的部份。對磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，會當分別算出磁場的尪仔極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增加遠，磁偶極矩的部份會變甲那加重要，成做主要的項目，所以，磁矩這術語不時用來指稱磁偶極矩。有的教科書內底，磁矩的定義佮磁偶極矩的定義相仝。

概述

一个載流迴圈的磁偶極矩是其實載電流乘以迴路面積：

$ { \ boldsymbol { \ mu } }=I \ mathbf { a } \ , \ ! $；

其中，$ { \ boldsymbol { \ mu } } \ , \ ! $ 為磁偶極矩，$ I \ , \ ! $ 為電流，$ \ mathbf { a } \ , \ ! $ 為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由正手定愛決定。

因為外磁場的載流迴圈，其實感受著的力矩佮其位能佮磁偶極矩的關係為著：

$ { \ boldsymbol { \ tau } }={ \ boldsymbol { \ mu } } \ times \ mathbf { B } \ , \ ! $、

$ U=-{ \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ mathbf { B } \ , \ ! $；

其中，$ { \ boldsymbol { \ tau } } \ , \ ! $ 為力矩，$ \ mathbf { B } \ , \ ! $ 為磁場，$ U \ , \ ! $ 為位能。

真濟的基本粒仔，譬如講電子，攏有內稟磁矩。這種內稟磁矩是真濟巨觀磁場力的來源，真濟物理現象嘛佮此有關係。這種磁矩伊佮古典物理的磁矩無仝，是佮粒子的自旋有關係，著愛用量學來解說。遮的內稟磁矩是量子化的，上蓋細的基本單位，定定稱為「磁仔」（magneton）。 比如講，電子自旋的磁矩佮波耳磁仔的關係式為：

$ { \ boldsymbol { \ mu } } _ { s }=-g _ { s } \ mu _ { B } \ mathbf { S } / \ hbar \ , \ ! $；

其中，$ { \ boldsymbol { \ mu } } _ { s } \ , \ ! $ 為電子自旋的磁矩，電子自旋 g 因為 $ g _ { s } \ , \ ! $ 是一項比例常數，$ \ mu _ { B } \ , \ ! $ 為波耳磁仔，$ \ mathbf { S } \ , \ ! $ 為電子的自旋，$ \ hbar \ , \ ! $ 是約化普朗克常數。

單位

用國際單位制，磁偶極矩的因為是面積 × 電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

一安培 ・ 公尺二=一乾耳／特斯拉。

CGS 單位制猶閣會當幼分做幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units）， 電磁單位的機器（electromagnetic units）、 高斯單位制。

磁偶極矩佇電磁單位制佮佇靜電單位制的比例拄好等於單位為公分／秒的光速。

佇這篇文章內底，所有的方程式攏是採用國際單位制。

兩種磁源嘛

佇任何物理系統內底，磁矩上基本的頭有兩種：

• 電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知影講物理系統內全部的電流密度分佈（抑是所有的電荷的位置佮速度）， 理論上就會當算出磁矩。
• 像講電子啊、質子一類的基本粒仔會因為自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大細攏是常數，會當用理論推導出來，得著的結果嘛已經通過做實驗核對至高準確度。比如講，電子磁矩的測量值是 − 九九二八四七六四 × 十 − 二十四茶耳／特斯拉。磁矩的方向完全決定佇粒仔的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩佮自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量佮。比如講，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量佮：

• 電子的自旋。
• 電子環半踅這款的軌域運動。
• 質子的自旋。

閣舉一个例，構成條形吸石的物質，其實配對電子的內稟磁矩佮軌域磁矩的向量佮，是條形吸石的磁矩。

計算磁矩的方程式

平面迴圈

著上簡單的案例，平面載流迴箍的磁仔極矩 $ { \ boldsymbol { \ mu } } \ , \ ! $ 是

$ { \ boldsymbol { \ mu } }=I \ mathbf { a } \ , \ ! $；

其中，$ I \ , \ ! $ 是迴圈所載有的恆定電流，$ \ mathbf { a } \ , \ ! $ 是平面迴圈的面積向量。

面積向量佮磁偶極矩的方向是由正手定則予出：令四肢手指頭仔向電流方向彎曲，伸予直大頭拇，是大頭拇所指的方向即是面積向量的方向，嘛是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴箍猶閣有閣較高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假使載流迴圈的面積較傾向無去、電流趨向無窮大，同時保持 $ { \ boldsymbol { \ mu } }=I \ mathbf { a } \ , \ ! $ 不變，是所有閣較高階的磁矩會較傾向零，這真實的載流迴箍趨向於理想磁偶極子，抑是純磁仔極子。

