行列式

行列式（Determinant）， 記作 $ \ det ( A ) $ 抑是 $ | A | $，是一个佇方塊矩陣頂算會著的純量。行列式會當看做是有向面積抑是體積的概念佇一般的歐幾里得空間內底的推廣。抑是講，佇歐幾里著空間內底，行列式描述的是一个線性轉換著「體積」所造成的影響。無論是佇線性代數、多項式理論，抑是佇微積分學中（比如講換元積分法內底）， 行列式做基本的數學家私，攏有真重要的地應用。

行列式的概念上早出現佇解線性方程組的過程中。十七世紀的暗期，關孝佮佮萊布尼茨的著作中已經使用行列式來確定線性方程組解的個數佮形式。十八世紀開始，行列式開始做為獨立的數學概念被研究。十九世紀以後，行列式理論進一步得著發展佮完善。矩陣概念的引入予閣較濟有關行列式的性質予人發現，行列式佇濟濟領域攏漸漸顯現出重要的意義佮作用，其定義嘛予人推廣到諸如線性自同態佮向量組等結構上。

行列式的特性會當予人概為一个交替多線性形式，這个本質使得行列式佇歐幾里德空間內底會當成做是描述「體積」的函數。

記法

矩陣 $ A $ 的行列式記作 $ \ det ( A ) $。行列式不三時使用徛直線記法（比如講：克萊姆法則佮子式）。 比如講，伊對一个矩陣：

$ A={ \ begin { bmatrix } a & b & c \ \ d & e & f \ \ g & h & i \ end { bmatrix } } $

$ \ det ( A ) $ 也咧記 $ | A | $，抑是以細長的直線取代矩陣的方括號，明確來共寫做：

$ \ det ( A )=| A |={ \ begin { vmatrix } a & b & c \ \ d & e & f \ \ g & h & i \ end { vmatrix } } $

當這个記法用絕對值的時陣，其實作用物件為數，矩陣的絕對值是無定義的。矩陣範數通常以雙垂直線來表示（如：$ \ | \ cdot \ | $）， 而且會當使用下標。故袂佮二者造成相濫摻。

直觀定義

一个 _ n _ 階方塊矩陣 $ A $ 伊行列式會當直觀地定義如下：

$ \ det ( A )=\ sum _ { \ sigma \ in S _ { n } } \ operatorname { sgn } ( \ sigma ) \ prod _ { i=一 } ^ { n } a _ { i , \ sigma ( i ) } $ 其中，$ S _ { n } $ 是集合 $ \ left \ { 一 , 二 , . . . , n \ right \ } $ 用相換的全體，即集合 $ \ left \ { 一 , 二 , . . . , n \ right \ } $ 到家己身軀頂的一一映射（嘿射）全體；

$ \ sum _ { \ sigma \ in S _ { n } } $ 表示著 $ S _ { n } $ 全部元素的求和，即對每一个 $ \ sigma \ in S _ { n } $，$ \ operatorname { sgn } ( \ sigma ) \ prod _ { i=一 } ^ { n } a _ { i , \ sigma ( i ) } $ 佇加法算式內底出現一改；著每一个滿足 $ 一 \ leq i , j \ leq n $ 的數嘿 $ \ left ( i , j \ right ) $，$ a _ { i , j } $ 是矩陣 $ A $ 的第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素。

$ \ operatorname { sgn } ( \ sigma ) $ 表示置換 $ \ sigma \ in S _ { n } $ 的符號差，具體咧講，滿足 $ 一 \ leq i \ leq j \ leq n $ 猶毋過 $ \ sigma ( i ) > \ sigma ( j ) $ 的有序嘿 $ \ left ( i , j \ right ) $ 這號做 $ \ sigma $ 的一个逆序。

若是 $ \ sigma $ 的逆序有偶數個，著 $ \ operatorname { sgn } \ sigma=一 $，若共有奇數的彼个，著 $ \ operatorname { sgn } \ sigma=影一 $。

比如講伊，對三箍置換 $ \ sigma=\ left ( 二 , 三 , 一 \ right ) $（就是講 $ \ sigma ( 一 )=二 $，$ \ sigma ( 二 )=三 $，$ \ sigma ( 三 )=一 $）來講，因為一佇二後，一三後，所以計共有二个逆序（雙數的）， 所以 $ \ operatorname { sgn } ( \ sigma )=一 $，三階行列式中項 $ a _ { 一 , 二 } a _ { 二 , 三 } a _ { 三 , 一 } $ 的符號是正的。毋過對三箍置換 $ \ sigma=\ left ( 三 , 二 , 一 \ right ) $（就是講 $ \ sigma ( 一 )=三 $，$ \ sigma ( 二 )=二 $，$ \ sigma ( 三 )=一 $）來講，會當數出共有三个逆序（奇數的）， 所以 $ \ operatorname { sgn } \ sigma=影一 $，三階行列式中項 $ a _ { 一 , 三 } a _ { 二 , 二 } a _ { 三 , 一 } $ 符號是負號。

注意著對於任意正整數 $ n $，$ S _ { n } $ 把它有 _ n _ ! 個元素，因此上式中共有 $ n ! $ 個求佮項，即這是一个有限濟改的求和。

真簡單的二階佮三階的矩陣，行列式的表達式相對簡單，而且拄好是逐條主對角線（倒上正下跤）元素乘積之和減去逐條副對角線（正面至倒下）元素乘積之和（見圖中紅線佮藍線）。

• 二階矩陣的行列式：$ { \ begin { vmatrix } a _ { 一 , 一 } & a _ { 一 , 二 } \ \ a _ { 二 , 一 } & a _ { 二 , 二 } \ end { vmatrix } }=a _ { 一 , 一 } a _ { 二 , 二 }-a _ { 一 , 二 } a _ { 二 , 一 } $
• 三階矩陣的行列式：$ \ displaystyle { \ begin { vmatrix } a _ { 一 , 一 } & a _ { 一 , 二 } & a _ { 一 , 三 } \ \ a _ { 二 , 一 } & a _ { 二 , 二 } & a _ { 二 , 三 } \ \ a _ { 三 , 一 } & a _ { 三 , 二 } & a _ { 三 , 三 } \ end { vmatrix } }=a _ { 一 , 一 } a _ { 二 , 二 } a _ { 三 , 三 } + a _ { 一 , 二 } a _ { 二 , 三 } a _ { 三 , 一 } + a _ { 一 , 三 } a _ { 二 , 一 } a _ { 三 , 二 }-a _ { 一 , 三 } a _ { 二 , 二 } a _ { 三 , 一 }-a _ { 一 , 一 } a _ { 二 , 三 } a _ { 三 , 二 }-a _ { 一 , 二 } a _ { 二 , 一 } a _ { 三 , 三 } $

但對著階數 $ n \ geq 四 $ 的方陣 $ A $，按呢的主對角線佮副對角線分別干焦 $ n $ 條，因為 $ A $ 的主、副對角線總條數 $=二 n < \ left ( n 影一 \ right ) n < n !=S _ { n } $ 的元素素素數所致，行列式的相加項中除了按呢的對角線乘積以外，敢閣有其他閣較濟的項。像四階行列式中，項 $ a _ { 一 , 二 } a _ { 二 , 三 } a _ { 三 , 一 } a _ { 四 , 四 } $ 就毋是任何對角線的元素乘積。猶毋過，佮二、三階行列式狀況相仝的是，_ n _ 階行列式內底每一項猶原是對矩陣內底選取 _ n _ 個元素相乘得著，而且保證佇每行和每列內底攏拄好干焦選取一个元素，啊若規个行列式拄仔好將所有這款的選取方法遍歷一次。

另外咧，$ n \ times n $ 矩陣的每一行或者是每一列嘛會當看做是一个 $ n $ 元向量，這个時矩陣的行列式嘛予人號做這 $ n $ 個 $ n $ 元向量組成的向量組的行列式。

