自然對數
自然對數（英語：Natural logarithm）為伊數學常數 e 為底數的對數函數，標記作 $ \ ln x $ 抑是 $ \ log _ { e } x $，其反函數做指數函數 $ e ^ { x } $。
自然對數積分定義為對任何正實數 $ x $，由 $ 一 $ 到 $ x $ 所圍咧，$ xy=一 $ 曲線下跤的面積。若是 $ x $ 小於一，愛算面積為負數。
- $ \ ln x=\ int _ { 一 } ^ { x } { \ frac { dt } { t } } \ , $
$ e $ 則定義為唯一的實數 $ x $ 予得 $ \ ln x=一 $。
自然對數一般表示為 $ \ ln x \ ! $，數學中亦有以 $ \ log x \ ! $ 表示自然對數。
歷史
十七世紀
約翰 ・ 納皮爾佇一六一四年以及約斯特 ・ 比爾吉佇咧六年後，分別發表矣獨立編制的對數表，彼當陣通過對接近一个底數的大量坐冪運算，來揣著指定的範圍佮精度的對數佮所對應的真數，彼當陣猶未出現有理數冪的概念。照後生的觀點，約斯特 ・ 比爾吉的底數一丈零空空一一空空空相當接近自然對數的底數 $ e $，而約翰 ・ 納皮爾的底數空九九九九九九一空空空空空空空相當接近 $ { \ frac { 一 } { e } } $。實際上攏免做開高次方這種艱難運算，約翰 ・ 納皮爾用二空年時間進行比數百萬擺乘法的計算，Henry Briggs 建議納皮爾改用十為底數未果，伊用家己的方法佇一六二四年部份完成矣常用對數表的編制。
形如講 $ f ( x )=x ^ { p } $ 曲線攏有一个代數反導數，除了特殊情況 $ p=影一 $ 對應雙曲線的弓形面積，即雙曲線扇形；其他的情況攏由一六三五年發表的卡瓦列里弓形面積公式共出，其中拋物線的弓形面積由公元前三世紀的阿基米德完成（拋物線的弓形面積）， 雙曲線的弓形面積需要發明一个新函數。一六四七年 Grégoire de Saint-Vincent 將對數聯絡雙曲線 $ xy=一 $ 的弓形面積，伊發現講 x 軸上 $ [a , b] $ 兩點對應的雙曲線段佮原點圍做的雙曲線扇形同 $ [c , d] $ 對應的葵扇形，佇咧 $ { \ frac { a } { b } }={ \ frac { c } { d } } $ 時面積相𫝛，這指出雙曲線對 $ x=一 $ 到 $ x=t $ 的積分 $ f ( t ) $ 滿足：
- $ f ( tu )=f ( t ) + f ( u ) . \ , $
一六四九年，Alphonse Antonio de Sarasa 共雙曲線下跤的面積解說做對數。大約一六六五年，伊薩克呢 ・ 牛頓推廣兩項式定理，伊將 $ { \ frac { 一 } { 一 + x } } $ 展開並逐項積分，得著自然對數的無窮級數。「自然對數」上早是看著尼古拉斯 ・ 麥卡托在一六六八年出版《Logarithmotechnia》中，伊嘛獨立發現了仝款級數，即自然對數的麥卡托級數。
十八世紀
大約一七三空年，歐拉定義互為逆函數的指數函數佮自然對數為：
- $ e ^ { x }=\ lim _ { n \ rightarrow \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { x } { n } } \ right ) ^ { n } , $
- $ \ ln ( x )=\ lim _ { n \ rightarrow \ infty } n \ left ( x ^ { \ frac { 一 } { n } } 影一 \ right ) $
一七四二年威廉 ・ 瓊斯發表矣這馬的冪指數概念。
形式定義
歐拉定義自然對數是序列的極限：
- $ \ ln ( x )=\ lim _ { n \ rightarrow \ infty } n \ left ( x ^ { \ frac { 一 } { n } } 影一 \ right ) . $
$ \ ln ( a ) $ 正式定義做積分，
- $ \ ln ( a )=\ int _ { 一 } ^ { a } { \ frac { 一 } { x } } \ , dx . $
這个函數為對數是因滿足對數的基本性質 :
- $ \ ln ( ab )=\ ln ( a ) + \ ln ( b ) . \ , \ ! $
這會當通過共定義矣 $ \ ln ( ab ) $ 的積分拆做兩部分，並且佇第二部份內底來進行換元 $ x=ta $ 來證實 :
- $ \ ln ( ab )=\ int _ { 一 } ^ { ab } { \ frac { 一 } { x } } \ ; dx=\ int _ { 一 } ^ { a } { \ frac { 一 } { x } } \ ; dx \ ; + \ int _ { a } ^ { ab } { \ frac { 一 } { x } } \ ; dx=\ int _ { 一 } ^ { a } { \ frac { 一 } { x } } \ ; dx \ ; + \ int _ { 一 } ^ { b } { \ frac { 一 } { at } } \ ; d ( at ) $