任意迴路

對任意迴路案例，假使回路載有恆定電流 $ I \ , \ ! $，是其他的偶極矩是

$ { \ boldsymbol { \ mu } }=I \ int _ { \ mathbb { S } } \ mathrm { d } \ mathbf { a } \ , \ ! $；

其中，$ \ mathbb { S } \ , \ ! $ 是積分曲面，$ \ mathbb { C } \ , \ ! $ 是 $ \ mathbb { S } \ , \ ! $ 邊仔的閉合迴路，$ \ mathrm { d } \ mathbf { a } \ , \ ! $ 是微小面積的元素，$ \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ , \ ! $ 是微小線的元素，$ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 是 $ \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ , \ ! $ 的位置喔。

引用向量恆等式

$ \ int _ { \ mathbb { S } } \ mathrm { d } \ mathbf { a }={ \ frac { 一 } { 二 } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { r } \ times \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ , \ ! $，

即可得著磁偶極矩的路徑積分方程式

$ { \ boldsymbol { \ mu } }={ \ frac { I } { 二 } } \ oint _ { \ mathbb { C } } \ mathbf { r } \ times \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ , \ ! $。

任意電流分佈

對著上廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

$ { \ boldsymbol { \ mu } }={ \ frac { 一 } { 二 } } \ int _ { \ mathbb { V } } \ mathbf { r } \ times \ mathbf { J } \ \ mathrm { d } V \ , \ ! $；

其中，$ \ mathbb { V } \ , \ ! $ 是積分體積，$ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 是源電流位置，$ \ mathbf { J } \ , \ ! $ 是電流密度，$ \ mathrm { d } V \ , \ ! $ 是微小體積的元素。

任意一陣徙電錢，像轉踅的帶電固體，攏會當用這方程式來算出其他的偶極矩。

基本粒仔

佇原子物理學佮核子物理學內，磁矩的大細標記為 $ \ mu \ , \ ! $，通常測量單位做波耳磁仔抑是核磁仔（nuclear magneton）。 磁矩關係著粒仔的自旋，和／抑是粒子佇系統內底的軌域運動。以下列表展示出一寡粒子的內稟磁矩：

知影閣較濟有關於著磁矩佮磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

載流迴路產生的磁場

載流迴路會佇周圍產生磁場。這个磁場包括偶極磁場佮閣較懸次的多極項目。猶毋過，隨著距離的增加遠，遮的多極項目會閣較緊速地減小，所以，佇遠距離位置，干焦有偶極項目是磁場的顯要項目。

思考一个載有恆定電流嘛 $ I \ , \ ! $ 的任意局域迴路 $ \ mathbb { C } \ , \ ! $，其磁矢勢 $ \ mathbf { A } \ , \ ! $ 為

$ \ mathbf { A } ( \ mathbf { r } )={ \ frac { \ mu _ { 零 } I } { 四 \ pi } } \ oint _ { \ mathbb { C }'} \ { \ frac { \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ ,'} { | \ mathbf { r }-\ mathbf { r }'| } } \ , \ ! $；

其中，$ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 是檢驗位置，$ \ mathbf { r }'\ , \ ! $ 是源頭位置，是微小線的元素 $ \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ ,'\ , \ ! $ 的位置喔，$ \ mu _ { 零 } \ , \ ! $ 磁常數。

假使檢驗位置有夠遠，$ r > r'\ , \ ! $，表達式 $ { \ frac { 一 } { | \ mathbf { r }-\ mathbf { r }'| } } \ , \ ! $ 會當泰勒展開為