幾何意義：二維佮三維歐氏空間內底的例

行列式的一个自然的源起是 n 維平行體的體積。行列式的定義佮 n 維平行體的體積有本質上的關聯。

二維向量組的行列式

佇一个二維平面上，兩个向量 $ X=\ left ( a , c \ right ) $ 和 $ X'=\ left ( b , d \ right ) $ 伊的行列式是：

$ \ det ( X , X')={ \ begin { vmatrix } a & b \ \ c & d \ end { vmatrix } }=ad-bc $

譬論講，兩个向量 $ X=\ left ( 二 , 一 \ right ) $ 和 $ X'=\ left ( 三 , 四 \ right ) $ 伊的行列式是：

$ \ det ( X , X')={ \ begin { vmatrix } 二 & 三 \ \ 一 & 四 \ end { vmatrix } }=二 \ cdot 四配三 \ cdot 一=五 $

經計算會當知影，當初數是實數時，行列式表示的是向量 $ X $ 和 $ X'$ 形成的平行四邊形的有向面積，而且有如下性質：

• 行列式做零若而且唯若兩个向量共線（線性相依）， 這陣平行四邊形退化做一條直線。
• 若是以逆時針方向為正向，有向面積的意義是：平行四邊形面積做正而且唯一若以原點為不動點將 $ X $逆時針「踅甲」$ X'$ 處時，掃過的所在佇平行四邊形內底，若無面積就是負的。若正圖內底，$ X $ 和 $ X'$ 所構成的平行四邊形的面積就是正。
• 行列式是一个雙線性放送。也就是講，$ \ det ( \ lambda X + \ mu Y , X')=\ lambda \ det ( X , X') + \ mu \ det ( Y , X') \ ; $，

並且

$ \ det ( X , \ lambda X'+ \ mu Y')=\ lambda \ det ( X , X') + \ mu \ det ( X , Y') \ ; $。

其幾何意義是：以仝一个向量 $ v $ 成做一條邊的兩个平行四邊形的面積之和，等於𪜶各自另外一爿的向量 $ u $ 和 $ u'$ 加起來了後的向量：$ u + u'$ 和 $ v $ 所構成的平行四邊形的面積，如左圖中所示。

三維向量組的行列式

佇三維的有向空間內底，三維向量的行列式是：

$ \ det ( X , X', X)={ \ begin { vmatrix } x & x'& x\ \ y & y'& y\ \ z & z'& z\ end { vmatrix } }=xy'z+ x'yz + xyz'-xyz'-x'yz-xy'z $。

譬論講，三个向量 $ \ left ( 二 , 一 , 五 \ right ) $、$ \ left ( 六 , 零 , 八 \ right ) $ 和 $ \ left ( 三 , 二 , 四 \ right ) $ 伊的行列式是：

$ \ det ( X , X', X)={ \ begin { vmatrix } 二 & 六 & 三 \ \ 一 & 零 & 二 \ \ 五 & 八 & 四 \ end { vmatrix } }=二 \ cdot 零 \ cdot 四 + 六 \ cdot 二 \ cdot 五 + 三 \ cdot 一 \ cdot 八堵二 \ cdot 二 \ cdot 八堵六 \ cdot 一 \ cdot 四配三 \ cdot 零 \ cdot 五=二十八 $

當初數是實數時，行列式表示 $ X $、$ X'$ 和 $ X$ 三个向量形成的平行六面體的有向體積，嘛叫做這三个向量的混合積。按呢仝款，會當觀察著你按呢敢有性質：

• 行列式做零若而且唯若三个向量共線抑是共面（三者線性相依）， 這个時陣平行六面體退化做平面圖形，體積做零。

• 三維空間內底有向體積的定義愛比二維空間內底複雜，普通是根據正手定則來約定。比如講正圖內底 ( $ u , v , w $ ) 所形成的平行六面體的體積是正的，而且 ( $ u , w , v $ ) 所形成的平行六面體的體積是負的。這个定義佮行列式的計算並無矛盾，因為行列式中向量的坐標攏是咧取好坐標系了後才決定的，坐標系的三个方向一般嘛是按照正手規則來設定的。若是計算開始彼陣坐標系的定向倒爿過來的話，有向體積的定義嘛愛綴咧顛倒反，按呢行列式才會當代表有向體積。
• 這个時行列式是一个「三線性映射」，也就是講，嘿頭一个向量有 $ \ det ( aX + bY , X', X)=a \ det ( X , X', X) + b \ det ( Y , X', X) \ ; $，嘿第二、第三个向量嘛是按呢。其幾何意義佮二維基本相仝，是講當生做兩个平行六面體的每組三个向量中若有兩个是重合的，比如分別是：( $ u , v , w $ ) 和 ( $ u', v , w $ )，按呢𪜶的體積之總佮等於將 $ u $ 和 $ u'$ 加起來了後的向量 $ u + u'$ 和 $ v $ , $ w $ 所形成的平行六面體的體積，如右圖所示。

基底的選擇

佇以上的行列式中，咱無欲加選擇地將向量佇咧講的正交基（即直角坐標系）下分解，實際上佇無仝款的基底之下，行列式的值並無相𫝛。這並毋是講平行六面體積無唯一。恰恰反反，這說明體積的概念依賴于衡量空間的尺度，也就是基底的取法。用基底的轉換會當看做線性映射對基底的作用，煞無仝基底下跤的行列式代表了基轉換著「體積」的影響。會當證明，對所有仝款的標準正交基，向量組的行列式的值在絕對值意義上是仝款的。也就是講，阮選擇的基底攏是「單位長度」，並且兩正交，若按呢的基之下，平行六面體積的絕對值是唯一的。

線性轉換

設 E 是一个一般的 n 維的有向歐幾里著空間。一个線性轉換共一个向量線性地變做另外一个向量。譬論講，佇三維空間內底，向量 ( $ x , y , z $ ) 予人映射到向量 ( $ x', y', z'$ )：

$ { \ begin { matrix } x'=a _ { 一 } x + b _ { 一 } y + c _ { 一 } z \ \ y'=a _ { 二 } x + b _ { 二 } y + c _ { 二 } z \ \ z'=a _ { 三 } x + b _ { 三 } y + c _ { 三 } z \ end { matrix } } $

其中 $ a $、$ b $、$ c $ 是係數。若正圖，正四角柱（閣會當看做原來就的一組基形成的）經線性轉換以後會當變成做是一个普通的平行六面體，抑是講一个平行四邊形按呢（無體積）。 這兩款狀況表示兩種無仝款的線性轉換，行列式會當共其真好的分辨出來（做零抑無替零）。

閣較詳細講，行列式表示的是線性轉換前後平行六面體的體積的變化係數。若設倒爿的正爿體積是一，遐中央的平行六面體的（有向）體積就是線性轉換的行列式的值，正爿的平行四邊形體積做零，因為線性轉換的行列式做零。這咱透濫了線性轉換的行列式佮向量組的行列式，但是兩个是仝款的，因為咱佇對一組基作轉換。

行列式佮空間定向

以上二維和三維行列式的例中，行列式被解說做向量形成的圖形的面積抑是體積。面積抑是體積的定義是恆正的，咧行列式是有當有負的，所以需要引入有向面積佮有向體積的概念。負的面積抑是體積佇咧物理學內底可能歹理解，但是數學當中，𪜶有佮向角的概念類似，攏是對空間鏡面對稱特性的一種刻畫。如果行列式表示的是線性轉換對體積的影響，彼款行列式的正負就表示空間的定向。

