貝塞爾不等式

佇數學里的泛函分析中，貝塞爾不等式（英語：Bassel's inequality）是類似勾股定理的一種無等式。貝塞爾無等式公示矣希爾伯仔特空間中的一个元素佮伊佇一个正交序列頂懸的投影之間的關係。比如講伊，平面上的一个向量的長度的平方等於伊佇兩个相垂直的坐標軸上的投影的平方佮，對一个三維空間的向量，伊佇咧兩个互相垂直的坐標線頂懸的投影的平方佮一般會佇咧伊家己的長度的平方，除非伊就佇這兩个坐標題目的平面上。對一个希爾伯特空間內的向量來講，伊佇咧任意一个正交序列頂懸的投影的平方佮嘛是等於伊自身的長度的平方。這就是貝窒爾不等式。貝塞爾不等式的等號成立若是而且唯若是正交序列是完全序列。這時貝窒爾不等式轉化為帕塞瓦爾定理。

定理的講

設 $ { \ mathcal { H } } $ 是一个裝備矣內積：$ \ left \ langle \ cdot , \ cdot \ right \ rangle $ 的希爾伯特空間。考慮一組規範正交向量的序列：$ ( e _ { 一 } , e _ { 二 } , \ cdots , e _ { n } , \ cdots ) $。遐爾，對著任意一个 $ { \ mathcal { H } } $ 中的元素，攏有：

$ \ sum _ { k } \ left | \ left \ langle x , e _ { k } \ right \ rangle \ right | ^ { 二 } \ leq \ left \ | x \ right \ | ^ { 二 } $ 其中的係數 $ \ left \ langle x , e _ { k } \ right \ rangle $ 是 _ x _ 佇一个正面的量序列中元素 $ e _ { k } $ 上的投影的長度。

例

例一：平面直角坐標系

佇平面上，假定已經存在一个由互相垂直的向量構成的直角坐標系。根據勾股定理，一个向量的長度的平方 $ r ^ { 二 } $ 等於伊佇 _ X _ 軸的投影的長度的平方（$ x ^ { 二 } $）加上伊佇咧 _ Y _ 軸的投影的長度的平方（$ y ^ { 二 } $），若正圖。

實際上，規个平面上的每一个向量攏會當由這兩个相垂直的單位向量的有限線性組合表示喔。這款的一組互相垂直的向量予人叫做是這个平面里的一組完全規範正交向量：每一个向量攏會當予這組向量的有限線性組合作任意程度的逼近（事實上是等於）。

例二：三維空間內底平面投影

當向量是佇三維歐幾里得空間內底的時，對著一个平面（譬論講 xOy 平面）佮平面上的一个由互相垂直的向量（Ox 方向頂懸的 $ e _ { x } $ 和 Oy 方向頂懸的 $ e _ { y } $）構成的直角坐標系，向量的長度的平方會比伊佇 _ X _ 軸的投影的長度平方加上伊佇 _ Y _ 軸的投影的長度平方之和閣愛大。實際上，這个平方佮正正是向量佇咧 xOy 平面上的投影的長度的平方。啊若原來的向量的長度的平方是這个投影長度的平方加上伊佇 _ Z _ 軸的投影的長度平方。

這事實說明，向量 $ e _ { x } $ 和 $ e _ { y } $ 毋是三維歐幾里著空間內的一組完全正交向量。

證明

證明的思路是利用一般希爾伯特空間內面的「聽你佇嘐潲」：你若兩个向量垂直，啊𪜶的佮𪜶的長度平方等於𪜶兩个的長度的平方佮。首先考慮規範正交向量序列有限時的情形：設序列的長度是 _ n _，序列內底的元素是：

$ ( e _ { 一 } , e _ { 二 } , \ cdots , e _ { n } ) $

設一个向量 _ x _ 佇這个規範正交序列頂懸的投影為向量：$ p ( x )=\ sum _ { k=一 } ^ { n } \ langle x , e _ { k } \ rangle e _ { k } $，而且 _ x _ 佮伊的投影的差是向量：$ z ( x )=x-p ( x )=x-\ sum _ { k=一 } ^ { n } \ langle x , e _ { k } \ rangle e _ { k } $。這兩个向量的內積等於：

$ \ langle p ( x ) , z ( x ) \ rangle=\ langle \ sum _ { k=一 } ^ { n } \ langle x , e _ { k } \ rangle e _ { k } , x-\ sum _ { k=一 } ^ { n } \ langle x , e _ { k } \ rangle e _ { k } \ rangle=\ sum _ { k=一 } ^ { n } ( \ langle x , e _ { k } \ rangle \ langle e _ { k } , x \ rangle )-\ sum _ { k=一 } ^ { n } \ sum _ { l=一 } ^ { n } \ langle x , e _ { k } \ rangle { \ overline { \ langle x , e _ { l } \ rangle } } \ langle e _ { k } , e _ { l } \ rangle $

$=\ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 }-\ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 } \ langle e _ { k } , e _ { k } \ rangle=\ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 }-\ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 }=零 $

也就是講，_ x _ 佇這个規範正交序列頂懸的投影垂直於 _ x _ 佮伊的投影的差。所以根據勾股定理，有：

$ \ left \ | x \ right \ | ^ { 二 }=\ left \ | p ( x ) \ right \ | ^ { 二 } + \ left \ | z ( x ) \ right \ | ^ { 二 } \ geq \ left \ | p ( x ) \ right \ | ^ { 二 }=\ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 } \ langle e _ { k } , e _ { k } \ rangle=\ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 } $

即使規範正接向量序列是無限的，只要伊是可數的，就會有仝款的不等式。實際上，只需要考慮這个無窮（可數一个）序列內底的頭前 _ n _ 項。根據有限序列時的情形，會當證明一个元素 _ x _ 佇規範當咧排做量序列的進前 _ n _ 項上的投影的長度平方佮 $ \ sum _ { k=一 } ^ { n } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 } $ 等於等於 _ x _ 的長度平方。這个平方佮實際上是正項無窮級數 $ \ sum _ { k } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 } $ 的前 _ n _ 項部分佮，所以這無窮的級數抾斂，並且其極限 $ \ sum _ { k=一 } ^ { \ infty } | \ langle x , e _ { k } \ rangle | ^ { 二 } $ 嘛比如講等於 _ x _ 的長度平方。嘛會使講，向量序列 $ p _ { n } ( x )=\ sum _ { k=一 } ^ { n } \ langle x , e _ { k } \ rangle e _ { k } $ 佇咧 $ { \ mathcal { H } } $ 頂懸收斂。

參見

閔可夫斯基空間
柯西不等式
三角無等式
完備空間

參考來源

B . A . 卓里奇著，蔣鐸錢佩玲周美馮榮雨譯 .《鋪排析（第二卷）（第四版）》 . 高等教育出版社 . 二千空六 . ISBN 九百七十八孵七孵四四二孵空兩百五十七孵一 .
P . R . Halmos . Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity . Chelsea Pub Co ; 二 edition . August 一千九百九十八 . ISBN 九百七十八追空九八十二追十八分一千三百七十八分二 .