- $=\ int _ { 一 } ^ { a } { \ frac { 一 } { x } } \ ; dx \ ; + \ int _ { 一 } ^ { b } { \ frac { 一 } { t } } \ ; dt=\ ln ( a ) + \ ln ( b ) . $
冪公式 $ \ ln ( t ^ { r } )=r \ ln ( t ) $ 欲下跤推出 :
- $ \ ln ( t ^ { r } )=\ int _ { 一 } ^ { t ^ { r } } { \ frac { 一 } { x } } dx=\ int _ { 一 } ^ { t } { \ frac { 一 } { u ^ { r } } } d \ left ( u ^ { r } \ right )=\ int _ { 一 } ^ { t } { \ frac { 一 } { u ^ { r } } } \ left ( ru ^ { r 影一 } \ , du \ right )=r \ int _ { 一 } ^ { t } { \ frac { 一 } { u } } \ , du=r \ ln ( t ) . $
第二个等式使用換元 $ u=x ^ { \ frac { 一 } { r } } $。
自然對數猶閣有佇咧某一寡情形下更加有用的另外一个積分表示：
- $ \ ln ( x )=-\ lim _ { \ epsilon \ to 零 } \ int _ { \ epsilon } ^ { \ infty } { \ frac { dt } { t } } \ left ( e ^ {-xt }-e ^ {-t } \ right ) . $
性質
- $ \ ln ( 一 )=\ int _ { 一 } ^ { 一 } { \ frac { 一 } { t } } \ , dt=零 \ , $
- $ \ operatorname { ln } ( 影一 )=i \ pi \ , $
- : ( 參見複數對數 )
- $ \ ln ( x ) < \ ln ( y ) \ quad { \ rm { for } } \ quad 零 < x < y \ , $
- $ \ lim _ { x \ to 零 } { \ frac { \ ln ( 一 + x ) } { x } }=一 \ , $
- $ \ ln ( x ^ { y } )=y \ , \ ln ( x ) \ , $
- $ { \ frac { x 影一 } { x } } \ leq \ ln ( x ) \ leq x 影一 \ quad { \ rm { for } } \ quad x > 零 \ , $
- $ \ ln { ( 一 + x ^ { \ alpha } ) } \ leq \ alpha x \ quad { \ rm { for } } \ quad x \ geq 零 , \ alpha \ geq 一 \ , $
導數
自然對數的導數為
- $ { \ frac { d } { dx } } \ ln ( x )={ \ frac { 一 } { x } } . \ , $
證明一（微積分第一基本定理）: $ { \ frac { d } { dx } } \ ln ( x )={ \ frac { d } { dx } } \ int _ { 一 } ^ { x } { \ frac { 一 } { t } } \ , dt={ \ frac { 一 } { x } } $
證明二：按此影片
- $ { \ frac { d } { dx } } \ ln ( x )=\ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { \ ln ( x + h )-\ ln ( x ) } { h } } $
- : : : $=\ lim _ { h \ to 零 } { \ frac { \ ln ( { \ frac { x + h } { x } } ) } { h } } $
- $=\ lim _ { h \ to 零 } \ left [{ \ frac { 一 } { h } } \ ln \ left ( 一 + { \ frac { h } { x } } \ right ) \ right] \ quad $
- $=\ lim _ { h \ to 零 } \ ln \ left ( 一 + { \ frac { h } { x } } \ right ) ^ { \ frac { 一 } { h } } $
設 $ u={ \ frac { h } { x } } \ Rightarrow ux=h $