$ { \ frac { 一 } { | \ mathbf { r }-\ mathbf { r }'| } }={ \ frac { 一 } { r } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ \ left ( { \ frac { r'} { r } } \ right ) ^ { n } P _ { n } ( \ cos \ theta') \ , \ ! $；

其中，$ P _ { n } ( \ cos \ theta') \ , \ ! $ 是勒予德多項式，$ \ theta'\ , \ ! $ 是 $ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 佮 $ \ mathbf { r }'\ , \ ! $ 之間的角色。

所以乎，磁硬勢展開為

$ \ mathbf { A } ( \ mathbf { r } )={ \ frac { \ mu _ { 零 } I } { 四 \ pi } } \ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } \ { \ frac { 一 } { r ^ { n + 一 } } } \ oint _ { \ mathbb { C }'} \ ( r') ^ { n } P _ { n } ( \ cos \ theta') \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ ,'\ , \ ! $。

思考 $ n=零 \ , \ ! $ 項目，嘛就是磁單極子項目：

$ \ mathbf { A } _ { 零 } ( \ mathbf { r } )={ \ frac { \ mu _ { 零 } I } { 四 \ pi r } } \ oint _ { \ mathbb { C }'} \ \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ ,'=零 \ , \ ! $。

因為閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。

才來思考 $ n=一 \ , \ ! $ 項目，嘛就是磁偶極子項目：

$ \ mathbf { A } _ { 一 } ( \ mathbf { r } )={ \ frac { \ mu _ { 零 } I } { 四 \ pi r ^ { 二 } } } \ \ oint _ { \ mathbb { C }'} \ r'\ cos \ theta'\ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } } \ ,'={ \ frac { \ mu _ { 零 } I } { 四 \ pi r ^ { 二 } } } \ (-{ \ hat { \ mathbf { r } } } \ times \ oint _ { \ mathbb { S }'} \ mathrm { d } \ mathbf { a }') \ , \ ! $。

注意著磁偶極矩為著 $ { \ boldsymbol { \ mu } }=I \ oint _ { \ mathbb { S }'} \ mathrm { d } \ mathbf { a }'\ , \ ! $，偶極磁矢勢會當寫做

$ \ mathbf { A } _ { 一 } ( \ mathbf { r } )={ \ frac { \ mu _ { 零 } } { 四 \ pi } } \ { \ frac { { \ boldsymbol { \ mu } } \ times { \ hat { \ mathbf { r }} } } { r ^ { 二 } } } \ , \ ! $。

偶極磁場 $ \ mathbf { B } _ { 一 } \ , \ ! $ 為

$ \ mathbf { B } _ { 一 } ( \ mathbf { r } )=\ nabla \ times \ mathbf { A } _ { 一 } ( \ mathbf { r } ) \ , \ ! $。

因為磁偶極子的向量勢有一个奇巧點佇伊所在的位置（原點 $ \ mathbf { O } $）， 著愛特別細膩來計算，才會當得著正確的答案。閣較斟酌咧推導，會使得著磁場為

$ \ mathbf { B } _ { 一 } ( \ mathbf { r } )={ \ frac { \ mu _ { 零 } } { 四 \ pi r ^ { 三 } } } \ left [三 ( { \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot { \ hat { \ mathbf { r } } } ) { \ hat { \ mathbf { r } } }-{ \ boldsymbol { \ mu } } \ right] + { \ frac { 二 \ mu _ { 零 } } { 三 } } { \ boldsymbol { \ mu } } \ delta ^ { 三 } ( \ mathbf { r } ) \ , \ ! $；

其中，$ \ delta ^ { 三 } ( \ mathbf { r } ) \ , \ ! $ 是狄拉克 δ 函數。

偶極磁場的狄拉克 δ 函數項目造成原子能級分裂，因為形成甲超精細結構（hyperfine structure）。 佇天文學內底，氫原子的超精細結構予出了二十一公分譜線，佇電磁輻射的無線電波範圍，是除了三 K 背景輻射以外，宇宙彌漫上闊的電磁輻射。對重合紀元（recombination）至閣電離紀元（reionization）之間的天文學研究，干焦會當靠觀測二十一公分譜線無線電波。