你若上圖中，倒爿的黃色骰仔（會當看做有單位的有向體積的物體）佇經過線性轉換了後變做中央綠色的平行六面體，這陣行列式做正，兩个是仝定向的，會當通過旋轉佮搝伸對一个變成另外一个。十八骰仔佮正爿的紅色平行六面體之間嘛是通過線性轉換會著的，但是無論按怎轉踅佮搝伸，攏無法度使一个變另外一个，一定愛迵過鏡面反射才會用得。這陣兩者之間的線性轉換的行列式是負的。會當看出講，線性轉換會當分做兩類，一類從應正行列式，保持空間的定向無變，另外一類對應負的行列式，顛倒空間的定向。

一般域上的行列式：嚴格的定義

由兩維佮三維的例，會當看著一般的行列式應該有按怎的性質。佇咧 $ n $ 維歐幾里著空間，做為「平行多面體」的「體積」的概念的推廣，行列式繼承矣「體積」函數的性質。首先，行列式需要是線性的，這會當由面積的性質類比如講。遮的線性是對每一个向量來講的，因為當一个向量變為原來的 $ a $ 倍時，「 平行多面體」的「體積」嘛變做原來的 $ a $ 倍。其次，做一个向量佇咧其他向量組成的「超平面」上時，$ n $ 維「平行多面體」的「體積」是零（會當想像三維空間的例）。 也就是講，當向量線性相依時，行列式做零。佇一般係數域上的線性空間內底，行列式也正正是由按呢的特性所刻劃的：

交替多線性形式（多重線性函數）

行列式是係數域為 $ K $ 的有限維線性空間 $ E $ 射著 $ K $ 的交替 n-線性形式。

具體來講，設 $ E $ 是一个係數佇咧域 $ K $ 上有限維線性空間，維數為 $ n $。一个 $ E $ 上的交替 $ n-$ 線性的形式是指滿足以下性質的函數 $ D : E ^ { n } \ to K $：

一 . $ n $ 重線性：$ D ( a _ { 一 } , \ ldots , ca _ { i } + a _ { i }', \ ldots , a _ { n } )=cD ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i } , \ ldots , a _ { n } ) + D ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i }', \ ldots , a _ { n } ) $ 二 . 交替性：$ D ( a _ { 一 } , a _ { 二 } , \ ldots , a _ { n } )=-D ( a _ { 二 } , a _ { 一 } , \ ldots , a _ { n } ) $ 抑是講，當 $ a _ { i }=a _ { j } $ 的時陣 $ D ( a _ { 一 } , \ ldots , a _ { i } , \ ldots , a _ { j } , \ ldots , a _ { n } )=零 $

所有 E 上的交替 $ n-$ 線性形式的集合記作 $ A _ { n } ( E ) $。

向量組的行列式

設 $ B=( e _ { 一 } , \ dots , e _ { n } ) $ 是 $ E $ 的一組基，根據頂懸的定理佮線性形式的性質，會當定義 $ B $下跤的行列式。

其中的唯一性是因為若有兩个交替 $ n-$ 線性的形式滿足的條件，則𪜶的差佇一組基頂為零，對離開這个恆等於零。所以，一組基頂的一个向量組的行列式就是：

會當看著這个定義佮進前直觀的定義是差不多的，伊有時嘛予人號做萊布尼茲公式。

基變更公式

設 $ B $ 佮 $ B'$ 是向量空間內底的兩組基，則將頂懸定理中的 $ f $ 改做 $ \ det { } _ { B } $ 就得著向量組佇兩組基下跤的行列式之間的關係：

$ \ det { } _ { B'} ( a _ { 一 } , \ dots , a _ { n } )=\ det { } _ { B'} ( B ) \ times \ det { } _ { B } ( a _ { 一 } , \ dots , a _ { n } ) $，

矩陣的行列式

設 $ \ displaystyle { \ mathit { M } } _ { n } ( K ) $ 共所有的定義有人的數 $ K $ 上的 $ n \ times n $ 矩陣的集合。將 $ n \ times n $ 矩陣 $ M $（$ M $ 的元素記為 $ \ displaystyle m _ { i , j } $ ) 的 $ n $ 列寫做 $ m _ { 一 } , \ ldots , m _ { n } $，$ \ displaystyle m _ { j } $ 會當看做是 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的正則基頂懸的向量。矩陣 $ M $ 的行列式定義做向量組 $ m _ { 一 } , \ ldots , m _ { n } $ 的行列式。遮的量攏佇咧 $ \ mathbb { R } ^ { n } $ 的正則基上展開，因此矩陣的行列式無依賴佇基的選擇。

按呢出義的矩陣 $ M $ 的行列式佮向量組的行列式有仝款的性質。單位矩陣行列式做一个，若準陣的某幾行線性相依，則伊的行列式做零。

由萊布尼茲公式，會當證明矩陣行列式的一个重要性質：

也就是講矩陣的行列式既然會當看作 $ n $ 行向量的行列式，嘛會當看做 $ n $ 個列向量的行列式。所以嘛會當通過行向量組來定義矩陣行列式，並且得著的定義是等價的。

線性轉換的行列式

設 $ f $ 是 $ n $ 維線性空間 $ E $ 到家己的線性轉換（自同態）， 著於予定的一組基，會當定義線性轉換佇這組基下的行列式。

f 我轉換矩陣滿足 $ \ left [f ( x _ { 一 } ) , \ dots , f ( x _ { n } ) \ right]=\ left [f \ right] _ { B } \ cdot \ left [x _ { 一 } , \ dots , x _ { n } \ right] $ 也就是講對所有的向量組 $ ( x _ { 一 } , \ dots , x _ { n } ) $，

$ \ det { } _ { B } ( f ( x _ { 一 } ) , \ dots , f ( x _ { n } ) )=\ det \ left ( [f] _ { B } \ right ) \ times \ det { } _ { B } ( x _ { 一 } , \ dots , x _ { n } ) $

$=\ det f \ times \ det { } _ { B } ( x _ { 一 } , \ cdots , x _ { n } ) $。

會當證明，f 佇咧 E 的任意一組基下的轉換矩陣的行列式攏是相等的。

所以線性轉換的行列式定義會當修改做無依賴於基的形式：

前一節里對正方體做線性轉換時，$ ( x _ { 一 } , \ cdots , x _ { n } ) $ 是原來的基，$ \ det { } _ { B } ( x _ { 一 } , \ dots , x _ { n } )=一 $，因此會當透濫共量組的行列式佮線性轉換的行列式。

特別地，行列式做一線性轉換保持向量組的行列式，𪜶有一般線性群 $ GL ( E ) $ 的一个子群 $ SL ( E ) $，這號做特殊線性群。會當證明，$ SL ( E ) $ 是由所有的錯切生成的，即所有具譬下形式的矩陣代表的線性轉換：

$ { \ begin { bmatrix } 一 & & & & \ \ & 一 & & & \ \ & & \ lambda & & \ \ & & & 一 & \ \ & & & & 一 \ end { bmatrix } }=I _ { n } + \ lambda E _ { ij } $

其中 $ E _ { ij } $ 是干焦佇咧第 $ i $ 行第 $ j $ 列處的數取一，賰的係數為零的矩陣。也就是講，錯切轉換保持向量組形成的「平行多面體」體積。仝款，會當證明兩个相𫝛矩陣有相等的行列式。

係數的取值

以上的定義中攏假使矩陣的係數取自域 $ \ mathbb { K } $ 中，實際上矩陣的係數會當是任意的交換環 $ k $，這時有限維線性空間變做以 $ B=( e _ { 一 } , \ dots , e _ { n } ) $ 為基的自由 $ k-$ 模，相應的關於行列式的定義佮性質猶原成立（佇咧會當定義的範圍內底）。 如果矩陣係數是非交換環，以上的行列式定義將袂閣唯一。一八四五年，阿瑟 ・ 凱萊頭擺開始研究非交換環上行列式定義的問題。伊注意著，對於係數是四元數（毋通交換）的二階行列式

$ { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } \ \ \ end { vmatrix } } $

表達式 $ a _ { 十一 } a _ { 二十二 }-a _ { 十二 } a _ { 二十一 } $ 和 $ a _ { 十一 } a _ { 二十二 }-a _ { 二十一 } a _ { 十二 } $ 是無仝款的。一九二六年，阿蘭德 ・ 海廷佮 A . 理察森提出非交換環上的行列式的無仝定義。理察森將二階行列式定義做：$ ( a _ { 十一 }-a _ { 十二 } a _ { 二十二 } ^ { 影一 } a _ { 二十一 } ) a _ { 二十二 } $，若海廷是提倡使用 $ ( a _ { 十一 }-a _ { 十二 } a _ { 二十二 } ^ { 影一 } a _ { 二十一 } ) $。兩个人攏用歸納法定義矣閣較高階矩陣的行列式。一九三一年，奧斯丁 ・ 歐爾仔佇一大類毋是交換環（後來號名做歐爾環）上定義矣行列式的概念。上出名的非交換環上的行列式的定義當屬予 ・ 迪厄多內的定義。迪厄多內是布林巴基學派的代表成員之一，伊共除環 $ \ mathbb { K } $ 中的行列式定義佇商域 $ \ mathbb { K } / [\ mathbb { K } , \ mathbb { K }] $ 上，毋是咧 $ \ mathbb { K } $ 中。這个定義下的行列式有接近交換環中行列式的性質。比如講，迪爾濟內的行列式會當保持行列式的乘法定理。抑若這種行列式佮交換環中行列式的區別是：一般咱的兩途抑是兩列相換了後，行列式的值不變。了後菲列克斯 ・ 別列金（Березин , Феликс Александрович）、 佐藤幹夫等人對迪厄多內的定義進行了探究佮擴展。

行列式的性質

行列式的一寡基本性質，會當由伊的多線性佮交替性推出。

• 佇咧行列式中，一行（列）元素攏總替零，則此行列式的值為零。

: $ { \ begin { vmatrix } { \ color { blue } 零 } & { \ color { blue } 零 } & \ dots & { \ color { blue } 零 } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } & \ dots & a _ { 二 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }={ \ begin { vmatrix } { \ color { blue } 零 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ { \ color { blue } 零 } & a _ { 二十二 } & \ dots & a _ { 二 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ { \ color { blue } 零 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }=零 $

• 佇咧行列式中，某一行（列）有公因子 $ k $，著會當提出 $ k $。

: $ D={ \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ { \ color { blue } k } a _ { i 一 } & { \ color { blue } k } a _ { i 二 } & \ dots & { \color { blue } k } a _ { in } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }={ \ color { blue } k } { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { i 一 } & a _ { i 二 } & \ dots & a _ { in } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }={ \ color { blue } k } D _ { 一 } $

• 佇咧行列式中，某一行（列）每一个元素是兩數之佮，遮爾行列式會當拆分做兩个相加的行列式。

: $ { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ { \ color { blue } a _ { i 一 } } + { \ color { OliveGreen } b _ { i 一 } } & { \ color { blue } a _ { i 二 } } + { \ color { OliveGreen } b _ { i 二 } } & \ dots & { \ color { blue } a _ { in } } + { \ color { OliveGreen } b _ { in } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }={ \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ { \ color { blue } a _ { i 一 } } & { \ color { blue } a _ { i 二 } } & \ dots & { \ color { blue } a _ { in } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } } + { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ { \ color { OliveGreen } b _ { i 一 } } & { \ color { OliveGreen } b _ { i 二 } } & \ dots & { \ color { OliveGreen } b _ { in } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } } $

• 行列式中的兩行（列）相換，改變行列式正負符號。

: $ { \ begin { vmatrix } \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ { \ color { blue } a _ { i 一 } } & { \ color { blue } a _ { i 二 } } & \ dots & { \ color { blue } a _ { in } } \ \ { \ color { OliveGreen } a _ { j 一 } } & { \ color { OliveGreen } a _ { j 二 } } & \ dots & { \ color { OliveGreen } a _ { jn } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } }=-{ \ begin { vmatrix } \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ { \ color { OliveGreen } a _ { j 一 } } & { \ color { OliveGreen } a _ { j 二 } } & \ dots & { \ color { OliveGreen } a _ { jn } } \ \ { \ color { blue } a _ { i 一 } } & { \ color { blue } a _ { i 二 } } & \ dots & { \ color { blue } a _ { in } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } } $

• 佇咧行列式中，有兩途（列）對應做比例抑是仝款，則此行列式的值為零。

: $ { \ begin { vmatrix } { \ color { blue } 二 } & { \ color { blue } 二 } & \ dots & { \ color { blue } 二 } \ \ { \ color { blue } 八 } & { \ color { blue } 八 } & \ dots & { \ color { blue } 八 } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }=零 $

• 將一行（列）的 $ k $ 倍加進另外一逝（列）內底，行列式的值不變。

: $ { \ begin { vmatrix } \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ a _ { i 一 } & a _ { i 二 } & \ dots & a _ { in } \ \ a _ { j 一 } & a _ { j 二 } & \ dots & a _ { jn } \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } }={ \ begin { vmatrix } \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ a _ { i 一 } & a _ { i 二 } & \ dots & a _ { in } \ \ a _ { j 一 } { \ color { blue } + ka _ { i 一 } } & a _ { j 二 } { \ color { blue } + ka _ { i 二 } } & \ dots & a _ { jn } { \ color { blue } + ka _ { in } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } } $

注意：一行（列）的 $ k $ 倍加上另外一途（列）， 行列式的值改變。

$ { \ begin { vmatrix } \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ a _ { i 一 } & a _ { i 二 } & \ dots & a _ { in } \ \ a _ { j 一 } & a _ { j 二 } & \ dots & a _ { jn } \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } } { \ color { red } \ neq } { \ begin { vmatrix } \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ a _ { i 一 } & a _ { i 二 } & \ dots & a _ { in } \ \ { \ color { red } k } a _ { j 一 } { \ color { red } + a _ { i 一 } } & { \ color { red } k } a _ { j 二 } { \ color { red } + a _ { i 二 } } & \ dots & { \ color { red } k } a _ { jn } { \ color { red } + a _ { in } } \ \ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \ \ \ end { vmatrix } } $

• 共行列式的行列相換，行列式的值不變，其中行列相換起來敢若轉置。這个性質會當簡單來記作

: $ D={ \ begin { vmatrix } a _ { ij } \ end { vmatrix } }={ \ begin { vmatrix } a _ { ji } \ end { vmatrix } }=D ^ { \ textrm { T } } $

比如講

$ { \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 十二 } & \ dots & a _ { 一 n } \ \ a _ { 二十一 } & a _ { 二十二 } & \ dots & a _ { 二 n } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { n 一 } & a _ { n 二 } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } }={ \ begin { vmatrix } a _ { 十一 } & a _ { 二十一 } & \ dots & a _ { n 一 } \ \ a _ { 十二 } & a _ { 二十二 } & \ dots & a _ { n 二 } \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ a _ { 一 n } & a _ { 二 n } & \ dots & a _ { nn } \ end { vmatrix } } $

• 行列式的乘法定理：方塊矩陣的乘積的行列式等於行列式的乘積。$ \ displaystyle \ det ( AB )=\ det ( A ) \ det ( B ) $。特別的，若將矩陣中的每一行每一列上的數攏乘以一个常數 $ r $，所得著的行列式毋是原來的$ r $倍，是啊 $ r ^ { n } $ 倍：

$ \ det ( rA )=\ det ( rI _ { n } \ cdot A )=\ det ( rI _ { n } ) \ cdot \ det ( A )=r ^ { n } \ det ( A ) $。

