葛立恆數

葛立恆數由美國數學家羅納德 ・ 葛利恆提出，捌予人看做是佇正式的數學證明中出現過上大的數，後來是予人 TREE ( 三 ) 取代。伊大甲連高德納箭號表示法也僫簡單表示，必須愛使用六十四層高德納箭號表示法才表示會出來。馬丁 ・ 加德納佇一九七七年十一月佇美國科學人雜誌的「數學遊戲」專欄將這个數刊登出來，一九八空年被金氏世界紀錄訂做佇正式數學證明中出現過上大的數。

問題背景

葛立恆數佮拉姆做理論有關：考慮一个 $ n $ 維的超立方體，佇咧連結所有上點後，將形成一个 $ 二 ^ { n } $ 頂點完全圖。共這个圖的逐條邊仔畫紅色的抑是藍色。求 $ n $ 的上小值，才會當添法內底喔攏一定存在的一个佇仝一平面上有四个頂點的單色完全子圖。

佇一九七一年 Graham 佮 Rothschild 證明了這个題了解 $ N ^ { * } $ 的頂下界為 $ 六 \ leq N ^ { * } \ leq N $，其中 $ N $ 是一个真大但是明確定義的數字 $ F ^ { 七 } ( 十二 )=F ( F ( F ( F ( F ( F ( F ( 十二 ) ) ) ) ) ) ) $，用高德納箭號表示法，$ F $ 會當表示講 $ F ( n )=二 \ uparrow ^ { n } 三 $；康威鏈式箭號表示法也會當表示此數的大略範圍，此數介於 $ 四 \ rightarrow 二 \ rightarrow 八 \ rightarrow 二 $ 佮 $ 二 \ rightarrow 三 \ rightarrow 九 \ rightarrow 二 $ 之間，$ N ^ { * } $ 的頂懸佇二空一四年透過 Hales–Jewett 數的上界來降為 $ 二 \ uparrow \ uparrow 二 \ uparrow \ uparrow ( 三 + 二 \ uparrow \ uparrow 八 ) $，閣佇二空一九年進一步降低為 $ N=( 二 \ uparrow \ uparrow 五千一百三十八 ) \ times ( ( 二 \ uparrow \ uparrow 五千一百四十 ) \ uparrow \ uparrow ( 二 \ times 二 \ uparrow \ uparrow 五千一百三十七 ) ) \ ll 二 \ uparrow \ uparrow ( 二 \ uparrow \ uparrow 五千一百三十八 ) $；下界佇二空空三年由 Geoffrey Exoo 提懸為十一，並由 Jerome Barkley 佇二空空八年進一步的提懸為十三。所以目前所知上好的 $ N ^ { * } $ 頂下界為 $ 十三 \ leq N ^ { * } \ leq N$。

葛立恆數 $ G $ 比 $ N $ 大會濟，$ G $ 會當表示講 $ f ^ { 六十四 } ( 四 ) $，其中 $ f ( n )=三 \ uparrow ^ { n } 三 $。葛立恆數為此問題的較弱上界，是葛立恆無出版的工課，尾仔由馬丁 ・ 嘉德納刊登佇一九七七年十一月的美國科學人雜誌。

定義

定義函數 $ f ( n )=三 \ uparrow ^ { n } 三=三 [n + 二] 三=三 \ rightarrow 三 \ rightarrow n $（參見高德納箭號表示法、超運算、康威鏈式箭號表示法）， 則葛立恆數通使用疊代函數表示為 $ f ^ { 六十四 } ( 四 ) $。

雖然葛立恆數袂使用康威鏈式箭號表示法真方便表達，但康威鏈式箭號表示法能為伊簡單地定頂下界：

$ 三 \ rightarrow 三 \ rightarrow 六十四 \ rightarrow 二 < $ 葛立恆數 $ < 三 \ rightarrow 三 \ rightarrow 六十五 \ rightarrow 二 $

使用高德納箭號表示法來表示葛立恆數：

$ G=\ underbrace { 三 \ uparrow ^ { 三 \ uparrow ^ { 三 \ uparrow ^ { \ cdot ^ { \ cdot ^ { \ cdot ^ { 三 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 三 } \ cdot } \ cdot } \ cdot } 三 } 三 } 三 } _ { 六十四 { \ text { layers } } }=\ left . 三 \ underbrace { \ uparrow \ uparrow \ cdots \ cdots \ cdots \ cdots \ uparrow } _ { \ displaystyle 三 \ underbrace { \ uparrow \ uparrow \ cdots \ cdots \ cdots \ uparrow } _ { \ displaystyle \ underbrace { \ qquad \ vdots \ qquad } _ { \ displaystyle 三 \ underbrace { \ uparrow \ uparrow \ cdots \ uparrow } _ { \ displaystyle 三 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 三 } 三 } } 三 } 三 \ right \ } 六十四 { \ text { layers } } $

誠大粒的葛立恆數

利用超運算，葛立恆數 _ G _ 會當表示講：

$ \ underbrace { 三 [三 [ 三 [ \ cdots 三 [ 三 [ 三 } _ { 六十四 } [ 六] 三 + 二 ] 三 + 二 ] 三 \ cdots ] 三 + 二 ] 三 + 二 ] 三 $

其中，$ 六十四 $ 表示總共有六十四層超運算。對內至外，每一層中的超運算級數由方括號內的彼層所表示的數值決定。計算 _ G _ 值得愛經過六十四步，首先對上內層開始算：