予幾个磁偶極矩，愛照疊加原理，其實這个磁場是每一个磁偶極矩的磁場的總向量佮。

處佇外磁場的磁仔極子

磁偶極子感受著的磁力矩

如圖正，假使載有電流 $ I \ , \ ! $ 的一个四角形迴箍佇外口的磁場 $ \ mathbf { B }=B _ { 零 } { \ hat { \ mathbf { z } } } \ , \ ! $。四角形迴箍四邊的邊長為 $ w \ , \ ! $，其中兩个佮 $ { \ hat { \ mathbf { y } } } \ , \ ! $ 平行的邊垂直於外磁場，另外兩爿佮磁場之間的夾角弧為 $-\ theta + \ pi / 二 \ , \ ! $。

直於外磁場的兩个邊所感受的磁力矩為

$ { \ boldsymbol { \ tau } }=\ left ( IwB _ { 零 } { \ frac { w \ sin { \ theta } } { 二 } } + IwB _ { 零 } { \ frac { w \ sin { \ theta } } { 二 } } \ right ) { \ hat { \ mathbf { y } } }=Iw ^ { 二 } B _ { 零 } \ sin { \ theta } { \ hat { \ mathbf { y } } } \ , \ ! $。

另外兩个邊所感受的磁力矩互相抵消。注意著這迴箍的尪仔極矩為 $ { \ boldsymbol { \ mu } }=Iw ^ { 二 } { \ hat { \ boldsymbol { \ mu } } } \ , \ ! $。所以乎，這迴箍感受著的磁力矩為

$ { \ boldsymbol { \ tau } }={ \ boldsymbol { \ mu } } \ times \ mathbf { B } \ , \ ! $。

令載流迴圈的面積較傾向佇咧零、電流趨向無窮大，同時保持 $ { \ boldsymbol { \ mu } }=I \ mathbf { a } \ , \ ! $ 不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以乎，處佇外磁場的磁仔極仔所感受著的磁力矩嘛會當用上述方程式表示。

做磁偶極矩是直於磁場的時，磁力矩的大細是上大值的 $ \ mu B _ { 零 } \ , \ ! $；做磁偶極矩佮磁場平行的時，磁力矩等於零。

磁仔極子的位能

共載流回回箍仔對角弧 $ \ theta _ { 一 } \ , \ ! $ 捘到角弧 $ \ theta _ { 二 } \ , \ ! $，磁場所做的機械功 $ W \ , \ ! $ 為

$ W=-\ int _ { \ theta _ { 一 } } ^ { \ theta _ { 二 } } \ tau \ d \ theta=-\ int _ { \ theta _ { 一 } } ^ { \ theta _ { 二 } } \ mu B _ { 零 } \ sin { \ theta } \ d \ theta=\ mu B _ { 零 } ( \ cos { \ theta _ { 二 } }-\ cos { \ theta _ { 一 } } ) \ , \ ! $。

注意著磁力矩的轉踅方向是反時針方向，而且 $ \ theta \ , \ ! $ 是向著順時針方向遞增，所以著愛添加一个負號。設定 $ \ theta _ { 一 }=\ pi / 二 \ , \ ! $，著

$ W=\ mu B _ { 零 } \ cos { \ theta _ { 二 } }={ \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ mathbf { B } \ , \ ! $。

對抗這个磁場的磁力矩，共載流回回箍仔對角弧 $ \ pi / 二 \ , \ ! $ 捘到角弧 $ \ theta _ { 二 } \ , \ ! $，咧做的機械功 $ W _ { a } \ , \ ! $ 為

$ W _ { a }=-W=-{ \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ mathbf { B } \ , \ ! $。

定義載流迴箍的位能 $ U \ , \ ! $ 等於這機械功 $ W _ { a } \ , \ ! $，用方程式表示講

$ U=-{ \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ mathbf { B } \ , \ ! $。

佮頭前段所述同理，磁偶極子的位能嘛會當用這方程式表示。做磁偶極矩是直於磁場的時，位會當等於零；做磁偶極矩佮磁場呈相仝方向的時，位能是上細值的 $-\ mu B _ { 零 } \ , \ ! $；做磁偶極矩佮磁場重相反方向時，位能是上大值的 $ \ mu B _ { 零 } \ , \ ! $。

