艾里函數

艾里函數（Ai ( _ x _ )）， 英國英格蘭天文學家、數學家喬治 ・ 比德爾 ・ 艾里號名的特殊函數，伊佇一八三八年研究光學的時陣拄著這个函數。Ai ( _ x _ ) 的記法是 Harold Jeffreys 引進的。Ai ( _ x _ ) 佮相關的函數 Bi ( _ x _ )（嘛叫做艾里函數）， 是以下微分方程的解：

$ y-xy=零 , \ , \ ! $

這个方程號做艾里方程抑是斯托克斯方程。這是上簡單的二階線性微分方逝，伊有一个轉踅角，佇這點函數由周期性的振動轉變做指數增長（或者是衰減）。

定義

對著實數 _ x _，艾里函數由以下的積分定義：

$ \ mathrm { Ai } ( x )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ cos \ left ( { \ frac { t ^ { 三 } } { 三 } } + xt \ right ) \ , dt . $

雖然這个函數毋是絕對可積的（當 _ t _ 趨於 + ∞ 時積分表達式無到零）， 這个廣義積分抑是帶前輩的，因為伊快速振動的正數佮負數部份坦敧對互相抵消（這會當用分部積分法來檢驗）。

共 : $ y=Ai ( x ) $ 求導，咱會當發現伊滿足以下的微分方法：

$ y-xy=零 . \ , \ ! $

這个方程有兩个線性獨立的解。除了 : $ Ai ( x ) $ 以外，另外一个解稱做第二艾里函數，記為 $ Bi ( x ) $。伊定義為當 _ x _ 趨於 −∞ 時，振幅佮 $ Ai ( x ) $ 相仝，但是相位佮 $ Ai ( x ) $ 相差 $ { \ frac { \ pi } { 二 } } $ 的函數：

$ \ mathrm { Bi } ( x )={ \ frac { 一 } { \ pi } } \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ e ^ { \ left (-{ \ frac { t ^ { 三 } } { 三 } } + xt \ right ) } + \ sin \ left ( { \ frac { t ^ { 三 } } { 三 } } + xt \ right ) \ , dt . $

性質

$ x=零 $ 時，$ \ mathrm { Ai } ( x ) $ 和 $ \ mathrm { Bi } ( x ) $ 佮𪜶的導數的值為：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { Ai } ( 零 ) & { }={ \ frac { 一 } { { \ sqrt [{ 三 }] { 九 } } \ Gamma ( { \ frac { 二 } { 三 } } ) } } , & \ quad \ mathrm { Ai }'( 零 ) & { }=-{ \ frac { 一 } { { \ sqrt [{ 三 }] { 三 } } \ Gamma ( { \ frac { 一 } { 三 } } ) } } , \ \ \ mathrm { Bi } ( 零 ) & { }={ \ frac { 一 } { { \ sqrt [{ 六 }] { 三 } } \ Gamma ( { \ frac { 二 } { 三 } } ) } } , & \ quad \ mathrm { Bi }'( 零 ) & { }={ \ frac { \ sqrt [{ 六 }] { 三 } } { \ Gamma ( { \ frac { 一 } { 三 } } ) } } . \ end { aligned } } $

佇遮，$ { \ Gamma } $ 表示伽瑪函數。會當推出講 Ai ( _ x _ ) 和 Bi ( _ x _ ) 的朗斯基行列式是 $ { \ frac { 一 } { \ pi } } $ 。

當 _ x _ 是正數的時陣，Ai ( _ x _ ) 是正的噗函數，指數衰減做零，Bi ( _ x _ ) 嘛是正的凸數，但是呈指數增長。當 _ x _ 是負數的時陣，Ai ( _ x _ ) 和 Bi ( _ x _ ) 佇咧零附近振動，其頻率沓沓仔增加，振幅漸漸仔降低。這會當由以下艾里函數的漸漸公式推出。

漸近公式

當 _ x _ 趨於 + ∞ 時，艾里函數的漸漸表現為：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { Ai } ( x ) & { } \ sim { \ frac { e ^ {-{ \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } } } { 二 { \ sqrt { \ pi } } \ , x ^ { 四分之一 } } } \ \ \ mathrm { Bi } ( x ) & { } \ sim { \ frac { e ^ { { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } } } { { \ sqrt { \ pi } } \ , x ^ { 四分之一 } } } . \ end { aligned } } $

毋過對負數方向的極限，則有：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { Ai } (-x ) & { } \ sim { \ frac { \ sin ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } + { \ frac { 一 } { 四 } } \ pi ) } { { \ sqrt { \ pi } } \ , x ^ { 四分之一 } } } \ \ \ mathrm { Bi } (-x ) & { } \ sim { \ frac { \ cos ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } + { \ frac { 一 } { 四 } } \ pi ) } { { \ sqrt { \ pi } } \ , x ^ { 四分之一 } } } . \ end { aligned } } $

遮盡磅的漸漸展開式嘛是會當得著的。

自變量是複數時的情形

咱會當共艾里函數的定義湠甲規个複平面：

$ \ mathrm { Ai } ( z )={ \ frac { 一 } { 二 \ pi i } } \ int _ { C } \ exp \ left ( { \ frac { t ^ { 三 } } { 三 } }-zt \ right ) \ , dt , $