• 以上的乘法公式閣會當進一步來推廣為所謂柯西–比內公式，對而且會當予兩个矩陣的乘積是方塊矩陣，就有類似以上的結果：準講 $ A $ 是一个 $ m \ times n $ 矩陣，而且 $ B $ 是一个 $ n \ times m $ 矩陣。若是 $ S $ 是 $ \ left \ { 一 , \ cdots , n \ right \ } $ 中具有 $ m $ 個元素的子集 $ \ left \ { S _ { 一 } , \ cdots , S _ { m } \ right \ } $，阮記 $ A _ { S } $ 為 _ $ A $ _ 中列指標位佇咧 _ $ S $ _ 中的 $ m \ times m $ 子矩陣。類似地，記 $ B _ { S } $ 為 $ B $ 中行指標位佇咧 _ $ S $ _ 中的 $ m \ times m $ 子矩陣。遐爾

$ \ det ( AB )=\ sum _ { S } \ det ( A _ { S } ) \ det ( B _ { S } ) \ , $

遮求遍 $ \ left \ { 一 , \ cdots , n \ right \ } $ 中 _ $ m $ _ 個元素的所有可能子集 _ $ S $ _（共有 C ( _ n _ , _ m _ ) 個）。

若是 $ m=n $，即 _ $ A $ _ 佮 _ $ B $ _ 是平大細的方塊矩陣，干焦一个容允集合 _ $ S $ _，柯西–比內公式退化做通常行列式的乘法公式。如過 $ m=一 $ 則有 $ n $ 容許集合 _ $ S $ _，這个公式退化做點積。若是 $ m > n $，無容易集合 _ $ S $ _，定行列式 $ \ det ( AB ) $ 是零。

• 若是 _$ A $_ 是可逆矩陣，$ \ displaystyle \ det ( A ^ { 影一 } )=( \ det ( A ) ) ^ { 影一 } $。
• 由行列式的乘法定理以及 $ \ displaystyle \ det ( A ^ { 影一 } )=( \ det ( A ) ) ^ { 影一 } $ 會當知影講，行列式定義一个對一般線性群 $ ( GL _ { n } ( \ mathbb { F } ) , \ times ) $ 到 $ ( \ mathbb { F } ^ { * } , \ times ) $ 上的群同態。
• 若是共方塊矩陣中的元素共擔，得著的是矩陣的共擔矩陣。共擔矩陣的行列式值等於矩陣行列式值的共擔：$ \ det ( { \ overline { A } } )={ \ overline { \ det ( A ) } } $
• 若兩个矩陣相𫝛，按呢𪜶行列式相仝。是因為兩个相𫝛的矩陣之間干焦差一个基底轉換，佇咧行列式描述的是矩陣對應的線性影射對體積的影響，毋是體積，所以基底轉換並袂影響行列式的值。用數學的語言來講，就是講：

你若兩个矩陣 _$ \ mathbf { A } $_ 佮$ \ mathbf { B } $相仝，按呢存在可逆矩陣 $ \ mathbf { P } $ 予得

$ \ mathbf { A }=\ mathbf { PB } \ mathbf { P } ^ { 影一 } $，所以乎

$ \ det ( \ mathbf { A } )=\ det ( \ mathbf { PB } \ mathbf { P } ^ { 影一 } )=\ det ( \ mathbf { P } ) \ cdot \ det ( \ mathbf { B } ) \ cdot \ det ( \ mathbf { P } ^ { 影一 } )=\ det ( \ mathbf { B } ) \ cdot \ det ( \ mathbf { P } ) \ cdot \ det ( \ mathbf { P } ) ^ { 影一 }=\ det ( \ mathbf { B } ) $

• 行列式是所有特徵值（照代數重數計）的乘積。這會當由矩陣必須佮其若做標準型相𫝛推導出。特殊的所在，三角矩陣的行列式等於其對角線頂所有元素的乘積。
• 因為三角矩陣的行列式計算簡便，當矩陣的係數為域時，會當通過高斯消去法將矩陣轉換做三角矩陣，抑是將矩陣分解做三角矩陣的乘積了後再利用行列式的乘法定理進行計算。會當證明，所有的矩陣 _$ A $_ 攏會當分解做一个上三角矩陣 _$ U $_、一个下三角矩陣 _$ L $_ 猶閣有一个換矩陣$ P $的乘積：$ A=P \ cdot L \ cdot U $。這陣，矩陣 _$ A $_ 的行列式會當寫做：

$ \ det ( A )=\ det ( P ) \ cdot \ det ( L ) \ cdot \ det ( U ) $

• 分塊矩陣的行列式並無簡單表示成逐個分塊的行列式的乘積組合。對分箍的三角矩陣，猶原有類似的結論：

$ { \ begin { vmatrix } A & 零 \ \ C & D \ end { vmatrix } }={ \ begin { vmatrix } A & B \ \ 零 & D \ end { vmatrix } }=\ det ( A ) \ det ( D ) $，矩陣的行列式等於對角元素的行列式之乘積。

對一般情形的彼號，若對角元素內底有一个是可逆矩陣，譬論講 _$ A $_ 可逆，遐爾矩陣陣的行列式會當寫做

$ { \ begin { vmatrix } A & B \ \ C & D \ end { vmatrix } }=\ det ( A ) \ det ( D-CA ^ { 影一 } B ) $。

• 矩陣的行列式佮矩陣的跡數有一定的關聯，當矩陣的係數為域時，佇咧定義矣矩陣的指數函數了後，有如下的恆等式：

$ \ det ( \ exp ( A ) )=\ exp ( \ mathrm { tr } ( A ) ) $

行列式的展開

餘因式

著一个 $ n $ 階的行列式 $ M $，共用掉 _ $ M $ _ 的第 $ i $ 行第 $ j $ 列後形成的 $ n 影一 $ 階的行列式叫做 _ $ M $ _ 關於元素 $ m _ { ij } $ 的餘因式。記作 $ M _ { ij } $。

$ M _ { ij }={ \ begin { vmatrix } m _ { 一 , 一 } & \ dots & m _ { 一 , j 影一 } & m _ { 一 , j + 一 } & \ dots & m _ { 一 , n } \ \ \ vdots & & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ m _ { i 影一 , 一 } & \ dots & m _ { i 影一 , j 影一 } & m _ { i 影一 , j + 一 } & \ dots & m _ { i 影一 , n } \ \ m _ { i + 一 , 一 } & \ dots & m _ { i + 一 , j 影一 } & m _ { i + 一 , j + 一 } & \ dots & m _ { i + 一 , n } \ \ \ vdots & & \ vdots & \ vdots & & \ vdots \ \ m _ { n , 一 } & \ dots & m _ { n , j 影一 } & m _ { n , j + 一 } & \ dots & m _ { n , n } \ end { vmatrix } } $

代數餘子式

_ $ M $ _ 關於元素 _ $ m _ { ij } $ _ 的代數餘子式記作 $ C _ { ij } $。$ C _ { ij }=( 影一 ) ^ { ( i + j ) } \ cdot M _ { ij } $。

行列式關於行佮列的展開

一个 _ $ n $ _ 階的行列式 _ $ M $ _ 會當寫做一行（抑是一列）的元素佮對應的代數餘子式的乘積之佮，叫做行列式如一走（抑是一列）的展開。

$ \ det { M }=\ sum _ { i=一 } ^ { n } m _ { i ; j } C _ { i , j } $

$ \ det { M }=\ sum _ { j=一 } ^ { n } m _ { i ; j } C _ { i , j } $

這个公式閣號做拉普拉斯公式，共 _ $ n $ _ 維矩陣的行列式計算變做$ n $個 $ n 影一 $ 維的行列式的計算。另外一方面，拉普拉斯公式會當做為行列式的一種歸納定義：佇定義二維行列式了後，_$ n $_ 維矩陣行列式會當藉助拉普拉斯公式用$ n 影一 $維的行列式來定義。按呢定義的行列式佮頭前的定義是等價的。

