費希爾-柯爾莫哥洛夫方程

費希爾-柯爾莫哥洛夫方程是以英國統計學家羅納德 ・ 費希爾佮俄國數學家安德雷 ・ 柯爾莫哥洛夫號名的非線性偏微分方程，定定看著熱傳導、燒理論、生物學、生態學等等的領域。某一寡文獻內底閣稱費希爾-柯爾莫哥洛夫方程為柯爾莫哥洛夫-羅夫斯基-皮斯庫諾夫方程（Kolmogorov–Petrovsky–Piskunov equation）， 抑是KPP 四角勢，費希爾-KPP 四角勢。費希爾-柯爾莫哥洛夫方程是費希爾方程的推廣形式。費希爾-柯爾莫哥洛夫方程的基本形式為：

$ { \ frac { \ partial u } { \ partial t } }=D { \ frac { \ partial ^ { 二 } u } { \ partial x ^ { 二 } } } + au + bu ^ { m } $

其中，a、b、D、m 為任意常數，而且 m 無等於一。

通過重新定義時間的尺度，會當無去一般性地令參數 D 等於一，因此一寡文章中直接將形如 $ u _ { t }-u _ { xx } + \ mu u + \ nu u ^ { 二 } + \ delta u ^ { 三 }=零 $ 這號做 KPP 四角勢。其他的形似 KPP 四角勢的，比如講 $ { \ partial u } / { \ partial t }={ \ frac { D } { 二 } } { \ partial ^ { 二 } u } / { \ partial x ^ { 二 } } + f ( u ) $ 和 $ u _ { t } + (-\ Delta ) ^ { \ alpha } u=\ mu ( x ) u-u ^ { 二 } $ 予人號做「KPP 型方頭（KPP type equation）」 抑是「費希爾-KPP 型方頭（Fisher-KPP type equation）」。

解析解

形如講 $ { \ frac { \ partial u } { \ partial t } }=D { \ frac { \ partial ^ { 二 } u } { \ partial x ^ { 二 } } } + au + bu ^ { m } $ 的 KPP 方程有來解破：

$ u ( x , t )=[\ beta + exp ( \ lambda t + { \ frac { \ mu x } { \ sqrt { D } } }] ^ { \ frac { 二 } { 一-m } } $

其中，

$ \ lambda={ \ frac { a ( 一-m ) ( m + 三 ) } { 二 ( m + 一 ) } } $

$ \ mu={ \ sqrt { \ frac { a ( 一-m ) ^ { 二 } } { 二 ( m + 一 ) } } } $

$ \ beta={ \ sqrt {-{ \ frac { b } { a } } } } $

走波圖

利用 Maple 的 TWSolutions 軟體包，當 m=兩時，通好著這時行波圖 :

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延伸閱讀

一 . 谷超豪《孤立子理論內底的達布變換佮其幾何應用》上海科學技術出版社二 . 閻振亞著《複雜非線性波的構造性理論佮應用》科學出版社二空空七年三 . 李志斌編著《非線性數學物理方程的波解》科學出版社四 . 王東明著《消去法及其應用》科學出版社二千空二五 . 何青王麗芬編著《Maple 教程》科學出版社二千空一十 ISBN 九九五七千八百七十五空三千空一十七抹七千四百四十五六 . Richard H . Enns George C . McCGuire , Nonlinear Physics Birkhauser , 一千九百九十七七 . Inna Shingareva , Carlos Lizárraga-Celaya , Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer . 八 . Eryk Infeld and George Rowlands , Nonlinear Waves , Solitons and Chaos , Cambridge 兩千九 . Saber Elaydi , An Introduction to Difference Equationns , Springer 兩千十 . Dongming Wang , Elimination Practice , Imperial College Press 兩千空四十一 . David Betounes , Partial Differential Equations for Computational Science : With Maple and Vector Analysis Springer , 一千九百九十八 ISBN 九九四七千八百空三鋪八千七百九十八鋪三千空四十二 . George Articolo Partial Differential Equations & Boundary Value Problems with Maple V Academic Press 一千九百九十八 ISBN 九九石七千八百空一鋪二千空六十四鋪四千七百五十九