非均勻磁場

假使外磁場為齊勻磁場，載流迴路的作用 $ \ mathbb { C }'\ , \ ! $ 的磁場力等於零：

$ \ mathbf { F }=I \ oint _ { \ mathbb { C }'} \ mathrm { d } { \ boldsymbol { \ ell } }'\ times \ mathbf { B }=零 \ , \ ! $。

假使外磁場為非均勻的，是會有一个磁場力，作用著磁偶極子。依照磁矩模型的無仝，求得的磁場力嘛會無仝。採用捷看著的「電流模型」，則一枝磁仔極子所感受著的磁場力為

$ \ mathbf { F } _ { \ ell }=\ nabla ( { \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ mathbf { B } ) \ , \ ! $。

另外一種採用「磁荷模型」。 這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為

$ \ mathbf { F } _ { d }=( { \ boldsymbol { \ mu } } \ cdot \ nabla ) \ mathbf { B } \ , \ ! $。

兩个兩个中間的差別為

$ \ mathbf { F } _ { l }=\ mathbf { F } _ { d } + { \ boldsymbol { \ mu } } \ times \ left ( \ nabla \ times \ mathbf { B } \ right ) \ , \ ! $。

準講，電流等於零，電場無含時間，則根據馬克士威-安培方程式，

$ \ nabla \ times \ mathbf { B }=零 \ , \ ! $，

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假使電流無等於零，抑是電場為著時電場，則兩種模型計算出來的磁場力無相等。一九五一年，兩个無仝的實驗，研究中子的散射佇鐵磁性物質，分別得著的結果佮電流模型預估的結果符合。

範例

圓形載流迴箍的磁仔極矩

一个載流迴箍的磁仔極矩佮其面積佮所載電流有關係。比如講，載有一安培電流，半徑 $ r'\ , \ ! $ 為空普遍空五公尺單馮圓形載流迴圈，其他的偶極矩是：

$ \ mu=\ pi r'\ , ^ { 二 } I=\ pi \ times 空九空五 ^ { 二 } \ times 一 \ approx 空空八 \ ; [\ mathrm { A } \ cdot \ mathrm { m } ^ { 二 }]=空空八 \ ; [\ mathrm { J / T }] \ , \ ! $。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，會當用來建立以下幾點論據：

• 假使所位置的距離 $ r \ , \ ! $ 超遠於迴箍半徑 $ r'=空九空五 \ \ mathrm { m } \ , \ ! $，則磁場會呈現反立方減弱：

: 沿著迴箍的中心軸，磁矩佮場位置 $ \ mathbf { r } \ , \ ! $ 平行：

$ B={ \ frac { \ mu _ { 零 } } { 四 \ pi r ^ { 三 } } } 二 \ mu={ \ frac { 四 \ pi \ times 十 ^ { 鋪七 } } { 四 \ pi r ^ { 三 } } } \ times 二 \ times 空空八 \ approx { \ frac { 一孵六 \ times 十 ^ { ma九 } } { r ^ { 三 } } } \ ; [\ mathrm { T } \ cdot \ mathrm { m } ^ { 三 }] \ , \ ! $。

佇包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

$ B=-{ \ frac { \ mu _ { 零 } } { 四 \ pi r ^ { 三 } } } \ mu=-\ { \ frac { 四 \ pi \ times 十 ^ { 鋪七 } } { 四 \ pi r ^ { 三 } } } \ times 空空八 \ approx-\ { \ frac { 空九八 \ times 十 ^ { ma九 } } { r ^ { 三 } } } \ ; [\ mathrm { T } \ cdot \ mathrm { m } ^ { 三 }] \ , \ ! $。

負號表示平面任意位置案例和中心軸案例，這兩个案例的磁場顛倒反方向。

• 假使佇地球的某所在，地磁場 $ \ mathbf { B } _ { E } \ , \ ! $ 的數值大約是零馮五高斯（五 × 十 − 五特斯拉）， 而且迴箍磁矩垂直於地磁場 $ \ mathbf { B } _ { E } \ , \ ! $，會當有這个回轉所感受著的力矩為