行列式的計算

計算行列式的值是一个捷看著的問題。上簡單的方法是按照定義 $ \ det ( A )=\ sum _ { \ sigma \ in S _ { n } } \ operatorname { sgn } ( \ sigma ) \ prod _ { i=一 } ^ { n } a _ { i , \ sigma ( i ) } $ 計算抑是按照拉普拉斯公式進行遞迴運算。按呢的算法需要算 $ n ! $ 次的加法，複雜度是指數函數。佇實際的計算中干焦會當用佇計算階數足細的行列式。注意著拉普拉斯公式的性質，你若一行抑是一列內底有足濟零，按呢就會當共行列式按這途抑是一列展開，這時數值為零的係數所對應的代數餘子式就毋免算矣，因為落尾欲抾以零，按呢就會使簡省計算。毋過更加簡便的算法是利用高斯消去法抑是 LU 分解法，共矩陣通過初等轉換變做三角矩陣抑是三角矩陣的乘積來計算行列式的值。遮的算法的複雜度攏是 $ n ^ { 三 } $ 級別，佇遠遠無算偌久的複雜度。

若一个算法會當佇 $ { \ mathit { O } } ( n ^ { s } ) $ 時間內算出矩陣乘法，哪會當構造出一種 $ { \ mathit { O } } ( n ^ { s } ) $ 時間內的行列式求值算法。這講明求矩陣的行列式的值和矩陣的乘法有仝款的複雜度。所以，通過分治算法抑是其他方法，會當達到比 $ { \ mathit { O } } ( n ^ { 三 } ) $ 閣較好的結果。比如講，佇咧複雜度 $ { \ mathit { O } } ( n ^ { 二嬸三七六 } ) $ 的行列式求值算法。

行列式函數

由行列式的一般表達形式內底會當看出，矩陣 _$ A $_ 的行列式是關於其實上濟的項式。就按呢行列式函數具有良好的光滑性質。

單變數的行列式函數

設矩陣函數 $ t \ mapsto A ( t ) $ 為 $ { \ mathcal { C } } ^ { k } $（k階連紲會當導）的函數，因為行列式函數 $ t \ mapsto \ det A ( t ) $ 只不過是矩陣 $ A ( t ) $ 某一寡係數的乘積，所以嘛是 $ { \ mathcal { C } } ^ { k } $ 的。其實乎 _ t _ 的導數為

$ { \ frac { \ rm { d } } { { \ rm { d } } t } } \ left ( \ det ( A _ { 一 } ( t ) , \ dots , A _ { n } ( t ) ) \ right )=\ sum _ { i=一 } ^ { n } \ det ( A _ { 一 } ( t ) , \ dots , A _ { i 影一 } ( t ) , A'_ { i } ( t ) , A _ { i + 一 } ( t ) , \ dots , A _ { n } ( t ) ) $，其中的這个每一个 $ A _ { i } ( t ) $ 是矩陣 $ A ( t ) $ 的第i行向量（嘛會當全部是列向量）。

矩陣的行列式函數

函數 $ A \ mapsto \ det A $ 是連紲的。由此，n 階一般線性群是一个開集，因為是開區間 $ \ mathbb { R }-\ left \ { 零 \ right \ } $ 的原像，特殊線性群是一个閉集，因為是關集合 $ \ left \ { 一 , 影一 \ right \ } $ 的原像。

函數 $ A \ mapsto \ det A $ 嘛是有可微的，甚至是金滑的（$ { \ mathcal { C } } ^ { \ infty } $）。 伊佇某一个矩陣$ A $處展開為

$ \ det ( A + H )=\ det A + { \ rm { tr } } ( { } ^ { t } { \ rm { Com } } ( A ) . H ) + o ( \ | H \ | ) $

也就是講，佇咧裝備正則範數的矩陣空間 $ M _ { n } ( \ mathbb { R } ) $ 中，伴隨矩陣是行列式函數的梯度

$ \ nabla \ det ( A )={ \ rm { Com } } ( A ) $ 特別當 $ A $ 為單位好的陣，

$ \ det ( I + H )=一 + { \ rm { tr } } ( H ) + o ( \ | H \ | ) , \ qquad \ nabla \ det ( I )=I $

可逆矩陣的可微性說明一般線性群 $ GL _ { n } ( \ mathbb { R } ) $ 是一个李群。

佮外代數的關係

行列式佮外代數有密切的關係，因為外代數當咧予定的交換環 $ \ mathbb { K } $ 最的自由 $ \ mathbb { K } $-模 $ V $ 上上上「一般性」的有交替性質的結合代數，記為 $ \ wedge ( V ) $。外代數是迵好積構造成的，抑櫼櫼佇$ V $上的交替性質表現而且（定義）：

楔積是滿足結合律的雙線性的二元運算，會當對所有向量 $ v \ in V $，$ v \ wedge v=零 $

這表示講

對所有向的量 $ u , v \ in V $，$ u \ wedge v=-v \ wedge u $，以及

當 $ v _ { 一 } , \ ldots , v _ { k } \ in V $ 線性相照時，$ v _ { 一 } \ wedge v _ { 二 } \ wedge \ cdots \ wedge v _ { k }=零 $。所有的形同 $ v _ { 一 } \ wedge v _ { 二 } \ wedge \ cdots \ wedge v _ { k } $ 的元素號做 $ k-$向量。所有 $ k-$ 向量構成矣 $ \ wedge ( V ) $ 的一个子空間，這號做$ V $的 $ k-$階外冪，記為 $ \ wedge ^ { k } ( V ) $。行列式函數是 _$ n $_ 重交替線性形式，所以會當看做是將 _$ n $_ 個 $ \ mathbb { K } ^ { n } $ 內底的向量共伊射著對應的 _ $ n-$ _ 階外冪 $ \ wedge ^ { n } ( \ mathbb { K } ^ { n } ) $ 按呢一个映射。因為 $ \ mathbb { K } ^ { n } $ 的 $ k-$ 階外冪 $ \ wedge ^ { k } ( \ mathbb { K } ^ { n } ) $ 的維數等於組合數 $ { \ binom { n } { k } } $，$ \ wedge ^ { n } ( \ mathbb { R } ^ { n } ) $ 的維數是 $ { \ binom { n } { n } }=一 $，所以 $ \ wedge ^ { n } ( \ mathbb { K } ^ { n } ) $ 實際上仝款構 $ \ mathbb { K } $，所以講共行列式看做 _$ n $_ 個 $ \ mathbb { K } ^ { n } $ 內底的向量共伊射著對應的 _ $ n-$ _ 階外冪 $ \ wedge ^ { n } ( \ mathbb { K } ^ { n } ) $ 的影射佮進前的行列式定義並無衝突。外代數理論實際上涵蓋行列式理論。

嘿三維歐幾里著空間 $ \ mathbb { R } ^ { 三 } $ 會當建立一个線性同構 $ \ phi : \ Lambda ^ { 二 } ( \ mathbb { R } ^ { 三 } ) \ rightarrow \ mathbb { R } ^ { 三 } $ 如下：任取 $ \ mathbb { R } ^ { 三 } $ 的正手的標準正交基 $ { \ boldsymbol { i } } $，$ { \ boldsymbol { j } } $，$ { \ boldsymbol { k } } $，規定 $ \ phi $ 共 $ { \ boldsymbol { i } } \ wedge \ mathbf { j } $，$ { \ boldsymbol { j } } \ wedge { \ boldsymbol { k } } $，$ { \ boldsymbol { k } } \ wedge { \ boldsymbol { i } } $ 分別映射為 $ { \ boldsymbol { k } } $，$ { \ boldsymbol { i } } $，$ { \ boldsymbol { j } } $，著 $ \ phi $ 的定義佮正手的標準正交基如何選取無關係。

