萊維過程

萊維過程（Lévy process）源於法國數學家保羅・皮埃爾・萊維，是連紲時間上的一種擁有獨立穩定增量的左極限右連紲（Càdlàg）隨機的過程。出名的例有維納過程和泊松過程。

定義

一个隨機過程 $ X=\ { X _ { t } : t \ geq 零 \ } $ 是一个萊維過程若符合以下條件：

一 . $ X _ { 零 }=零 \ , $ 強欲確定講。二 .獨立的增量：對任何 $ 零 \ leq t _ { 一 } < t _ { 二 } < \ cdots < t _ { n } < \ infty $ , $ X _ { t _ { 二 } }-X _ { t _ { 一 } } , X _ { t _ { 三 } }-X _ { t _ { 二 } } , \ dots , X _ { t _ { n } }-X _ { t _ { n 影一 } } $ 互相獨立。三 .穩定增量：對任何 $ s < t \ , $ , $ X _ { t }-X _ { s } \ , $ 佮 $ X _ { t-s } \ , $ 有仝款分的布四 . $ t \ mapsto X _ { t } $ is 強欲確定右連左極 .

性質

獨立的增量

設 _ X _ t 是一个連紲時間上的隨機的過程。也就是講，對任何固定的 _ t _ ≥ 零，_ X _ t 是一个隨機變量。過程的增量為差值 _ X _ s − _ X _ t（任意的時間 _ t _ < _ s _）。獨立的增量意味著對所有啥物時陣 _ s _ > _ t _ > _ u _ > _ v _，_ X _ s − _ X _ t 和 _ X _ u − _ X _ v 相獨立。

穩定增量

若增量 _ X _ s − _ X _ t 的分布干焦依賴時間隔 _ s _ − _ t _，講增加是穩定的。

比如講，對維納過程，增量 _ X _ s − _ X _ t 服從均值為零，方差為 _ s _ − _ t _ 的常態分布。

對泊松過程，增量 _ X _ s − _ X _ t 服從指數為 _ s _ − _ t _ 的泊松分布

可分性

萊維過程佮無限會當分佈有關：

增加的分佈是無散赤會當分的。即對任意予定的 _ n _，_ X _ t 彼个分布會當表示講 n 個與 _ X _ t / n 仝分布的隨機變量的佮的分布。
反之，對逐个無散赤的分佈，會當構造出一个佮之對應的 Lévy 過程。

矩

做萊維過程的 _ n _ 階矩 $ \ mu _ { n } ( t )=E ( X _ { t } ^ { n } ) $ 有限時間，伊滿足二項式等式：

$ \ mu _ { n } ( t + s )=\ sum _ { k=零 } ^ { n } { n \ choose k } \ mu _ { k } ( t ) \ mu _ { n-k } ( s ) . $

例

維納過程

定義 _ X _ 為維納過程（抑是標準布朗運動）若是唯一 . 對任何 $ \ scriptstyle t \ geq 零 $，隨機變量 $ X _ { t } $ 服從常態分布 $ \ scriptstyle { \ mathcal { N } } ( 零 , t ) $ , 二 . 伊的跤跡是差不多四界連紲的；即，對差不多所有的事件 $ \ scriptstyle \ omega $，關於著 _ t _ 的函數 $ \ scriptstyle \ omega \ mapsto X _ { t } ( \ omega ) $ 是連紲的。

性質

伊的傅立葉變換做：

$ \ mathbb { E } { \ Big [} e ^ { i \ theta X _ { t } } { \ Big] }=\ exp \ left (-{ \ frac { 一 } { 二 } } t \ theta ^ { 二 } \ right ) $

其他性質會當參考詞條布朗運動。

複合泊松過程

定義 _ X _ 為一个實參數為 $ \ scriptstyle c \ geq 零 $，測度為 $ \ scriptstyle \ nu $ 複合泊松過程若而且唯若伊的傅立葉變換做：

$ \ mathbb { E } { \ Big [} e ^ { i \ theta X _ { t } } { \ Big] }=\ exp \ left ( ct \ left ( \ int _ { \ mathbb { R } } e ^ { i \ theta x } \ nu ( dx ) 影一 \ right ) \ right ) $ .

性質

參數為 $ \ scriptstyle c \ geq 零 $，測度為 Dirac 測度 $ \ scriptstyle \ nu=\ delta _ { 一 } $ 的複合泊松過程做泊松過程 .
設 _ N _ 為參數為 $ \ scriptstyle c \ geq 零 $ 的泊松過程，$ \ scriptstyle S _ { n }=\ sum _ { k=零 } ^ { n } Y _ { k } $ 為一个隨機漫步（$ \ scriptstyle Y _ { 一 } $ 的分布為 $ \ scriptstyle \ nu $），遐爾 $ \ scriptstyle X _ { t }=S _ { N _ { t } } $ 為一个複合泊松過程。

參閱

獨立同分布
維納過程
泊松過程
馬爾可夫鏈

參考來源

翻譯自英語、法語版維基詞條。

Ken-iti Sato . Lévy Processes and Inﬁnitely Divisible Distributions , Cambridge University Press , 一千九百九十九