- $ { \ frac { 一 } { h } }={ \ frac { 一 } { ux } } $
- $ { \ frac { d } { dx } } \ ln ( x )=\ lim _ { u \ to 零 } \ ln ( 一 + u ) ^ { \ frac { 一 } { ux } } $
- : : : $=\ lim _ { u \ to 零 } \ ln \ left [( 一 + u ) ^ { \ frac { 一 } { u } } \ right] ^ { \ frac { 一 } { x } } $
- $={ \ frac { 一 } { x } } \ lim _ { u \ to 零 } \ ln ( 一 + u ) ^ { \ frac { 一 } { u } } $
設 $ n={ \ frac { 一 } { u } } \ Rightarrow u={ \ frac { 一 } { n } } $
- $ { \ frac { d } { dx } } \ ln ( x )={ \ frac { 一 } { x } } \ lim _ { n \ to \ infty } \ ln \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } $
- : : : $={ \ frac { 一 } { x } } \ ln \ left [\ lim _ { n \ to \ infty } \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { n } } \ right ) ^ { n } \ right] $
- $={ \ frac { 一 } { x } } \ ln e $
- $={ \ frac { 一 } { x } } $
用自然對數定義的閣較一般的對數函數，$ \ log _ { b } ( x )={ \ frac { \ ln ( x ) } { \ ln ( b ) } } $，根據其逆函數即一般指數函數的性質，伊的導數為：
- $ { \ frac { d } { dx } } \ log _ { b } ( x )={ \ frac { 一 } { x \ ln ( b ) } } . $
根據連鎖法則，以 $ f ( x ) $ 為參數的對數的導數為
- $ { \ frac { d } { dx } } \ ln [f ( x )]={ \ frac { f'( x ) } { f ( x ) } } . $
正手捀的商叫做 $ f $ 的對數導數，通過 $ \ ln ( f ( x ) ) $ 的導數的方法計算 $ f'( x ) $ 叫做對數微分。
冪級數
自然對數的導數性質致使矣 $ \ ln ( 一 + x ) $ 佇咧零處的泰勒級數，也叫做麥卡托級數：
- $ \ ln ( 一 + x )=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n + 一 } } { n } } x ^ { n }=x-{ \ frac { x ^ { 二 } } { 二 } } + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } }-\ cdots $
- 對所有 $ \ left | x \ right | \ leq 一 , $ 但是無包括 $ x=影一 . $
共 $ x 影一 $ 代入 $ x $ 中，有得著 $ \ ln ( x ) $ 家己的級數。通過佇麥卡托級數使用歐拉變換，會當得著對絕對值大於一的任何 $ x $ 有效的像下跤級數 :
- $ \ ln { x \ over { x 影一 } }=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { 一 \ over { nx ^ { n } } }={ 一 \ over x } + { 一 \ over { 二 x ^ { 二 } } } + { 一 \ over { 三 x ^ { 三 } } } + \ cdots \ , . $
這个級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式。
猶閣去注意著 $ x \ over { x 影一 } $ 是家己的函數，所以愛生做特定數 $ y $ 的自然對數，簡單共 $ x \ over { x 影一 } $ 代入 _ $ x $ _ 中。
- $ \ ln { x }=\ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { 一 \ over { n } } \ left ( { x 影一 \ over x } \ right ) ^ { n }=\ left ( { x 影一 \ over x } \ right ) + { 一 \ over 二 } \ left ( { x 影一 \ over x } \ right ) ^ { 二 } + { 一 \ over 三 } \ left ( { x 影一 \ over x } \ right ) ^ { 三 } + \ cdots \ , $