這袂歹看著，對任意向量 $ { \ boldsymbol { u } } $ 和 $ { \ boldsymbol { v } } $，這个線性仝構共櫼積 $ { \ boldsymbol { u } } \ wedge { \ boldsymbol { v } } $ 映射為叉積 $ { \ boldsymbol { u } } \ times { \ boldsymbol { v } } $。這就是叉仔乘（向量積）的實質。叉積會當用帶向量的行列式：

$ \ mathbf { a } \ times \ mathbf { b }=\ { \ begin { vmatrix } \ mathbf { i } & \ mathbf { j } & \ mathbf { k } \ \ a _ { 一 } & a _ { 二 } & a _ { 三 }\ \ b _ { 一 } & b _ { 二 } & b _ { 三 } \ \ \ end { vmatrix } } $

來表示，但是愛注意這个行列式形式並無代表一个「真的」的行列式，因為第一途的分量毋是數，是向量。這个計算之所以正確是得益於線性同構 $ \ phi $。

歷史

行列式的概念上頭仔是綴著方程式組的求解發展起來的。行列式的提出會當追溯到十七世紀，頭先的幼井形由日本數學家關孝佮德國數學家戈特殊學里德 ・ 萊布尼茨隨人獨立會出，時間差一三二年。

古早研究

一五四五年，吉羅拉莫 ・ 卡而達諾在對作《大術》（Ars Magna）著一種解破兩个一擺方程組的方法。伊共這種方法叫做「母法」（_ regula de modo _）。 這種方法佮後來的克拉瑪公式已經欲相𫝛矣，但卡爾達諾並無予出行列式的概念。

一六八三年，日本數學家關孝佮在其著作《解伏題之法》中第一遍引進行列式的概念。冊內底出現矣 $ 二 \ times 二 $、$ 三 \ times 三 $ 乃至 $ 五 \ times 五 $ 的行列式，行列式被用來求解高次方程組。

一六九三年，德國數學家萊布尼茨開始使用指標數的系統集合來表示有三个未知數的三个一改方程組的係數。伊對三个方程式的系統乎中消去了兩个無知量了後得著一个行列式。這个行列式無等於零，就意味對有一組解同時滿足三个方程式。因為彼陣仔無矩陣的概念，萊布尼茨將行列式中元素的位置用數對來表示：ij 代表第 _ i _ 行第 _ j _ 列。萊布尼茨對行列式的研究成果中已經包括行列式的展開佮克拉瑪公式，但遮的結果佇彼个時陣並毋是為人所知。

任意階數的行列式

一七三空年，蘇格蘭數學家科林 ・ 麥克勞林佇伊的《論代數》中已經開始闡述行列式的理論，記載用行列式解決二箍、三元佮四元一次方程式的方法，並且出了四箍一次方程組的一般解的正確形式，儘管這本冊到麥克勞林過身了後（一七四八年）才會當出版。

一七五空年，瑞士的加布里爾 ・ 克拉瑪首先欲佇伊的這个《代數曲線分析引論》給出了 _ n _ 元一次方程組求解的法則，用佇確定經過五个點的一般兩改的曲線的係數，但並無共出證明。其中行列式的計算十分複雜，因為是定義咧奇置換尪仔換懸頂的。

此後，關於行列式的研究沓沓仔增加。一七六四年，法國的艾蒂安 ・ 貝祖的論文中關於行列式的計算方法的研究簡化了克拉瑪公式，共出了用結式來判別線性方程組的方法。仝彼是法國人的亞歷山德 ・ 西奧菲勒 ・ 范德蒙德（Alexandre-Théophile Vandermonde）就佇一七七一年的論著中第一个欲行列式佮解方程式理論分離，對行列式單獨作出闡述。這是數學家開始對行列式本身進行研究的開端。

一七七二年，皮埃爾-西蒙 ・ 拉普拉斯咧論文《對積分佮世界體系的探討》中推廣范德蒙德著作內底的行列式展開為若干焦一个較細的行列式的之和的方法，發展出子式的概念。一年後，約瑟夫 ・ 搝格朗日發現矣 $ 三 \ times 三 $ 的行列式和空間中體積的聯絡。伊發現講：原點佮空間中三个點所構成的四面體的體積，是𪜶的坐標所組成的行列式的六分之一。

行列式佇咧大部份歐洲的語言內底予人叫做是「determinant」（某一寡語言中詞尾加 e 抑是 o，抑是變做講 s）， 這个稱呼上早是由卡爾 ・ 被里德里希望 ・ 高斯佇咧伊的《算術研究》內底引入來的。這號稱呼的詞根有「決定」意思，因為佇高斯的使用中，行列式會使決定兩改曲線的性質。佇仝一本的著作中，高斯閣講一種通過係數之間加減來求解多元一改方程組的方法，也就是這馬的高斯消去法。

行列式的現代概念

進入十九世紀了後，行列式理論進一步得著發展佮完善。奧古斯丁 ・ 路易 ・ 柯西佇一八一二年首先將「determinant」一詞用來表示十八世紀出現的行列式，此前高斯只不過將這个詞限定佇咧二次曲線所對應的係數行列式中。柯西嘛是上早會行列式排做方陣閣共其元素用雙重下標表示的數學家（垂直線記法是阿瑟 ・ 凱萊佇一八四一年率先使用的）。 柯西還證明矣行列式的乘法定理（實際上是矩陣乘法）， 這个定理曾經佇雅克 ・ 菲利普 ・ 瑪利 ・ 比內（Jacque Philippe Marie Binet）彼冊內底出現過，但是無證明。

十九世紀五十年代，凱萊佮詹姆斯 ・ 約瑟夫 ・ 西爾維斯特將矩陣的概念引入數學研究中。行列式佮矩陣之間的密切關係予得矩陣論是愈來愈發展的同時嘛帶來愈濟關於行列式的新結果，像阿達馬不等式、正交行列式、對稱行列式等等。

佮這个同時，行列式也被應用佇各種領域內底。高斯佇二次曲線佮二次型的研究中使用行列式作為二次曲線佮二次型劃歸做標準型時的判別依照。了後，卡爾 ・ 魏爾斯特拉斯佮西爾維斯特別完善矣二次型理論，研究矣 $ \ lambda $-矩陣的行列式猶閣有初等因為。行列式被用佇偌重函數的積分大約原仔佇咧十九世紀三十年代。一八三二年至一八三三年間卡爾 ・ 雅可比發現一寡特殊結果，一八三九年，歐仁 ・ 夏爾 ・ 卡塔蘭（Eugène Charles Catalan）發現著所謂的雅可比行列式。一八四一年，雅可比發表了一篇關於函數行列式的論文，討論函數的線性相依性佮雅可比行列式的關係。

應用

走列式和線性方程組

行列式的一个主要應用是解線性方程組。做線性方程組的方程式個數佮未知數個數相等時，方程組無一定總是有唯一解。嘿一个有 _ n _ 一个方程式佮 _ n _ 個未知數的線性方程組，阮研究無知數所對應的行列式。這个線性方程組有唯一解若而且唯若伊對應的行列式無準零。這嘛是行列式概念出現的根。

做線性方程組對應的行列式無替零時，由克萊姆法則，會當直接以行列式的形式來寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解計算量巨大，並無實際應用的價值，一般用於理論上的推導。

行列式佮矩陣

矩陣的概念出現比行列式暗，一直到十九世紀中期才予人引入，毋過兩个佇本質頂懸猶閣有密切關係。通過矩陣，線性方程組會當表示為

$ \ mathbf { A } x=b $

其中 $ \ mathbf { A } $ 是由方程組中未知數的係數構成的方塊矩陣，$ x=( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } ) ^ { \ mathbf { T } } $ 是未知數，而且 $ b=( b _ { 一 } , b _ { 二 } , \ cdots , b _ { n } ) ^ { \ mathbf { T } } $。