: $ \ tau \ approx 空空八 \ times 五 \ times 十 ^ { 鋪五 }=四 \ times 十 ^ { 鋪七 } \ [\ mathrm { N } \ cdot \ mathrm { m }] \ , \ ! $。

• 應該出力的觀念，會當錄出羅經。假使講這羅盤的磁針，因為力矩的作用，對磁針的磁矩垂直於地磁場 $ \ mathbf { B } _ { E } \ , \ ! $，轉到磁針的磁矩和地磁場 $ \ mathbf { B } _ { E } \ , \ ! $ 相𫝛的方向，則這羅經-地球系統釋放出的能量 $ U \ , \ ! $ 為

: $ U \ approx 空空八 \ times 五 \ times 十 ^ { 鋪五 }=四 \ times 十 ^ { 鋪七 } \ [\ mathrm { J }] \ , \ ! $。

因為羅盤懸浮系統的摩擦機制，這个能量是用熱量的形式消敨盡量。

螺線管的磁矩

一个多瀨線圈（抑是螺線管）的磁矩是每一个孤線箍的磁矩的向量佮。對全同呼（單層捲踅）， 只需要共孤線圈的磁矩乘以趨數，就會當得著總磁矩。然後，這總磁矩是會當用來算磁場，力矩，佮儲存能量，方法佮使用孤線箍算的方法仝款。

假使螺線管的枋數是 $ N \ , \ ! $，每一鋪線圈面積為著 $ a \ , \ ! $，通過電流為 $ I \ , \ ! $，著其磁矩是

$ \ mu=NIa \ , \ ! $。

載電粒子圓周運動的磁矩

準講，一个點電荷 $ q \ , \ ! $ 以等速 $ v \ , \ ! $ 踅咧 z-軸，徙佇半徑為 $ r \ , \ ! $ 的平面圓形路徑，是其實電流為

$ I={ \ frac { qv } { 二 \ pi r } } \ , \ ! $。

其磁矩是

$ { \ boldsymbol { \ mu } }={ \ frac { qv } { 二 \ pi r } } \ pi r ^ { 二 }={ \ frac { qvr } { 二 } } { \ hat { \ mathbf { z } } } \ , \ ! $。

其角動量 $ \ mathbf { J } \ , \ ! $ 為

$ \ mathbf { J }=mvr { \ hat { \ mathbf { z } } } \ , \ ! $。

其中，$ m \ , \ ! $ 是載電粒仔的質量。

所以乎，磁矩佮角動量的古典關係為著

$ { \ boldsymbol { \ mu } }={ \ frac { q } { 二 m } } \ mathbf { J } \ , \ ! $。

對電子，這古典關係為著

$ { \ boldsymbol { \ mu } }=-\ { \ frac { e } { 二 m _ { e } } } \ mathbf { J } \ , \ ! $；

其中，$ m _ { e } \ , \ ! $ 是電子的質量，$ e \ , \ ! $ 是電子的絕對電量。

準講，這點電荷是一个束縛佇氫原子內部的電子。因為離心力等於庫侖吸引力，

$ { \ frac { 一 } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } } } \ { \ frac { e ^ { 二 } } { r ^ { 二 } } }=m _ { e } { \ frac { v ^ { 二 } } { r } } \ , \ ! $；

其中，$ \ epsilon _ { 零 } \ , \ ! $ 是電常數。

這馬施加外磁場 $ \ mathbf { B }=B { \ hat { \ mathbf { z } } } \ , \ ! $ 所以氫原子，是會有額外的勞侖茲力作用佇電子。假使鐵枝路半徑不變（這干焦一个粗略計算）， 干焦電子的速度改變做是 $ v _ { B } \ , \ ! $，著

$ { \ frac { 一 } { 四 \ pi \ epsilon _ { 零 } } } \ { \ frac { e ^ { 二 } } { r ^ { 二 } } } + ev _ { B } B=m _ { e } { \ frac { v _ { B } ^ { 二 } } { r } } \ , \ ! $。