- 對於 $ \ operatorname { Re } ( x ) \ geq { \ frac { 一 } { 二 } } \ , . $
自然數的斟數的總和
- $ 一 + { \ frac { 一 } { 二 } } + { \ frac { 一 } { 三 } } + \ cdots + { \ frac { 一 } { n } }=\ sum _ { k=一 } ^ { n } { \ frac { 一 } { k } } , $
叫做調佮級數。伊佮自然的對數有誠密切的聯繫：當 $ n $ 較無散的時陣，差
- $ \ sum _ { k=一 } ^ { n } { \ frac { 一 } { k } }-\ ln ( n ) , $
斂佇歐拉-馬歇羅尼常數。對分析算法比如快速排序的性能。
積分
自然對數通過分部積分法積分 :
- $ \ int \ ln ( x ) \ , dx=x \ ln ( x )-x + C . $
準講 :
- $ u=\ ln ( x ) \ Rightarrow du={ \ frac { dx } { x } } $
- $ dv=dx \ Rightarrow v=x \ , $
所以乎 :
- $ { \ begin { aligned } \ int \ ln ( x ) \ , dx &=x \ ln ( x )-\ int { \ frac { x } { x } } \ , dx \ \ &=x \ ln ( x )-\ int 一 \ , dx \ \ &=x \ ln ( x )-x + C \ end { aligned } } $
自然對數會當簡省形如 $ g ( x )={ \ frac { f'( x ) } { f ( x ) } } $ 的函數的積分：$ g ( x ) $ 的一个原函數共出為 $ \ ln ( \ left \ vert f ( x ) \ right \ vert ) $。這是因為連鎖法則佮如下事實的 :
- $ \ { d \ over dx } \ ln \ left | x \ right |={ 一 \ over x } . $
嘛會使講，
- $ \ int { 一 \ over x } dx=\ ln | x | + C $
而且
- $ \ int { { \ frac { f'( x ) } { f ( x ) } } \ , dx }=\ ln | f ( x ) | + C . $
例
下跤是 $ g ( x )=\ tan x $ 的例：
- $ { \ begin { aligned } \ int \ tan x \ , dx &=\ int { \ sin x \ over \ cos x } \ , dx \ \ &=\ int {-{ d \ over dx } \ cos x \ over { \ cos x } } \ , dx . \ \ \ end { aligned } } $
設 $ f ( x )=\ cos x $ 而且 $ f'( x )=-\ sin x $：
- $ { \ begin { aligned } \ int \ tan x \ , dx &=-\ ln { \ left | \ cos x \ right | } + C \ \ &=\ ln { \ left | \ sec x \ right | } + C \ \ \ end { aligned } } $
佮雙曲函數的關係
佇彼个十八世紀，約翰 ・ 海因里希 ・ 蘭伯特介入雙曲函數，並且算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。著數函數是佇咧直角雙曲線 $ xy=一 $ 下定義的，會當構造雙曲線直角三角形，底邊仔佇線 $ y=x $ 上，一个頂點是原點，另外一个頂點佇咧雙曲線。遮以自然對數即雙曲角作為參數的函數，是自然對數的函數指數函數，即要形成指定雙曲角 $ u $，佇漸漸近線即 x 抑是 y 軸上需要有的 $ x $ 抑是 $ y $ 的值。顯見遮的底邊是 $ \ left ( e ^ { u } + e ^ {-u } \ right ) { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } $，徛線是 $ \ left ( e ^ { u }-e ^ {-u } \ right ) { \ frac { \ sqrt { 二 } } { 二 } } $。
通過旋轉和縮小線性變換，得著單位雙曲線下的情況，有：
- $ \ cosh x={ \ frac { e ^ { x } + e ^ {-x } } { 二 } } $