$ g _ { 一 }=三 [六] 三=三 [五] ( 三 [五] 三 )=\ underbrace { 三 [四] ( 三 [四] ( 三 [四] \ cdots ( 三 [四] ( 三 [四] 三 } _ { 三 [五] 三 } ) ) \ cdots ) ) $

予：$ X=三 [五] 三=三 [四] ( 三 [四] 三 )=三 [四] ( 三 [三] ( 三 [三] 三 ) )=三 [四] ( 三 [三] 二十七 ) $

$=三 [四] 七石六千兩百五十五石九千七百四十八石四千九百八十七=\ underbrace { 三 [三] 三 [三] \ cdots [三] 三 } _ { 七石六千兩百五十五石九千七百四十八石四千九百八十七 }=\ underbrace { 三 _ { } ^ { 三 ^ { { } ^ { . \ , ^ { . \ , ^ { . \ , ^ { 三 } } } } } } } _ { 七石六千兩百五十五石九千七百四十八石四千九百八十七 } $（迵天代冪次）

$ g _ { 一 }=三 [六] 三=三 [五] ( 三 [五] 三 )=三 [五] X=\ underbrace { 三 [四] 三 [四] \ cdots [四] 三 } _ { X }=\ left . \ underbrace { 三 ^ { 三 ^ { . ^ { . ^ { . { 三 } } } } } } _ { \ underbrace { 三 ^ { 三 ^ { . ^ { . ^ { . { 三 } } } } } } _ { \ underbrace { \ vdots } _ { 三 } } } \ right \ } X $

共定函數：

$ f ( n )=三 [n + 二] 三 $

比如講：$ f ( 一 )=三 [三] 三 , \ f ( 二 )=三 [四] 三 $

$ g _ { 一 }=f ( 四 )=三 [六] 三=三 [五] X=\ underbrace { 三 [四] 三 [四] \ cdots [四] 三 } _ { X }=\ left . \ underbrace { 三 ^ { 三 ^ { . ^ { . ^ { . { 三 } } } } } } _ { \ underbrace { 三 ^ { 三 ^ { . ^ { . ^ { . { 三 } } } } } } _ { \ underbrace { \ vdots } _ { 三 } } } \ right \ } X $

然後計算 g 二：

$ g _ { 二 }=f ^ { 二 } ( 四 )=f ( f ( 四 ) )=三 [g _ { 一 } + 二] 三 $

來計算：

$ g _ { 三 }=f ( f ^ { 二 } ( 四 ) )=三 [g _ { 二 } + 二] 三 $

$ \ vdots \ vdots $

$ g _ { 六十三 }=f ( f ^ { 六十二 } ( 四 ) )=三 [g _ { 六十二 } + 二] 三 $

最後咧：

$ G=g _ { 六十四 }=f ^ { 六十四 } ( 四 )=\ underbrace { f ( f ( \ cdots f } _ { 六十四 } ( 四 ) \ cdots ) )=三 [g _ { 六十三 } + 二] 三 $

一般來講：

$ g _ { n }=三 [g _ { n 影一 } + 二] 三 $

其中：

$ f ^ { 二 } ( n )=f ( f ( n ) ) , \ f ^ { 三 } ( n )=f ( f ( f ( n ) ) ) , $ 以此類推。

葛立恆數上尾溜的五百位數字

. . .

兩千四百二十五九九五千空六十九五孵空六百四十七三石八千三百九十五六桱五千七百四十七九石一千三百六十五一爿九千三百五十一七堵九千八百三十三四配五千三百五十三六爿二千五百二十一四配三千空三五孵四千空一十二六鼻空二百六十七七堵一千六百二十二六爿七千兩百十六四千一八十八一孵空六百五十二二嬸六千三百十六九嬸三千五百五十一八○八千七百八十三逢八千八百一十四四配八千三百十四六千五百二十五二鋪六千一百六十八七鼗八千五百空九五千五百二十六四配六千空五十一七千一百十七二孵空九九九九七千空九十二九石一千兩百四十九五孵四千四百三十七八○八千八百七十四九九四六千空六十二八堵八千兩百九十一一爿七千兩百五十六嬸三千空一三更空三百六十二二交九千三百四十九一爿六千空八十二嬸五千四百五十九四配六千一百四十九四配五千七百八十八七堵一千四百二十七八堵三千兩百三十五八千兩百九十二四配二千一百空二九千一百八十二五瀨八千九百六十七五鋪三千五百六十四配三千空八十六九九千三百八十一爿六千八百九十二四堵九千八百八十九二四六千八百空九九九五千一百空一六交九千空五十五九石一千九百九十五一孵一千九百五十二四七千八百八十七一孵七千八百三十八堵三千七百空一八堵三千四百空二三逢六千四百七十四五榖四千八百八十八二嬸二千兩百二十一六桱一千五百七十三二孵二千八百空一一千三百二十九七堵四千五百空九二嬸七千三百四十四五孵九千四百五十四配三千四百三十三九百空一九千六百九十二八堵空二百五十三五孵兩千七百五十一八堵三千三百二十八九九九八千八百四十四六桱一千五百空八九九四千空四十二四配八千兩百六十五一千八百十九三-c八千五百十五六標兩千五百三十五七堵九千六百三十九九九尺六千一百八十九九嬸三千九百六十七九九四空五百四十九六陵六千三百八十三千兩百二十二三逢四千八百七十二三更九千六百七十一爿八千四百八十五一孵八千六百四十三九九石空五百九十一四千五百七十五六交二千七百二十六二堵四千六百四十一九九五千三百八十七 .

事實上，對所有正整數 $ n > 五百 $，$ 三 [四] n $ 的尾五百位數嘛佮葛立恆數仝款。

參見

• 搝約數