菲耳積分

菲耳積分，不時予人寫作 _ S _ ( _ x _ ) 和 _ C _ ( _ x _ )。以奧古斯丁 ・ 菲瀨耳為名。

定義

菲瀨耳積分會當由下跤兩級數求甲，嘿所有 x 攏收斂。

$ S ( x )=\ int _ { 零 } ^ { x } \ sin ( t ^ { 二 } ) \ , dt=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } { \ frac { x ^ { 四 n + 三 } } { ( 二 n + 一 ) ! ( 四 n + 三 ) } } , $

$ C ( x )=\ int _ { 零 } ^ { x } \ cos ( t ^ { 二 } ) \ , dt=\ sum _ { n=零 } ^ { \ infty } ( 影一 ) ^ { n } { \ frac { x ^ { 四 n + 一 } } { ( 二 n ) ! ( 四 n + 一 ) } } . $

羊角螺線

估計值

_ C _ 和 _ S _ 的值當變數較近是無散大時，會當用複變分析的方法求了。用以下這个函數的路徑積分：

$ e ^ {-z ^ { 二 } } $

佇咧複數平面上的一个扇型的邊界，其中下爿踅正正 _ x _ 軸，頂半爿是沿著 _ y _  =  _ x _ , _ x _ ≥ 零的路徑，外圈是一个半路為 R，中心佇原點的弧形。

當 _ R _ 較早是散甲無錢大時，路徑積分沿弧形的部份欲到矣，實數軸的部份的積分會當由高斯的積分

$ \ int _ { y-axis } ^ { } e ^ {-z ^ { 二 } } dz=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-t ^ { 二 } } dt={ \ frac { \ sqrt { \ pi } } { 二 } } , $

而且經過簡單的計算了，第一象限平分線的彼條積分便會當變做菲耳積分。

$ \ int _ { slope } ^ { } \ exp (-z ^ { 二 } ) dz=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ exp (-t ^ { 二 } e ^ { i \ pi / 二 } ) e ^ { i \ pi / 四 } dt=e ^ { i \ pi / 四 } ( \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ cos (-z ^ { 二 } ) dz + i \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ sin (-z ^ { 二 } ) dz ) $

$ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ cos t ^ { 二 } \ , \ mathrm { d } t=\ int _ { 零 } ^ { \ infty } \ sin t ^ { 二 } \ , \ mathrm { d } t={ \ frac { \ sqrt { 二 \ pi } } { 四 } }={ \ sqrt { \ frac { \ pi } { 八 } } } . $

相關公式

下列一寡包含菲耳積分的關係式

• $ \ int _ { 零 } ^ { \ infty } e ^ {-at } \ sin ( t ^ { 二 } ) \ mathrm { d } t={ \ frac { 一 } { 四 } } * { \ sqrt { 二 \ pi } } * ( \ cos { \ frac { a ^ { 二 } } { 四 } } * ( 一孵二 * { \ rm { FresnelC } } ( ( 二分之一 ) * a * { \ sqrt { 二 } } / { \ sqrt { \ pi } } ) ) + \ sin { \ frac { a ^ { 二 } } { 四 } } * ( 一孵二 * \ mathrm { FresnelS } ( ( 二分之一 ) * a * { \ sqrt { 二 } } / { \ sqrt { \ pi } } ) ) ) $
• $ \ int \ sin ( ax ^ { 二 } + 二 bx + c ) \ mathrm { d } x={ \ frac { { \ sqrt { 二 \ pi } } * ( \ cos ( ( b ^ { 二 }-a * c ) / a ) * { \ rm { FresnelS } } ( { \ sqrt { 二 } } ( ax + b ) / ( { \ sqrt { \ pi a } } ) )-\ sin ( ( b ^ { 二 }-a * c ) / a ) * { \ rm { FresnelC } } ( { \ sqrt { 二 } } ( ax + b ) / ( { \ sqrt { \ pi a } } ) ) ) } { 二 { \ sqrt { a } } } } $
• $ \ int \ mathrm { FresnelC } ( t ) \ mathrm { d } t=\ mathrm { FresnelC } ( t ) * t-{ \ frac { \ sin { \ frac { \ pi t ^ { 二 } } { 二 } } } { \ pi } } $
• $ \ int \ mathrm { FresnelS } ( t ) \ mathrm { d } t=\ mathrm { FresnelS } ( t ) * t + { \ frac { \ cos { \ frac { \ pi t ^ { 二 } } { 二 } } } { \ pi } } $
• $ { \ frac { \ mathrm { d } ~ \ mathrm { FresnelC } ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ cos { \ frac { \ pi t ^ { 二 } } { 二 } } $
• $ { \ frac { \ mathrm { d } ~ \ mathrm { FresnelS } ( t ) } { \ mathrm { d } t } }=\ sin { \ frac { \ pi t ^ { 二 } } { 二 } } $

關聯條目

• 奧古斯丁 ・ 菲瀨耳
• 羊角螺線