- $ \ sinh x={ \ frac { e ^ { x }-e ^ {-x } } { 二 } } $
單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線 $ xy=一 $ 下雙曲角的 $ { \ frac { 一 } { 二 } } $。
連分數
就算講自然對數無簡單的連分數，但有一寡廣義連分數如 :
- $ { \ begin { aligned } \ ln ( 一 + x ) &={ \ frac { x ^ { 一 } } { 一 } }-{ \ frac { x ^ { 二 } } { 二 } } + { \ frac { x ^ { 三 } } { 三 } }-{ \ frac { x ^ { 四 } } { 四 } } + { \ frac { x ^ { 五 } } { 五 } }-\ cdots \ \ &={ \ cfrac { x } { 一垺零 x + { \ cfrac { 一 ^ { 二 } x } { 二嬸一 x + { \ cfrac { 二 ^ { 二 } x } { 三孵二 x + { \ cfrac { 三 ^ { 二 } x } { 四配三 x + { \ cfrac { 四 ^ { 二 } x } { 五孵四 x + \ ddots } } } } } } } } } } \ \ \ end { aligned } } $
- $ { \ begin { aligned } \ ln \ left ( 一 + { \ frac { x } { y } } \ right ) &={ \ cfrac { x } { y + { \ cfrac { 一 x } { 二 + { \ cfrac { 一 x } { 三 y + { \ cfrac { 二 x } { 二 + { \ cfrac { 二 x } { 五 y + { \ cfrac { 三 x } { 二 + \ ddots } } } } } } } } } } } } \ \ &={ \ cfrac { 二 x } { 二 y + x-{ \ cfrac { ( 一 x ) ^ { 二 } } { 三 ( 二 y + x )-{ \ cfrac { ( 二 x ) ^ { 二 } } { 五 ( 二 y + x )-{ \ cfrac { ( 三 x ) ^ { 二 } } { 七 ( 二 y + x )-\ ddots } } } } } } } } \ \ \ end { aligned } } $
遮的連分數特別是最後一个對接近一个值快速收斂。猶毋過，閣較大的數的自然對數，會當簡單的用這寡閣較細的數量的自然對數的加法來算，帶有類似的快速收斂。
比如講，因為乎 $ 二=一孵二五 ^ { 三 } \ times 一孵空二四 $，二的自然對數會當計算做 :
- $ { \ begin { aligned } \ ln 二 &=三 \ ln \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { 四 } } \ right ) + \ ln \ left ( 一 + { \ frac { 三 } { 一百二五 } } \ right ) \ \ &={ \ cfrac { 六 } { 九-{ \ cfrac { 一 ^ { 二 } } { 二十七-{ \ cfrac { 二 ^ { 二 } } { 四十五-{ \ cfrac { 三 ^ { 二 } } { 六十三-\ ddots } } } } } } } } + { \ cfrac { 六 } { 兩百五十三-{ \ cfrac { 三 ^ { 二 } } { 七仔五十九-{ \ cfrac { 六 ^ { 二 } } { 千二百六十五-{ \ cfrac { 九 ^ { 二 } } { 一千七百七十一-\ ddots } } } } } } } } . \ \ \ end { aligned } } $
進一步，因為乎 $ 十=一孵二五 ^ { 十 } \ times 一孵空二四 ^ { 三 } $，十的自然對數會當計算做講 :
- $ { \ begin { aligned } \ ln 十 &=十 \ ln \ left ( 一 + { \ frac { 一 } { 四 } } \ right ) + 三 \ ln \ left ( 一 + { \ frac { 三 } { 一百二五 } } \ right ) \ \ &={ \ cfrac { 二十 } { 九-{ \ cfrac { 一 ^ { 二 } } { 二十七-{ \ cfrac { 二 ^ { 二 } } { 四十五-{ \ cfrac { 三 ^ { 二 } } { 六十三-\ ddots } } } } } } } } + { \ cfrac { 十八 } { 兩百五十三-{ \ cfrac { 三 ^ { 二 } } { 七仔五十九-{ \ cfrac { 六 ^ { 二 } } { 千二百六十五-{ \ cfrac { 九 ^ { 二 } } { 一千七百七十一-\ ddots } } } } } } } } . \ \ \ end { aligned } } $