其中積分路徑 $ C $ 對輻角為-( 三分之一 ) π 的無窮遠的所在開始，佇輻角為 ( 三分之一 ) π 的無窮遠的所在結束。此外，咱嘛會使用微分方主要的部份 $ y-xy=零 $ 來共 Ai ( _ x _ ) 和 Bi ( _ x _ ) 延湠做複平面上的整函數。

以上 Ai ( _ x _ ) 的漸漸佇咧複平面上嘛是正確的，如果若取主值為著 _ x _ 三分之二，而且 _ x _ 無法度負的實數軸上。Bi ( _ x _ ) 的公式嘛是正確的，只要 _ x _ 佇咧扇形的 { _ x _ ∈C  : | arg _ x _ | < ( 三分之一 ) π−δ } 內，對著某一个正數 δ。最後咧，Ai ( − _ x _ ) 和 Bi ( − _ x _ ) 是正確的，若是 _ x _ 佇咧扇形的 { _ x _ ∈C  : | arg _ x _ | < ( 三分之二 ) π−δ } 內。

對艾里函數的漸漸表現會當推出，Ai ( _ x _ ) 和 Bi ( _ x _ ) 佇負的實數軸上攏有散甲無幾个零點。Ai ( _ x _ ) 佇複平面內底無其他零點，而且 Bi ( _ x _ ) 佇咧扇形 { _ z _ ∈C  : ( 三分之一 ) π < | arg _ z _ | < ( 二分之一 ) π } 內底猶閣有散赤幾个零點。

佮其他的特殊函數的關係

當自變是正數的時陣，艾里函數佮變形貝索函數之間有以下的關係：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { Ai } ( x ) & { }={ \ frac { 一 } { \ pi } } { \ sqrt { { \ frac { 一 } { 三 } } x } } \ , K _ { 三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right ) , \ \ \ mathrm { Bi } ( x ) & { }={ \ sqrt { { \ frac { 一 } { 三 } } x } } \ left ( I _ { 三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right ) + I _ {-三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right ) \ right ) . \ end { aligned } } $

佇遮，_ I _ ± 三分之一佮 _ K _ 三分之一是方程 $ x ^ { 二 } y+ xy'-( x ^ { 二 } + 九分之一 ) y=零 $ 的解。

當自變量是負數時，艾里函數佮貝索函數之間有以下的關係：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { Ai } (-x ) & { }={ \ frac { 一 } { 三 } } { \ sqrt { x } } \ left ( J _ { 三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right ) + J _ {-三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right ) \ right ) , \ \ \ mathrm { Bi } (-x ) & { }={ \ sqrt { { \ frac { 一 } { 三 } } x } } \ left ( J _ {-三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right )-J _ { 三分之一 } \ left ( { \ frac { 二 } { 三 } } x ^ { 二分之三 } \ right ) \ right ) . \ end { aligned } } $

佇遮，_ J _ ± 三分之一是方程 $ x ^ { 二 } y+ xy'+ ( x ^ { 二 }-九分之一 ) y=零 $ 的解。

Scorer 函數是 $ y-xy=一 / \ pi $ 的解，伊嘛會當用艾里函數來表示：

$ { \ begin { aligned } \ mathrm { Gi } ( x ) & { }=\ mathrm { Bi } ( x ) \ int _ { x } ^ { \ infty } \ mathrm { Ai } ( t ) \ , dt + \ mathrm { Ai } ( x ) \ int _ { 零 } ^ { x } \ mathrm { Bi } ( t ) \ , dt , \ \ \ mathrm { Hi } ( x ) & { }=\ mathrm { Bi } ( x ) \ int _ {-\ infty } ^ { x } \ mathrm { Ai } ( t ) \ , dt-\ mathrm { Ai } ( x ) \ int _ {-\ infty } ^ { x } \ mathrm { Bi } ( t ) \ , dt . \ end { aligned } } $

抑是利用超幾何函數，

$ \ operatorname { Gi } ( z ) \ equiv { \ frac { 一 } { 三 } } \ operatorname { Bi } ( z )-{ \ frac { z ^ { 二 } } { 二 \ pi } } { _ { 一 } F _ { 二 } } ( 一 ; 三分之四 , 三分之五 ; z ^ { 三 } / 九 ) $

$ \ operatorname { Hi } ( z ) \ equiv { \ frac { 二 } { 三 } } \ operatorname { Bi } ( z ) + { \ frac { z ^ { 二 } } { 二 \ pi } } { _ { 一 } F _ { 二 } } ( 一 ; 三分之四 , 三分之五 ; z ^ { 三 } / 九 ) $

參考文獻

• Milton Abramowitz and Irene A . Stegun ( 一千九百五十四 ) . _ Handbook of Mathematical Functions with Formulas , Graphs , and Mathematical Tables _ , ( See § 十曉四 ) . National Bureau of Standards .
• Airy ( 一千八百三十八 ) . On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic . _ Transactions of the Cambridge Philosophical Society , _六, 三百七十九–四百空二 .
• Olver ( 一千九百七十四 ) . _ Asymptotics and Special Functions , _ Chapter  十一 . Academic Press , New York .
• Harold Richard Suiter . Star Testing Astronomical Telescopes : A Manual for Optical Evaluation and Adjustment . Richmond , VA : Willmann-Bell . 一千九百九十四 . ISBN  九百七十八八八八九十四四鼻三千三百九十六鼻四十四鼻六 .  （有真濟圖像）

外部連結

• 埃里克 ・ 韋斯坦因為 . Airy Functions . MathWorld .