所以乎，

$ v _ { B } ^ { 二 }-v ^ { 二 }=( v _ { B } + v ) ( v _ { B }-v )={ \ frac { ev _ { B } Br } { m _ { e } } } \ , \ ! $。

準講，兩个速度的差別 $ \ Delta v=v _ { B }-v \ , \ ! $ 有夠細的，著

$ \ Delta v \ approx { \ frac { eBr } { 二 m _ { e } } } \ , \ ! $。

所以乎，因為施加外磁場 $ \ mathbf { B } \ , \ ! $，磁矩的變化為

$ \ Delta { \ boldsymbol { \ mu } }=-{ \ frac { e \ Delta vr } { 二 } } { \ hat { \ mathbf { z } } }=-{ \ frac { e ^ { 二 } r ^ { 二 } } { 四 m _ { e } } } B { \ hat { \ mathbf { z } } } \ , \ ! $。

注意著 $ \ Delta { \ boldsymbol { \ mu } } \ , \ ! $ 佮 $ \ mathbf { B } \ , \ ! $ 呈相反方向，因為減弱矣磁場。這是抗磁性的古典解說。可是，抗磁性是一種量仔現像，古典解說並無正確。

為著簡略計算，使用半古典的方法，會當求出磁矩的變化為

$ \ Delta { \ boldsymbol { \ mu } }=-\ { \ frac { e ^ { 二 } \ langle r ^ { 二 } \ rangle } { 四 m _ { e } } } B { \ hat { \ mathbf { z } } } \ , \ ! $；

其中，$ \ langle r ^ { 二 } \ rangle \ , \ ! $ 是半徑平方的向望值。

電子的磁矩

電子佮真濟其他的種類的粒仔攏有內稟磁矩。這是一種量子屬性，牽涉著量仔力學。詳細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。 微觀的內稟磁矩集聚起來，成做巨觀的磁效應佮其他物理現象，譬如講電子自旋共振動。

電子的磁矩是

$ { \ boldsymbol { \ mu } }=-g _ { e } \ mu _ { B } \ mathbf { S } / \ hbar \ , \ ! $；

其中，$ g _ { e } \ , \ ! $ 是電子的朗德 g 因為，$ \ mu _ { B }=e \ hbar / 二 m _ { e } \ , \ ! $ 是波耳磁仔，$ \ mathbf { S } \ , \ ! $ 是電子的自旋角動量。

按照頭前算的古典結果，$ g _ { e }=一 \ , \ ! $；猶毋過，佇咧狄拉克力學內底，$ g _ { e }=二 \ , \ ! $；閣較準確實，因為量電動力學效應，伊的實際有小可仔大个，$ g _ { S }=二孵空空二 \ , 三百十九 \ , 三百空四 \ , 三十六 \ , \ ! $。

請注意，因為這方程式內底的負號，電子磁矩佮自旋呈相反方向。對這物理行為，古典電磁學的解說為：假想自旋角動量是由電子踅對某旋轉軸產生的。因為電子帶有負電錢，這旋轉所產生的電流的方向是倒反的方向，這款載流迴路產生的磁矩佮自旋呈相反方向。仝款的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子）， 其磁矩佮自旋的方向相𫝛。

原子的磁矩

佇原子內部，可能會有足濟電子。濟電子原子的總角動量算，著愛先將每一个電子的自旋總和，得著總自旋，閣將每一个電子的跤兜動量總和，得著總軌角的動量，最後用角動量增合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，會當得著原子的總角動量。原子的磁矩 $ \ mu \ , \ ! $ 佮總角的動量 $ \ mathbf { J } \ , \ ! $ 的關係為著

$ { \ boldsymbol { \ mu } }=-g _ { J } \ mu _ { B } \ mathbf { J } / \ hbar \ , \ ! $；

其中，$ g _ { J } \ , \ ! $ 是原子獨特的朗德 g 因為。

磁矩對磁場方向的分量 $ \ mu _ { z } \ , \ ! $ 是

$ \ mu _ { z }=-g _ { J } \ mu _ { B } J _ { z } / \ hbar \ , \ ! $；

其中，$ J _ { z }=J _ { m } \ hbar \ , \ ! $ 是總角動量對磁場方向的量，$ J _ { m } \ , \ ! $ 是磁量子數，會使取二 J + 一个整數抹出來，-J、-J + 一、…、J 影一、J，內底的任意一个整數值。