佇矩陣理論當中，行列式嘛有各種的用途。多項式 $ p ( x )=\ det ( xI-A ) $ 號做方塊矩陣 $ A $ 的特徵值多項式。這是一个由行列式定義的多項式，伊的解是矩陣所有的特徵值。嘛會使講，$ x $ 是矩陣 $ A $ 的特徵值若而且唯若 $ xI-A $ 毋是可逆矩陣。特徵值多項式在矩陣理論中有重要的應用。

行列式佮多項式

早佇咧高斯的時代，行列式就佮多項式的研究聯絡做伙。行列式的一个應用是佇咧講「結式」上。結式是兩項外項 $ \ displaystyle p $ 和 $ \ displaystyle q $ 的西爾維斯特矩陣的行列式。兩个多項式的結式等於零若是唯若是𪜶有懸於是等於一改的公因為多項式。結式閣會當判斷足濟項敢有重根：若濟項式 $ \ displaystyle p $ 佮伊的微分濟項式 $ \ displaystyle p ^ { \ prime } $ 的結式不為零，若按呢遮爾濟項無重根，抑若無有重根。

行列式佇多項式逼近理論內底也有出現。共定一个插值點，判別插值多項式的存在性需要看所謂的范德蒙矩陣，毋過范德蒙矩陣的行列式無到零，就按呢根據克拉瑪公式，插值多項式唯一存在（次數小於插值點個數）。

朗斯基行列式

朗斯基行列式是函數矩陣的行列式，所以本身嘛是一个函數。予定 _ n _ 個 _ n 影一 _ 次連紲會當微函數，_ f 一 _、. . .、_ fn _，𪜶的朗斯基行列式 _ W ( f 一 , . . . , fn ) _ 為：

$ W ( f _ { 一 } , \ ldots , f _ { n } ) ( t )={ \ begin { vmatrix } f _ { 一 } ( t ) & f _ { 二 } ( t ) & \ cdots & f _ { n } ( t ) \ \ f _ { 一 }'( t ) & f _ { 二 }'( t ) & \ cdots & f _ { n }'( t ) \ \ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ f _ { 一 } ^ { ( n 影一 ) } ( t ) & f _ { 二 } ^ { ( n 影一 ) } ( t ) & \ cdots & f _ { n } ^ { ( n 影一 ) } ( t ) \ end { vmatrix } } $

會當證明，若是 _ f 一 _、. . .、_ fn _ 線性相依，按呢𪜶的朗斯基行列式恆等於零。

佇線性微分動態系統理論當中，朗斯基行列式用來判別若干個解的線性相依性。若是 _ n _ 個解 _ f 一 _、. . .、_ fn _ 線性獨立，按呢𪜶的朗斯基行列式將總不為零。根據萊歐維爾定理，_ n _ 維空間上線性微分方程式：

$ Y ^ { \ prime }=A ( t ) Y $

的基礎解系所構成的朗斯基行列式 $ W ( t ) $ 滿足：

$ W'( t )={ \ rm { tr } } \ , A ( t ) W ( t ) $，

仝款所在，線性微分方程式：$ y ^ { ( n ) }=a _ { 零 } ( t ) y + a _ { 一 } ( t ) y'+ a _ { 二 } ( t ) y+ . . . + a _ { n 影一 } ( t ) y ^ { ( n 影一 ) } \ , $ 的基礎解系所構成的朗斯基行列式 $ W ( t ) $ 滿足：

$ W'( t )=a _ { n 影一 } ( t ) W ( t ) $

行列式佮偌重的積分

行列式體這馬線性轉換對空間體積的作用，對非線性的函數，其實對體積的影響閣較複雜，但是對有夠「良好」的函數，佇咧一个微小的範圍內底，比如講佇空間較中的附近，會當將函數的效果近近仔用線性的轉換來代替。由此，對某寡仔函數，嘛會當共伊佇某一點仔附近的作用效果用伊佇這點上的偏導數構成的矩陣（號做雅可比矩陣）來表示。這類的行列式予人號做是「雅可比行列式」，即是雅可比矩陣的行列式，只對連紲會當微微仔函數有定義。

咧算「體積」的偌重積分中，雅可比行列式應用於換元積分的時。積分的思想是將空間割做真濟微細的體積元，講號做積分元素，才將逐个體積元上的函數值乘以體積元的體積了後相加。欲一个積分元素換做另外一个積分元素的時陣，實際上作了一擺對空間中體積的度量方式的改變：分劃體積元的方式無仝款矣。譬論講佇二維空間內底，將直角坐標積分換做極坐標積分時，面積元素由方塊區域變成扇形區域。所以，欲測量這種體積度量的方式的改變，會當將這種轉換看做一个非線性的轉換函數（實際上是一個微分同胚）： $ \ varphi : \ mathbb { R } ^ { n } \ longrightarrow \ mathbb { R } ^ { n } $。啊若伊佇每一寡影響會當通過雅會當比行列式來體現。

行列式佮非線性方程組佮分枝理論

運用雅可比行列式的閣較有非線性方程組的數值求解。對一般的非線性方程組，不存在求解公式，干焦會當用數值分析的方法求近若親像解。求近若解的基本思想嘛是將非線性問題佇局部的所在隨步踏線性化，化歸做線性方程組來求解。有方程組：

$ { \ begin { cases } f _ { 一 } ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } )=零 \ \ \ quad \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ vdots \ quad \ \ f _ { n } ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } )=零 \ end { cases } } $

其中 $ f=( f _ { 一 } , \ cdots , f _ { n } ) $ 是相連紲會當微函數，並且佇附近雅可比行列式無到零，遐爾會當用牛做迵天咱求愛較近咧解說。迵天程序為：

$ f ( x ^ { ( k + 一 ) } )=x ^ { ( k ) }-\ det ( \ mathbf { J } _ { f } ( x ^ { ( k ) } ) ) ^ { 影一 } f ( x ^ { ( k ) } ) \ qquad ( k=零 , 一 , \ cdots ) $

內底的 $ x ^ { ( k ) }=( x _ { 一 } ^ { ( k ) } , x _ { 二 } ^ { ( k ) } , \ cdots , x _ { n } ^ { ( k ) } ) $ 是第k迵天代的時陣的近似數值。逐擺迵天代代先求解關於線性方程組

$ \ mathbf { J } _ { f } ( x ^ { ( k ) } ) \ Delta x ^ { ( k ) }=f ( x ^ { ( k ) } ) $

然後算新的近似值

$ x ^ { ( k + 一 ) }=x ^ { ( k ) }-\ Delta x ^ { ( k ) } $

佇實際應用中，閣需要考慮𤆬有參數的非線性方程組：

$ { \ begin { cases } f _ { 一 } ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } , \ lambda )=零 \ \ \ quad \ vdots \ qquad \ qquad \ qquad \ vdots \ quad \ \ f _ { n } ( x _ { 一 } , x _ { 二 } , \ cdots , x _ { n } , \ lambda )=零 \ end { cases } } $

內底的 $ \ lambda $ 會當代表溫度、外力等等的環境因素。當環境改變的時陣，方程式解出去的雅可比行列式可能對非零變做零。雅可比行列式做零的點叫做臨界點抑是分支點，是方程式的解變性質的所在。和線性方程組類似，當雅可比行列式的值為零時，方程組會出現局部多值的情形。走揣分支點佮分支方向的研究是非線性方程式求解的一大問題。

參考文獻

來源

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外部連結

• Online Matrix Calculator 線頂行列式計算器
• Online Matrix Calculator 線上矩陣計算器
• 《新理解矩陣五》：體積=行列式來自科學空間