複數對數
指數函數會當楦展做對任何的複數 $ x $ 著愛出複數值為 $ e ^ { x } $ 的函數，只需要簡單使用 _ $ x $ _ 為複數的無窮級數；這个指數函數的函數形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是伊牽涉著兩个困難：無存在 _ $ x $ _ 予得 $ e ^ { x }=零 $；並且有著 $ e ^ { 二 \ pi i }=一=e ^ { 零 } $。因為乘法性質猶原適用佇複數指數函數，$ e ^ { z }=e ^ { z + 二 n \ pi i } $，對所有複數 $ z $ 佮整數 $ n $。
所以對數袂當定義佇規个複平面上，並且伊是多值函數，就是講任何的複數對數攏會當增加 $ 二 \ pi i $ 的任何整數倍而成做等價的對數。複數對數干焦會當佇咧切的平面只是單值函數。比如講，$ \ log i={ \ frac { 一 } { 二 } } \ pi i $ 抑是 $ { \ frac { 五 } { 二 } } \ pi i $ 抑是 $-{ \ frac { 三 } { 二 } } \ pi i $ 等咧；就算講 $ i ^ { 四 }=一 $，$ 四 \ log=i $ 袂當定義做 $ 二 \ pi i $ 抑是 $ 十 \ pi i $ 抑是 $ ma六 \ pi i $，以此類推。
- 自然對數函數佇咧複平面（主分支）上的繪圖
- * * *
主值定義
對每一个非零複數 $ z=x + yi $，主值 $ \ log z $ 是虛部佇咧區間 $ (-\ pi , \ pi ] $ 內底的對數。表達式 $ \ log 零 $ 無做定義，這因為無複數 $ w $ 滿足 $ e ^ { w }=零 $。
愛對 $ \ log z $ 予出一个公式，會當先將 $ z $ 表達為極坐標形式，$ z=re ^ { i \ theta } $。予定 $ z $，極坐標形式毋是確切唯一的，因為有可能向 $ \ theta $ 加添 $ 二 \ pi $ 的整數倍，所以為著欲保證唯一性而要求 _ $ \ theta $ _ 佇咧區間 $ (-\ pi , \ pi ] $ 內；這乎 _ $ \ theta $ _ 叫做幅角的主值，有時寫為 $ \ operatorname { arg } z $ 抑是 $ \ operatorname { atan } 二 ( y , x ) $。對數的主值會當定義為：
- : $ \ operatorname { Log } z :={ \ text { ln } } r + i \ theta=\ ln | z | + i \ operatorname { Arg } z=\ operatorname { ln } { \ sqrt { x ^ { 二 } + y ^ { 二 } } } + i \ operatorname { atan 二 } ( y , x ) . $
比如講，$ \ operatorname { Log } ( ma三 i )=\ ln 三-{ \ frac { \ pi i } { 二 } } $。
捷看著科學用法
自然指數有應用於表達放射衰變（放射性）這款關於著衰減的過程，如放射性原子數目 $ N $ 隨時間變化率 $ { \ frac { dN } { dt } }=-pN $，常數 $ p $ 為原子衰變機率，積分甲 $ N ( t )=N ( 零 ) \ exp (-pt ) $。
註解
參考資料
延伸閱讀
- John B . Conway , _ Functions of one complex variable _ , 二 nd edition , Springer , 一千九百七十八 .
- Serge Lang , _ Complex analysis _ , 三 rd edition , Springer-Verlag , 一千九百九十三 .
- Gino Moretti , _ Functions of a Complex Variable _ , Prentice-Hall , Inc . , 一千九百六十四 .
- Donald Sarason , _ Complex function theory _ , 二 nd edition , American Mathematical Society , 兩千空七 .
- E . T . Whittaker and G . N . Watson , _ A Course in Modern Analysis _ , fourth edition , Cambridge University Press , 一千九百二十七 .