因為電子帶有負電錢，所以乎 $ \ mu _ { z } \ , \ ! $ 是負值。

處佇磁場的磁偶極子的動力學，無仝佇咧電場電偶極子的動力學。磁場會施加力𪜶的磁偶極子，迫使伊靠著磁場線來排列。猶毋過，力是角動量對時間的導數。所以乎，會產生自旋進動，也就是講，旋方向會去改變。這物理行為以方程式表達為

$ { \ frac { 一 } { \ gamma } } { \ frac { d { \ boldsymbol { \ mu } } } { dt } }={ \ boldsymbol { \ mu } } \ times \ mathbf { H } \ , \ ! $；

其中，$ \ gamma \ , \ ! $ 是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio）， $ \ mathbf { H } \ , \ ! $ 是磁場。

注意著這方程式的倒手爿項目是角動量對時間的導數，啊若正手爿項目是力矩。磁場閣會當分做兩部份：

$ \ mathbf { H }=\ mathbf { H } _ { eff }-{ \ frac { \ lambda } { \ gamma \ mu } } { \ frac { d { \ boldsymbol { \ mu } } } { dt } } \ , \ ! $；

其中，$ \ mathbf { H } _ { eff } \ , \ ! $ 是有效磁場（外磁場加上任何身場）， $ \ lambda \ , \ ! $ 是阻尼的係數。

按呢乎，會當得著蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：

$ { \ frac { 一 } { \ gamma } } { \ frac { d { \ boldsymbol { \ mu } } } { dt } }={ \ boldsymbol { \ mu } } \ times \ mathbf { H } _ { eff }-{ \ frac { \ lambda } { \ gamma \ mu } } { \ boldsymbol { \ mu } } \ times { \ frac { d { \ boldsymbol { \ mu } } } { dt } } \ , \ ! $。

方程式正爿第一个項目描述磁偶極子踅著有效磁場的進動，第二項目是阻尼項目，會當進動沓沓仔減弱，落尾無去。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學上基本的方程式之一。

原子核的磁矩

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。因為原子核的磁矩佮其核子成員有關係，對核磁矩的測量數據，閣較明確，對核磁偶極矩的測量數據，會當研究遮的量仔性質。

雖然有一寡同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數捷看著的原子核的自然存在狀態是基態。每一个同位素原子核的能態攏有一个獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大細是一个常數，通過細膩設計的實驗，會當測量至非常懸的精確度。這个數值對原子核內每一个核子的獨自貢獻非常的敏感。若會當測量抑是預測出這數值，就會當揭示核子波函數的內涵。現今，有真濟理論模型會當預測核磁偶極矩的數值，嘛有足濟種實驗技術會當進行原子核測試。

分子的磁矩

任何分子攏有伊確定的磁矩。咱這个磁矩可能會佮咱這个分子的能態有關係。通常來講，一个分子的磁矩是下列貢獻的總和，照典型強度對大至細列出：

• 假若無配對電子，是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
• 電子的鐵枝路運動，佇基態的時，所產生定定佮外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
• 核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

分子磁性範例

• 氧分子，O 二，因為其實上外口的兩个無配對電子的自旋，有強順磁性。
• 二氧化碳分子，CO 二，因為電子軌域運動來產生的，佮外磁場成正比的，真微弱的磁矩。佇某一寡稀罕的狀況下，假若這分子是有磁性的仝位素組成，像十三 C 抑是十七 O，愛這个仝位素原子核嘛會將其核磁性貢獻予分子的磁矩。
• 氫分子，H 二，處佇一个弱磁場（抑是零磁場）， 會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫抑是仲氫，攏有這種物理性質。

參閱

• 電偶極矩
• 磁化強度
• 磁化率
• 球多極矩
• 絕熱不變數
• 磁偶極間交互作用（Magnetic dipole-dipole interaction）

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