著數積分
著數積分$ \ operatorname { li } ( x ) $ 是一个特殊函數。伊出現佇物理學的問題當中，佇咧數論內底嘛是有重要性，主要出現佇佮質數定理佮黎曼猜想的相關理論內底。
積分表示法
對數積分有一个積分的表示法，著所有的正實數 $ x \ neq 一 $ 攏有定義：
- $ \ operatorname { li } ( x )=\ int _ { 零 } ^ { x } { \ frac { dt } { \ ln ( t ) } } $
佇遮，ln 表示自然對數。函數一 / ln ( _ t _ ) 佇咧 _ t _=一位有一个點心咧，當 _ x _ > 一時，這个燭分干焦會當用柯西主值的概念來解說：
- $ \ operatorname { li } ( x )=\ lim _ { \ varepsilon \ to 零 } \ left ( \ int _ { 零 } ^ { 一-\ varepsilon } { \ frac { dt } { \ ln ( t ) } } + \ int _ { 一 + \ varepsilon } ^ { x } { \ frac { dt } { \ ln ( t ) } } \ right ) $
特殊值佮歐拉對數積分
因為這个積分佇咧 x 較近一時，值得欲來上近負無窮大，有的數學家為著避免麻煩，定會選擇另外一个相𫝛的定義，歐拉對數的積分定義做：
- $ \ operatorname { Li } ( x )=\ operatorname { li } ( x )-\ operatorname { li } ( 二 ) $
抑是
- $ \ operatorname { Li } ( x )=\ int _ { 二 } ^ { x } { \ frac { dt } { \ ln t } } $
函數 li ( _ x _ ) 有一个正根，伊出現佇 _ x _ ≈ 一孵四五一三六九九學兩千三百四十八 . . .。這个數稱做 Ramanujan-Soldner 常數。
- $ \ operatorname { li } ( 二 )=-( \ Gamma \ left ( 零 ,-\ ln 二 \ right ) + i \ , \ pi ) \ sim 一四空四五一六三七八空一一七四九二七 $
其中 $ \ Gamma \ left ( a , x \ right ) $ 是無完全伽瑪函數。
級數表示法
函數 li ( _ x _ ) 佮指數積分 Ei ( _ x _ ) 有以下的關係：
- $ { \ hbox { li } } ( x )={ \ hbox { Ei } } ( \ ln ( x ) ) $
其中 $ x > 一 $。這个等式提供矣 li ( _ x _ ) 的一个級數表示法：
- $ \ operatorname { li } ( e ^ { u } )={ \ hbox { Ei } } ( u )=\ gamma + \ ln u + \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { u ^ { n } \ over n \ cdot n ! } \ quad { \ text { for } } u \ neq 零 $
其中 γ ≈ 空九五七七二一五孵六千六百四十九一千五百三十二 . . . 是歐拉-馬歇羅尼常數。一个收斂了較緊的級數，是：
- $ \ operatorname { li } ( x )=\ gamma + \ ln \ ln x + { \ sqrt { x } } \ sum _ { n=一 } ^ { \ infty } { \ frac { ( 影一 ) ^ { n 影一 } ( \ ln x ) ^ { n } } { n ! \ ; 二 ^ { n 影一 } } } \ sum _ { k=零 } ^ { \ lfloor ( n 影一 ) / 二 \ rfloor } { \ frac { 一 } { 二 k + 一 } } $
漸近展開式
當 _ x _ → ∞，函數有以下的漸進表現：
- $ \ operatorname { li } ( x )={ \ mathcal { O } } \ left ( { x \ over \ ln ( x ) } \ right ) $
其中 $ { \ mathcal { O } } $ 是大 O 符號。完整的漸近展開式做：
- $ \ operatorname { li } ( x )={ \ frac { x } { \ ln x } } \ sum _ { k=零 } ^ { \ infty } { \ frac { k ! } { ( \ ln x ) ^ { k } } } $
抑是
- $ { \ frac { \ operatorname { li } ( x ) } { x / \ ln x } }=一 + { \ frac { 一 } { \ ln x } } + { \ frac { 二 } { ( \ ln x ) ^ { 二 } } } + { \ frac { 六 } { ( \ ln x ) ^ { 三 } } } + \ cdots $
注意，做將近展開式，這个級數是咧發散的：只有級數頭前有限個項才是較好的估計。這个展開式會當對指數積分的漸漸展開式直接推出。
數論中的重要性
著數積分佇數論中十分重要，出現佇咧某一个整數的質數個數的估計中。比如講，質數定理表明：
- $ \ pi ( x ) \ sim \ operatorname { Li } ( x ) $
其中 π ( _ x _ ) 是細漢的抑是等於 _ x _ 的質數的個數。
參見
- 指數積分
- 三角積分
參考文獻
- Milton Abramowitz and Irene A . Stegun , eds . _ Handbook of Mathematical Functions with Formulas , Graphs , and Mathematical Tables . _ New York : Dover , 一千九百七十二 . _ ( See Chapter 五 ) _